Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 12
1. Trzy (właściwie cztery) ważne twierdzenia o całkowaniu ciągów
Problem: nie zawsze mając ciąg zbieżny można zmieniać kolejność operacji całkowania
i brania granicy. Przykład:
fn = 1[n,n+1] .
R
R
Wtedy fn → 0 p.w., więc limn fn dµ = 0, ale limn fn dµ = 1.
Wygodnie byłoby wiedzieć, kiedy możemy wejść z granicą pod całkę
Twierdzenie 1 (o zbieżności monotonicznej) Niech (fn )n∈N będzie ciągiem nieujemnych funkcji mierzalnych takim, że f1 ¬ f2 ¬ f3 ¬ ... ¬ f oraz (fn )n∈N zbiega prawie
wszędzie do funkcji f . Wtedy
Z
Z
fn dµ =
lim
n→∞
f dµ.
Wniosek 2 (twierdzenie o całkowaniu szeregów) Niech (fn )n∈N będzie ciągiem nieujemnych funkcji mierzalnych. Wtedy
Z X
∞
fn dµ =
∞ Z
X
fn dµ.
n=1
n=1
Dowód Zastosować twierdzenie o zbieżności monotonicznej do ciągu gn = f1 + ... + fn . Twierdzenie 3 (Lemat Fatou) Niech (fn )n∈N będzie ciągiem nieujemnych funkcji mierzalnych zbieżnych prawie wszędzie do funkcji f . Wtedy
Z
f dµ ¬ lim inf
Z
fn dµ.
n→∞
Dowód Niech gk = inf{fkR, fk+1 , ...}.
Oczywiście g1 ¬ g2 ¬ g3 ¬ ... oraz limk→∞ gk = f .
R
Ponadto fk ­ gk , czyli też fk dµ ­ gk dµ dla wszystkich k ∈ N. Zatem
Z
lim inf
n→∞
fn dµ ­ lim inf
Z
n→∞
Z
gn dµ = lim
n→∞
Z
gn dµ =
f dµ
na mocy twierdzenia o zbieżności monotonicznej. Twierdzenie 4 (Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej) Niech g będzie funkcją całkowalną, a (fn )n∈N będzie ciągiem funkcji mierzalnych zbieżnych takim, że:
1. |fn (x)| ¬ g(x) dla prawie wszystkich x
2. fn (x) → f (x) dla prawie wszystkich x
Wtedy
Z
lim
n→∞
Z
fn dµ =
f dµ.
Dowód Funkcje g + fn i g − fn są nieujemne i zbiegają p.w. do g + f i g − f . Z lematu
1
Fatou:
Z
g + f dµ ¬ lim inf
Z
n
Z
g − f dµ ¬ lim inf
n
Zatem
Z
lim sup
n
Z
Z
Z
g + fn dµ =
g − fn dµ =
fn dµ ¬
Z
Z
g dµ + lim inf
fn dµ
n
g dµ − lim sup
n
f dµ ¬ lim inf
Z
fn dµ.
Z
n
fn dµ.
2. Absolutna ciągłość i twierdzenie Radona-Nikodyma.
Niech f będzie nieujemną funkcją mierzalną. Zdefiniujmy funkcję zbioru
Z
ν(A) =
f dµ.
A
Fakt 5 Funkcja zbioru ν zdefiniowana powyżej jest miarą.
Dowód Łatwe sprawdzenie aksjomatów miary (zero na zbiorze pustym, dodatniość, przeliczalna assytywność - z tw. o całkowaniu szeregów). Definicja 1 Miara ν jest absolutnie ciągła względem µ, gdu ν(A) = 0 dla wszystkich A
zpełniających µ(A) = 0. Notacja ν << µ.
Powyżej zdefiniowana miara ν jest absolutnie ciągła względem µ. ν jest skończona wtedy
i tylko wtedy, gdy f jest całkowalna (względem µ).
Uwaga: absolutna ciągłość nie mówi nic o tym, czy µ, czy ν przyjmuje większe wartości.
Twierdzenie 6 (Radon-Nikodym) Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą skończoną. Niech ν będzie miarą na F absolutnie ciągłą wzlędem µ. Wtedy istnieje nieujemna funkcja mierzalna taka, że dla każdego A ∈ F mamy
Z
f dµ.
ν(A) =
A
Funkcja ta, zwana gęstością miary ν względem µ (lub pochodną Radona-Nikodyma), jest
dν
.
jedyna z dokładnością do miary. Oznaczamy ją dµ
2