Analiza matematyczna II

"Z A T W I E R D Z A M”
………………………………………………
dr hab. inż. Stanisław Cudziło, prof. WAT
Dziekan Wydziału Nowych Technologii i Chemii
Warszawa, dnia ..........................
SYLABUS PRZEDMIOTU
NAZWA PRZEDMIOTU: ANALIZA MATEMATYCZNA II
Wersja anglojęzyczna: Mathematical analysis II
WTCFXCSI-AII
Kod przedmiotu:
Podstawowa jednostka organizacyjna (PJO):
Wydział Nowych Technologii i Chemii
(prowadząca kierunek studiów)
Kierunek studiów:
Fizyka Techniczna
Specjalność:
wszystkie specjalności
Poziom studiów:
studia pierwszego stopnia
Forma studiów:
studia stacjonarne
Język prowadzenia: polski
Sylabus ważny dla naborów od roku akademickiego 2012/2013
1. REALIZACJA PRZEDMIOTU
Osoby prowadzące zajęcia (koordynatorzy): dr hab. Włodzimierz Domański,
dr hab. Marek Kojdecki, dr hab. Józef Kołakowski
PJO/instytut/katedra/zakład: Wydział Cybernetyki / Instytut Matematyki i Kryptologii / Zakład Analizy
Matematycznej i Matematyki Stosowanej
2. ROZLICZENIE GODZINOWE
forma zajęć, liczba godzin/rygor
(x egzamin, + zaliczenie, # projekt)
semestr
punkty
ECTS
razem
wykłady
ćwiczenia
III
90 /x
44
46 /+
7
razem
90 /x
44
46 /+
7
laboratoria
projekt
seminarium
3. PRZEDMIOTY WPROWADZAJĄCE WRAZ Z WYMAGANIAMI WSTĘPNYMI


Wstęp do matematyki. Student powinien znać i umieć wykorzystać: symbole i elementarne pojęcia logiki i teorii mnogości, rachunek zdań, prawa rachunku zdań, określenia i właściwości liczb
całkowitych, wymiernych, niewymiernych i rzeczywistych, rachunek zbiorów, określenie i właściwości funkcji i relacji.
Algebra z geometrią. Student powinien znać i umieć wykorzystać: podstawowe struktury algebraiczne, liczby rzeczywiste i zespolone, podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia algebry liniowej i geometrii analitycznej; właściwości wielomianów; rachunek wektorowy i macierzowy,
przestrzenie wektorowe, układy liniowych równań algebraicznych i metody ich rozwiązywania;
analityczne konstrukcje prostych i płaszczyzn, krzywe i powierzchnie drugiego stopnia; wektory i
wartości własne odwzorowań liniowych; formy kwadratowe.

Analiza matematyczna I. Student powinien znać i umieć wykorzystać: symbole, określenia,
twierdzenia i przykłady dotyczące ciągów i szeregów w przestrzeniach metrycznych i liczbowych,
rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych rzeczywistych i odwzorowań między przestrzeniami metrycznymi.
4. ZAKŁADANE EFEKTY KSZTAŁCENIA
Symbol
Efekty kształcenia
Student, który zaliczył przedmiot,
odniesienie do efektów kształcenia dla
kierunku
W01
Ma podstawową wiedzę, stanowiącą bazę dla zrozumienia i studiowania przedmiotów kierunkowych, w zakresie analizy matematycznej. Zna symbole, podstawowe pojęcia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej oraz
wielu zmiennych rzeczywistych. Zna podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia dotyczące ciągów i szeregów funkcyjnych. Zna
podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia teorii funkcji zmiennej
zespolonej oraz przekształcenia Laplace'a. Zna podstawowe pojęcia, określenia i twierdzenia dotyczące równań różniczkowych zwyczajnych.
K_W01, K_W02
W02
Zna i rozumie pojęcia całki oznaczonej Riemanna i miary Jordana.
Zna podstawowe sposoby i wzory znajdowania całek podwójnych,
potrójnych, krzywoliniowych i powierzchniowych. Zna podstawowe
sposoby obliczania pochodnych i całek funkcji zespolonych. Zna
właściwości przekształcenia Laplace'a. Zna podstawowe metody
rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.
K_W01, K_W02
U01
Umie posługiwać się w podstawowym zakresie językiem analizy
matematycznej rzeczywistej i zespolonej, wykorzystując właściwe
symbole, określenia i odpowiednie twierdzenia. Umie stosować
rachunek różniczkowy i całkowy skalarnych i wektorowych funkcji wielu zmiennych do rozwiązywania zadań. Umie obliczać pochodne i całki funkcji zespolonych. Umie rozwiązywać równania
różniczkowe zwyczajne, także za pomocą przekształcenia Laplace'a.
K_U10, K_U17
U02
Umie formułować i rozwiązywać proste problemy z wykorzystaniem
rachunku różniczkowego i całkowego skalarnych i wektorowych
funkcji wielu zmiennych, funkcji zespolonych oraz równań różniczkowych zwyczajnych i przekształcenia Laplace'a.
K_U10, K_U17
K01
Rozumie potrzebę ciągłego dokształcania się i odświeżania wiedzy
w szczególności związanej ze złożoną strukturą matematyki.
K_K01
5. METODY DYDAKTYCZNE




