Zadania z rachunku prawdopodobieństwa, 21.05.2015 1. (a

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa, 21.05.2015
1. (a) Zmienna X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej
Y = 1/X.
(b) Zmienna X ma rozkład jednostajny na odcinku [−2, 3]. Wyznaczyć rozkład zmiennej
losowej Y = X 2 .
(c) Zmienna X ma rozkład normalny N (0, 1). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = eX .
2. Uzasadnić, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład Poissona bądź rozkład geometryczny (tzn.
jest czasem oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu niezależnych prób Bernoulliego), to ma
własność “braku pamięci”, tzn. P(X > t + s|X > t) = P(X > s).
2. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję w rozkładzie Poissona z parametrem λ.
4. Uzasadnić, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym ma skończone momenty dowolnego rzędu
(tzn. że E(X k ) < ∞ dla dowolnego k ­ 0).
5. Niech X1 oraz X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parametrami
odpowiednio λ1 oraz λ2 . Wyznaczyć rozkład sumy X1 + X2 .
Wskazówka: skorzystać ze wzoru dwumianowego na potęgę sumy (a + b)n .
6. Załóżmy, że momenty przybycia autobusów linii A i C są niezależnymi zmiennymi losowymi
X oraz Y o rozkładach wykładniczych z parametrami odpowiednio α i β. Wyznaczyć rozkład momentu przybycia pierwszego autobusu. Znaleźć p-stwo, że autobus linii A przyjedzie
pierwszy.
7. Poniższa tabela zadaje rozkład wektora losowego (X, Y ), tzn. że np. P(X = 2, Y = 2) = 0.03.
Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y , sprawdzić, czy są to zmienne niezależne. Wyznaczyć wartości oczekiwane, wariancje zmiennych X oraz Y . Obliczyć kowariancję i
współczynnik korelacji powyższych zmiennych. Znaleźć prostą regresji zmiennej Y względem
zmiennj X.
X=1 X=2 X=3
Y=1 0.3
0.2
0.1
Y=2 0.15 0.03 0.02
Y=3 0.05 0.02 0.13
8. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny (czyli stałą gęstość) na obszarze
{(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1], y ∈ [x/3, 2x/3 + 1/3}.
Wyznaczyć wielkości takie jak w zadaniu powyżej.