Wykład 6 W dowolnym pierścieniu można zdefiniować

Wykład 6
W dowolnym pierścieniu można zdefiniować potęgowanie elementów ja0
ko an = a
| · a{z· · · a}. Możemy również zdefiniować potęgę a jako 1P (jeśli P
n×
posiada jedynkę). Dokładnie tak samo jak w pierścieniu liczb całkowitych
potęgowanie ma następujące własności:
(1) an+m = an · am .
(2) anm = (an )m .
Podobnie można zdefiniować mnożenie elementu danego pierścienia P
przez liczby całkowite. Jeśli p ∈ P i n ∈ Z to dla n > 0 mamy np =
p + p + . . . p, a dla n < 0 mamy np = −p − p − . . . − p i dodatkowo 0p = 0P .
|
{z
n×
}
|
{z
|n|×
}
Mnożenie to ma dwie poniższe własności:
(1) (n + m)p = np + mp.
(2) (nm)p = n(mp).
(3) Jeśli P posiada jedynkę to (kl)1P = (k1P )(l1P ).
Niech K będzie ciałem. Jeśli n jest najmniejszą liczbą naturalną 6= 0, taką
że n · 1K = 0 to mówimy że K ma charakterystykę równą n, a jeśli taka liczba
nie istnieje to mówimy, że K ma charakterystykę zero. Charakterystykę ciała
oznaczać będziemy przez CharK.
Przykład CharZp = p, CharQ = 0.
Twierdzenie 1 Charakterystyka ciała jest liczbą pierwszą lub jest równa zero.
Dowód Przypuśćmy, że charakterystyka ciała K jest różna od zera. Wtedy
CharK = n. Jeśli n nie jest liczbą pierwszą to istnieją liczby k, l różne od
±1, że n = kl. Wtedy n1K = (kl)1K = (k1K )(l1K ) = 0 i ponieważ w K nie
ma dzielników zera to k1K = 0 lub l1K = 0. A więc jeśli n nie jest pierwsza
to nie jest najmniejszą o własności n1K = 0.
Twierdzenie 2 Jeśli K jest ciałem to istnieje podciało K1 tego ciała izomorficzne z ciałem Q lub z ciałem Zp dla pewnej liczby pierwszej p.
Dowód Niech charakterystyka ciała K będzie równa pewnej liczbie pierwszej
p. Oznaczmy przez K1 zbiór:
K1 = {n1K : n ∈ N}
1
Zbiór K1 ma dokładnie p elementów: 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . . , 1| + 1 +{z. . . + 1}.
p−1
Ponadto K1 jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie. Rzeczywiście k1 + l1 = (k + l)1 i (k1)(l1) = (kl)1. Odwzorowanie f : Zp → K1 ,
f (k) = k1 jest izomorfizmem. Podobnie można udowodnić, że jeśli charakterystyka ciała K jest równa zero to K1 jest izomorficzny z pierścieniem liczb
całkowitych, a to oznacza że w ciele K istnieje podciało izomorficzne z ciałem
liczb wymiernych.
Twierdzenie 3 Jeśli ciało K jest skończone to liczba jego elementów jest
równa pk dla pewnej liczby pierwszej p i pewnej liczby naturalnej k.
Dowód Jeśli K jest ciałem skończonym to jego charakterystyka musi być
różna od zera. A więc istnieje liczba pierwsza p, taka że CharK = p. Na
podstawie poprzedniego twierdzenia istnieje podciało K1 ciała K, które jest
izomorficzne z ciałem Zp . Ciało K można traktować jako przestrzeń liniową nad K1 . Przestrzeń ta jest skończenie wymiarowa (bo liczba wektorów
jest skończona). Istnieją, zatem, wektory v1 , . . . , vk , które stanowią bazę tej
przestrzeni. To oznacza, że każdy element v ∈ K ma jednoznaczny zapis w
postaci:
v = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk ,
gdzie αi ∈ K1 . A więc liczba wektorów z ciała K jest równa liczbie wszystkich
możliwych ciągów (α1 , α2 , . . . , αk ) o wyrazach z ciała K1 . Ponieważ w ciele
K1 jest dokładnie p elementów to w ciele K jest dokładnie pk elementów.
Przykład Nie istnieje ciało, które ma dokładnie 6 elementów, bo liczba 6
nie jest potęgą liczby pierwszej.
Pierścienie wielomianów
Niech P będzie pewnym pierścieniem. Wielomianem o współczynnikach
z pierścienia P nazywamy wyrażenie postaci:
a0 + a1 x + . . . + an x n
gdzie ai ∈ P . Każdy element ai nazywamy współczynnikami tego wielomianu,
a element x nazywamy zmienną. Wyrażenia te rozumiemy w sposób formalny nie jako funkcje ale jako napisy formalne. Zbiór wszystkich wielomianów
jednej zmiennej x o współczynnikach z pierścienia P oznaczamy przez P [x].
Zmienna x spełnia następujące własności:
(i) ax = xa dla każdego a ∈ P .
(ii) Każdy element ze zbioru P [x] ma jednoznaczny zapis w postaci:
a0 + a1 x + . . . + an x n
2
gdzie ai ∈ P i n ­ 0.