wykład z możliwym wykorzystaniem technik audiowizualnych,
ćwiczenia rachunkowe ułatwiające opanowanie, zrozumienie i usystematyzowanie wiedzy wyniesionej z wykładów i własnych studiów studentów oraz nabycie umiejętności rachunkowych,
podanie zadań do samodzielnego rozwiązania i tematów do studiowania,
pisemna praca kontrolna.
6. TREŚCI PROGRAMOWE
liczba godzin
lp
temat/tematyka zajęć
1.
Całka oznaczona. 1. Określenie i właściwości całki oznaczonej Riemanna. Miara Jordana. 2. Związek miedzy całką
oznaczoną i nieoznaczoną. Całki niewłaściwe I i II rodzaju.
3. Zastosowanie całek oznaczonych. Funkcje gamma i beta
Eulera. Całka Poissona.
6
6
2.
Całki wielokrotne. 1. Określenie całki wielokrotnej. Całki
iterowane. Całka podwójna i całka potrójna po dowolnym obszarze. 2. Zamiana zmiennych w całce wielokrotnej. Współrzędne prostokątne, biegunowe, walcowe i kuliste. 3. Zastosowania całek wielokrotnych. Momenty, środek masy.
6
6
3.
Pola wektorowe i całki krzywoliniowe i powierzchniowe.
1. Pola skalarne i wektorowe w przestrzeniach dwu- i trójwymiarowej. Operacje różniczkowe na polach wektorowych.
Pola bezwirowe i bezźródłowe. Określenie krzywej. Krzywe
w przestrzeni trójwymiarowej. Całka krzywoliniowa skierowana. Potencjał pola wektorowego. 2. Całka krzywoliniowa nieskierowana. 3. Określenie powierzchni. Powierzchnie w przestrzeni trójwymiarowej. Całka powierzchniowa niezorientowana. 4. Całka powierzchniowa zorientowana. 5. Twierdzenia
Greena, Stokesa, Gaussa-Ostrogradskiego.
10
10
4.
Równania różniczkowe zwyczajne. 1. Określenie równania
różniczkowego zwyczajnego rzędów pierwszego i wyższych.
Zagadnienie Cauchy’ego. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. 2. Równania pierwszego rzędu
o zmiennych rozdzielonych. Równania pierwszego rzędu liniowe. 3. Wybrane typy równań pierwszego i drugiego rzędu.
4. Równania liniowe drugiego rzędu, w tym o stałych współczynnikach.
8
8
5.
Funkcje zespolone. 1. Ciągi i szeregi liczbowe o wyrazach
zespolonych. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej
i zmiennej zespolonej. 2. Granica, ciągłość, pochodna funkcji
zmiennej zespolonej. Funkcje holomorficzne. Szeregi potęgowe. 3. Całki funkcji zmiennej zespolonej. Wzory całkowe.
4. Szereg Laurenta. 5. Punkty osobliwe szeregów Laurenta.
Residua. Zastosowania do obliczania całek.
10
10
6.
Rachunek operatorowy oparty na przekształceniu
Laplace'a. 1. Proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a.
Pojęcie oryginału, właściwości transformaty. 2. Właściwości
przekształcenia Laplace'a. Rachunek operatorowy. 3. Zastosowania przekształcenia Laplace'a do rozwiązywania równań
różniczkowych zwyczajnych.
4
6
44
46
Razem – studia stacjonarne
wykł. ćwicz.
lab.
proj.
semin.
Tematy ćwiczeń podane są z kolejnymi numerami, a materiał wykładów może być rozłożony inaczej;
prace kontrolne przeprowadzane są podczas ćwiczeń.
7. LITERATURA
podstawowa:
R. Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej; WN PWN, Warszawa, 2001.
L. Górniewicz, R.S. Ingarden; Analiza matematyczna dla fizyków, tom 1; PWN, Warszawa, 1981.
L. Górniewicz, R.S. Ingarden; Analiza matematyczna dla fizyków, tom 2; PWN, Warszawa, 1985.
F. Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy; PWN, Warszawa, 1976.
F. Leja: Funkcje zespolone; PWN, Warszawa, 1976.
Z. Rojek: Funkcje analityczne w zadaniach; skrypt WAT, 1971.
Z. Domański: Przekształcenia całkowe w zadaniach; skrypt WAT, 1973.
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II; PWN, Warszawa, 2002.
uzupełniająca:
W. Kołodziej: Analiza matematyczna; PWN, Warszawa, 1978.
W. Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej; PWN, Warszawa, 1982.
G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I, II i III; PWN, Warszawa, 1976.
N.M. Matwiejew: Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych; PWN, Warszawa, 1970.
R. Leitner: Zarys matematyki wyższej, część I i II; WNT, Warszawa, 1994.
R. Leitner, J. Zacharski: Zarys matematyki wyższej, część III; WNT, Warszawa, 1994.
J. Krzyż: Zbiór zadań z funkcji analitycznych; PWN, Warszawa, 2005.
R. Leitner, M. Matuszewski: Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II; WNT, Warszawa,
1998.
W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania; WNT,
Warszawa, 1992.
W. Stankiewicz: Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I; WNT, Warszawa,
1995.
W. Stankiewicz, J. Wojtowicz: Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II;
WNT, Warszawa, 1995.
8. SPOSOBY WERYFIKACJI ZAKŁADANYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA






