Lista I/0 Fizyka Ogólna – Mechatronika

Lista I/0
Fizyka Ogólna – Mechatronika
Rachunek wektorowy
r r
r
r r
r r
1. Dane są dwa wektory: a = 3i + 4 j + 5k , b = −i + k . Obliczyć:
r r
r r
d) iloczyn wektorowy a × b .
b) iloczyn skalarny a ⋅ b ,
a) długość każdego wektora,
c) kąt zawarty między wektorami,
2. Punkt materialny został przesunięty po linii prostej z położenia opisanego wektorem
r
r
r r
r
r
r
r1 = 5i + 3 j − 3k [m] do punktu r2 = 2i − 5k [m] .
Oblicz
drogę przebytą przez ten punkt
materialny.
r
r
r
r
r
r
r
3. Dane są dwa wektory: a = 3i + 4 j + 5k , b = −i + k . Obliczyć: a) długość każdego wektora,
r r
r r
b) iloczyn skalarny a ⋅ b ; c) kąt zawarty między wektorami; d) iloczyn wektorowy a × b .
r
r
r
4. Wyznacz kąt (może być kosinus kąta), jaki tworzy wektor a = −3i + 5 j z dodatnim kierunkiem
r
osi OX (lub wektorem i ).
5. Korzystając z definicji iloczynu skalarnego obliczyć kat miedzy
dwusiecznymi katów, utworzonych przez osie x ,y oraz osie y, z układu
współrzędnych x, y, z.
6. Na podstawie rysunku (po prawej stronie) wyznaczyć wektory:
r r r
C = A + B oraz
r r r
D = A− B
r
r
r
r
r
r
7. Dane są dwa wektory: a = −4i + 6 j oraz b = i + 2 j . Ile wynosi długość wektora będącego sumą
tych wektorów?
r
r
r
8. Dane są dwa wektory a = (2, − 3, 4), b = (1, 0, 1) . Rozłożyć wektor b na składową równoległą i
r
prostopadłą do a .
r
r
r
9. Znajdź wektor c o długości prostopadły do wektorów a =(1, 2, 1) oraz b = (2, -1, 2).
r
10. Znajdź wektor jednostkowy n̂ , który jest prostopadły jednocześnie do wektora a = (3, 0, 8) i do
osi OX.
r
→
11. Dane sa dwa punkty A(–1, 0, 3) i B(0, –2, 5). Określić wektor a = AB , obliczyć jego długość oraz
∧
kąty, jakie tworzy on z osiami układu współrzędnych. Wyznaczyć wektor jednostkowy n kolinearny z
r
wektorem a i o kierunku przeciwnym do a .
12. Wyznacz wektor o długości 5 prostopadły do dwóch wektorów
r
b = (4, − 3, − 1) .
r
a = (3, − 2, 4)
oraz
r
13. Znaleźć wektor jednostkowy n̂ , który jest prostopadły jednocześnie do wektora a = (3, 6, 8) i do
osi OX.
r
r
14. Dane są dwa wektory a = (2, a, 3) i b (−3, 4,−1). Wektory te są prostopadłe dla pewnej wartości
a. Ile ona wynosi?
r
r r
r r
r
15. Jeśli | A × B | = A · B , to jaki kat tworzą wektory A i B
16. Udowodnij podane zależności, rozkładając wektory na składowe:
a) a × (b + c ) = a × b + a × c ,
b) l ⋅ a × b = l (a × b ) ,
d) a × (b × c ) = b(a ⋅ c ) − c(a ⋅ b ) ,
f) a ⋅ (a × b ) = 0 .
e) a × a = 0 ,
r
r
r
c) a ⋅ (b × c ) = (a × b ) ⋅ c ,
17. Dane są dwa wektory a = (2, 1, 1), b = (1, − 1, 2) . Rozłożyć wektor b na składową równoległą i
r
prostopadłą do a .
18. Korzystając z właściwości iloczynu wektorowego oblicz pole powierzchni:a) równoległoboku
r
r
rozpiętego na wektorach a =(1, 2, 3) i b = (0, -2, 5) oraz b) trójkąta o wierzchołkach A(1, –1, 3) B(0,
2, –3) i C(2, 2, 1).
r
r
r r
r
r
r
r
19. Krawędzie równoległościanu wyznaczone są przez wektory a = i + 2 j , b = 4 j oraz c = j + 3k
wychodzące z początku układu współrzędnych. Wyznacz pole powierzchni podstawy
równoległościanu oraz jego objętość.
Pochodne i całki
1. Wyznacz pierwsze i drugie pochodne następujących funkcji:
a) y = Bt 2 + Ct
b) x = Ae −αt
c) x = A cos(ωt + δ )
2. Wyznacz całki nieoznaczone:
a) F (t ) = dt
∫
d) F (t ) =
b ) F (t ) = tdt
∫
1
∫ a + bt dt
e) F (t ) = exp(− αt )dt
∫
c) F (t ) =
d) x = A cos[ϕ (t )]
∫ ( At + B )dt
f) F (t ) = cos[ωt ]dt
∫