r i4 VA = j6 VB = z f , y f , x f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⌋ ⌉ ⌊ ⌈ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =

ZADANIA DODATKOWE Z FIZYKI DLA STUDENTÓW WYDZIAŁU MT,
KIERUNEK: Mechatronika, SEM. I, 2011/2012
ZESTAWY 1-2


1. Znaleźć wektor jednostkowy n , który jest jednocześnie prostopadły do wektora a = [6,12,16] i do osi
OX. Podpowiedź: wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny = 0.
2. Promień wodzący punktu materialnego zmienia sie w czasie w następujący sposób:

r = [10t, e-t, sin(2t)]. Znajdź zależność od czasu prędkości punktu materialnego oraz jego przyspieszenia.




3. Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami VA  4 i m/s i VB  6 j m/s. W
chwili t = 0 są one w punktach o współrzędnych xA = -6 m, yA = 0 m oraz xB = 0 m, yB = -6m. Znaleźć
 
wektor rA  rB opisujący położenie cząstki B względem cząstki A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie te cząstki
będą najbliżej siebie? Podpowiedź: pochodna funkcji w punkie, w którym funkcja ma minimum (lub
maksimum) jest równa zeru.
4. Wyznacz gradient funkcji f(x,y,z) dla:
a) f(x,y,z) = A(x2+y2+z3)
b) f(x,y,z) = B(x2+y3+z2)-1/2
f f f
i oznaczamy
, ,
x y z
 f f f 
symbolem grad f lub f (  - jest tzw. operatorem nabla,   
, ,  ).
 x y z 
f  f  f 
gradf  f 
i
j k
x
y
z
Gradientem funkcji skalarnej f(x,y,z) nazywamy wektor o składowych

5. Wyznacz dywergencję wektora a , którego współrzędne są następującymi funkcjami współrzędnych
punktu zaczepienia wektora:

a) a = [xy, xyz, y/z]

b) a = [x2+y2, x3+z2, z3/2]

Dywergencją wektora a =[ax, ay, az] (uwaga: ax, ay, az są funkcjami zmiennych x, y i z) nazywamy
skalar:
a
 f f f 
 a
a
a  x  y  z . Ponieważ operator nabla    , ,  traktujemy formalnie jako
x
y
z
 x y z 


wektor, to dywergencja wektora a jest równa iloczynowi skalarnemu wektora  i wektora a :

  f f f 
div a    a  
, ,   ax ,a y ,az
 x y z 
div



6. Wyznacz rotację wektora a , którego współrzędne są następującymi funkcjami współrzędnych punktu
zaczepienia wektora:

a) a = [xy + zy, xz + z2 + y, y + x2

b) a = [x3 + y3, x2y + z3x, y]

Rotacją wektora a =[ax, ay, az] (uwaga: ax, ay, az są funkcjami zmiennych x, y i z) nazywamy iloczyn

wektorowy wektora nabla i wektora a :

i

 
a  a 
x
ax

j

y
ay

k

, przy czym formalnie iloczyny 2 i 3 wiersza należy uważać za
z
az

odpowiednie pochodne cząstkowe, np. x
ax

a y ax

y 
x
y
ay