(iii) Jeśli n ¬ m i:
a0 + a1 x + . . . + an x n = b 0 + b 1 x + . . . + b m x m
wtedy ai = bi dla każdego i ¬ n i bi = 0P dla każdego i > n.
Przykład Wielomian 2 + 0x − x2 + 0x3 + 5x4 ∈ R[x] zapisywać będziemy
zwykle w postaci 2 − x2 + 5x4 .
Przykład Jak wiadomo wielomiany można dodawać i mnożyć:
Niech f (x) = 1 + 5x − x2 + 4x3 + 2x4 , g(x) = 4 + 2x + 3x2 + x3 ∈ Z7 [x] wtedy:
f (x) + g(x) = 5 + 2x2 + 5x3 + 2x4 .
f (x)g(x) = 2x7 + 3x6 + x5 + 4x4 + 2x3 + 2x2 + x + 4.
Ogólniej działania dodawania i mnożenia wielomianów można wprowadzić
następująco:
(a0 + a1 x + . . . + an xn ) + (b0 + b1 x + . . . + bn xn ) =
(a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + . . . + (an + bn )xn
(a0 + a1 x + . . . + an xn ) · (b0 + b1 x + . . . + bm xm ) =
a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + . . . + an bm xn+m
dokładniej mówiąc współczynnik przy xk jest równy:
a0 bk + a1 bk−1 + a2 bk−2 + . . . + ak−2 b2 + ak−1 b1 + ak b0 =
k
X
ai bk−i
i=0
Twierdzenie 4 Struktura (P [x], +, ·) (z działaniami jak powyżej) jest pierścieniem. Jeśli P jest pierścieniem przemiennym to P [x] też jest pierścieniem. Jeśli P ma jedynkę to P [x] też.
Niech f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn będzie wielomianem nad P i niech
an 6= 0P . Wtedy liczbę n nazywamy stopniem wielomianu f (x), a element
an nazywamy elementem wiodącym. Stopień wielomianu f (x) oznaczać będziemy przez st(f (x)).
Jedynym wielomianem, który nie posiada stopnia jest wielomian zerowy
f (x) = 0P .
Twierdzenie 5 Jeśli P jest dziedziną całkowitości to dla dowolnych niezerowych wielomianów f (x), g(x) ∈ P [x] mamy:
st(f (x)g(x)) = st(f (x)) + st(g(x))
Wniosek 1 Jeśli P jest dziedziną całkowitości to P [x] też jest dziedziną.
3
Algorytm dzielenia
Twierdzenie 6 Niech K bedzie dowolnym ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x],
gdzie g(x) 6= 0K . Wtedy istnieje dokładnie jedna para wielomianów q(x), r(x) ∈
K[x], takich że:
f (x) = q(x)g(x) + r(x)
i r(x) = 0K lub st(r(x)) < st(g(x))
Wielomian r(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu f (x) przez g(x).
Przykład Podzielimy wielomian 3x5 + 2x4 + 2x3 + 4x2 + x − 2 przez 2x3 + 1
(jako wielomiany o współczynnikach rzeczywistych).
3 2
x + x
+ 1
2
3x5
3x5
+ 2x4
+
+
2x3
+
4x2
3 2
x
2
+ x
− 2 :
2x4
2x4
+
+
2x3
+
5 2
x
2
+ x
x
− 2
2x3
2x3
+
+
5 2
x
2
2x3 + 1
− 2
+ 1
5 2
x
2
− 3 ← reszta
Podamy teraz łatwy sposób dzielenia wielomianu f (x) = an xn +an−1 xn−1 +
. . . a1 x + a0 przez dwumian postaci x − c. Algorytm ten nazywa się schematem Hornera.
an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 = (x−c)(bn−1 xn−1 bn−2 xn−2 +. . .+b1 x+b0 )+r
współczynniki bi oraz resztę r znajdujemy korzystając z następującej tabelki:
an
an−1
an−2
...
a1
a0
c
an
cbn−1 + an−1 cbn−2 + an−2 . . . cb1 + a1 cb0 + a0
= bn−1
= bn−2
= bn−3
= b0
=r
Przykład Podzielić wielomian f (x) = 2x5 −9x4 +4x3 −x2 +27 przez dwumian
x − 4.
Rozwiązanie Korzystamy z powyższego algorytmu:
2 −9 4 −1 0 27
4 2 −1 0 −1 −4 11
4
Zatem mamy f (x) = (x − 4)(2x4 − x3 − x − 4) + 11.
Niech K będzie ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x]. Będziemy mówić, że
f (x) dzieli wielomian g(x) jeśli istnieje wielomian h(x) ∈ K[x] taki, że g(x) =
f (x)h(x) i piszemy wtedy f (x)|g(x). A więc mamy:
f (x)|g(x) ⇐⇒ ∃h(x) ∈ K[x] g(x) = f (x)h(x)
Przykład (2x + 1)|(6x2 − x − 2).
Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x), a wielomian g(x) dzieli wielomian h(x) to wielomian f (x) dzieli wielomian h(x), czyli:
f (x)|g(x) i g(x)|h(x) ⇒ f (x)|h(x)
5