Przedmiot zaliczany jest na podstawie egzaminu sprawdzającego wiedzę (W01 i W02) i umiejętności (U01 i U02).
Egzamin przeprowadzany jest w formie pisemnej lub pisemnej i ustnej.
Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń rachunkowych i laboratoryjnych.
Ćwiczenia rachunkowe zaliczane są na podstawie wyników prac kontrolnych przeprowadzanych
pod bezpośrednią kontrolą podczas zajęć (U01, U02, W01, W02) lub w formie zadań do samodzielnego rozwiązania (U01, U02).
Dodatkowo studenci otrzymują wskazówki do samodzielnego studiowana z zachętą do korzystania z różnorodnych źródeł wiedzy (U03 i K01).
Skala ocen: dostatecznie (3) – student zna i rozumie większość wyłożonych zagadnień, umie
rozwiązywać najprostsze zadania rachunkowe, rozumie treść najważniejszych twierdzeń; dobrze
(4) – student zna i rozumie znaczną większość wyłożonych zagadnień, umie formułować i rozwiązywać najprostsze zadania rachunkowe oraz interpretować ich wyniki za pomocą twierdzeń; bardzo dobrze (5) – student zna i rozumie wszystkie wyłożone zagadnienia, umie formułować i rozwiązywać zadania rachunkowe oraz interpretować ich wyniki za pomocą twierdzeń; dość dobrze
(3,5) i ponad dobrze (4,5) – pośrednio między dostatecznie i dobrze oraz między dobrze i bardzo
dobrze.
autor sylabusa
................................
dr hab. Marek Kojdecki
kierownik Zakładu Analizy Matematycznej
i Matematyki Stosowanej
odpowiedzialnego za przedmiot
................................
dr hab. Marek Kojdecki