Wektory w układzie współrzędnych

Wektory w ukªadzie wspóªrz¦dnych
1. Dane s¡ trzy wektory
A. Mróz
a = [1, 2, 3], b = [0, −1, 2], c = [1, 1, 0].
Wyznacz wspóªrz¦dne wektora
p = 3a + 2b − c.
2. Wyznacz dªugo±¢ wektora
a = [−1, 2, −2].
3. Wyznacz dªugo±ci przek¡tnych równolegªoboku
i
ABCD zbudowanego na wektorach AB = [3, −2, 1]
AD = [0, 3, −1].
4. Dane s¡ trzy wierzchoªki równolegªoboku
wspóªrz¦dne wierzchoªka
C
ABCD: A = (0, 0), B = (3, 1) i D = (−1, 1).
A = (2, −5, 3) i wektory
wierzchoªki i wektor CA.
5. Dany jest jeden z wierzchoªków trójk¡ta
i
BC = [3, −2, 5].
6. Dany jest wektor
do
Wyznacz
oraz punktu przeci¦cia przek¡tnych.
Znajd¹ pozostaªe
a = [−3, 4].
AB = [4, 1, 2]
jego boków
Wyznacz wektor jednostkowy kolinearny z
a i o zwrocie przeciwnym
a.
7. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorami
a = [−1, 1, 0] i b = [0, 1, 1].
8. Znajd¹ cosinusy kierunkowe wektora
9. W pªaszczy¹nie
xy
znajd¹ wektor
p
a = [1, −1, 2].
prostopadªy do wektora
[5, −3, 4]
i maj¡cy jednakow¡ z nim
dªugo±¢.
10. Dane s¡ wektory
AB = [2, 1, −2]
i
BC = [3, 2, 6]
b¦d¡ce bokami trójk¡ta
ABC .
Wyznacz k¡ty
tego tró jk¡ta.
a = [2, 1, −1]
11. Znajd¹ rzut wektora
12. Dane s¡ dwa punkty
na o± o kierunku wektora
A = (−1, 0, 3)
i
B = (−2, 5, 0).
b = [1, 2, 1].
Wyznacz dªugo±¢ wektora
AB
oraz jego
rzuty na osie ukªadu.
13. Wyka», »e dla dowolnego niezerowego wektora suma kwadratów jego cosinusów kierunkowych
jest równa jeden.
14. Wektor
a
15. Wektor
AB
tworzy z osiami
Ox i Oz
k¡ty
60◦ i 45◦ .
Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorem
a
i osi¡
Oy .
√
A = (1, 1, 1) i dªugo±ci 5 3 tworzy z osiami ukªadu jednakowe
punktu B .
o pocz¡tku w punkcie
k¡ty ostre. Oblicz wspóªrz¦dne
16. Wyra¹ pole trójk¡ta przy pomocy wektorów wodz¡cych jego wierzchoªków.
17. Oblicz pole trójk¡ta
ABC ,
gdy
AB = [2, 1, −2]
oraz
BC = [3, 2, 6].
18. Oblicz obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach
[1, 5, −1]
p = [3, 1, −2], q = [−4, 0, 3] i r =
i zbadaj, czy wektory te tworz¡ ukªad prawoskr¦tny, czy lewoskr¦tny.
19. Wyka», »e wektory
a = [−1, 3, 2], b = [2, −3, −4] i c = [−3, 12, 6]
s¡ komplanarne.