macierzą ortogonalną

ALGEBRA3
Semestr 1
Dr inż. Krzysztof Lisiecki
1
Pokój 512 na V piętrze w budynku AKWARIUM
tel. 631-36-15
E-mail : [email protected]
Dyżur dla studentów w semestrze zimowym:
Czwartek
Piątek
2
12.15 - 13.00
13.15 – 14.00
pok. wykładowców
pok. 512 (akwarium)
Wykład nr 1 i 2
Struktury algebraiczne.
3
Rozważmy dwa niepuste zbiory X i Y.
Przez parę uporządkowaną nazywamy parę (a, b)
złożoną z elementów a ∈ X oraz b ∈ Y , w której
wiadomo, który element jest pierwszy, a który
drugi.
Mówimy
poprzednikiem,
zaś
uporządkowanej (a, b) .
4
wówczas,
b
że
następnikiem
a
jest
pary
Iloczynem kartezjańskim zbioru X i zbioru Y
nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych
(a, b) takich, że a ∈ X oraz b ∈ Y , tzn. zbiór
X × Y = {(a , b ); a ∈ X ∧ b ∈ Y }.
5
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem.
Działaniem
dwuargumentowym
wewnętrznym
nazywamy każdą funkcję
f :X×X →X
Zbiór
X
z
wprowadzonym
działaniem
wewnętrznym „ * ” oznaczamy jako parę (X,*).
6
Działanie „ * ” nazywamy :
a) łącznym gdy
∧
a,b,c∈X
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ,
b) przemiennym,
gdy
∧
a,b∈X
a ∗ b = b ∗ a.
7
Jeżeli
e∈ X
∨
∧
e∈X a∈X
e ∗ a = a ∗ e = a , to element
nazywamy
względem działania „*”
8
elementem
neutralnym
Przykład. W zbiorze R, liczb rzeczywistych,
elementem neutralnym względem dodawania jest
0, zaś elementem neutralnym względem mnożenia
jest 1.
9
TWIERDZENIE. Jeżeli w zbiorze X określone jest
działanie wewnętrzne „ * ” i e jest elementem
neutralnym względem tego działania, to jest to
element jedyny.
10
W zbiorze X, w którym określone jest działanie „ *
” posiadające element neutralny e, element a '∈ X
nazywamy elementem symetrycznym do elementu
a∈ X
∧
względem
∨
a∈X a'∈X
działania
„
*
”,
jeżeli
a'∗a = a ∗ a' = e
11
TWIERDZENIE. Jeżeli w zbiorze X określone jest
działanie łączne „ * ” mające element neutralny e
, i dla dowolnego elementu a ∈ X istnieje element
symetryczny a'∈ X , to element ten jest jedyny,
12
Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i K.
Funkcję
g : K × X → X , która każdej parze
(k , a ) ∈ K × X przyporządkowuje pewien element
g (k , x ) ze zbioru X nazywamy działaniem
zewnętrznym w zbiorze X.
13
Strukturą algebraiczną określoną na zbiorze A
nazywamy każdy zespół
( A, K1 ,..., K n ; f1 ,..., f m , g1 ,..., g n )
złożony ze zbioru A, z pewnej liczby działań
wewnętrznych f1 ,..., f m w zbiorze A oraz z pewnej
liczby działań zewnętrznych g1 ,..., g n określonych
w zbiorze A za pomocą zbiorów K1 ,..., K n .
14
Parę (G,o )nazywamy grupą, jeżeli G jest
niepustym zbiorem, w którym określone jest
działanie wewnętrzne o : G × G ∋ (a, b) a a o b = c ∈ G ,
mające wymienione niżej własności:
15
− jest łączne
∧
a,b,c∈G
(a o b) o c = a o (b o c),
− ma element neutralny ∨
∧
e∈G a∈G
e o a = a o e = a,
− każdy element a ∈ G ma element symetryczny
a'∈ G
16
Jeżeli dodatkowo działanie „○” jest przemienne
grupę (G,o ) nazywamy przemienną lub abelową.
17
Uporządkowaną trójkę (P,+,*), gdzie P jest
niepustym zbiorem P wyposażonym w dwa
działania wewnętrzne oznaczone przez + i *
nazywamy pierścieniem jeżeli
18
1.(P,+) jest grupą abelową,
2.(P,*) jest półgrupą tzn. jest to zbiór P z
działaniem łącznym,
3.drugie działanie jest rozdzielne względem
pierwszego
19
Inaczej
1. (P,+) jest grupą abelową
• + : P×P ∋ (a,b) a a+b = c ∈ P
•
20
∧
a,b,c∈P
(a + b) + c = a + (b + c),
• ∨
∧ 0 + a = a + 0 = a,
0∈P a∈P
Element neutralny 0 pierwszego działania
nazywamy zerem pierścienia,
• ∧
∨ a + (−a ) = 0.
a∈P −a∈P
Element symetryczny do a względem
21
pierwszego działania nazywamy elementem
przeciwnym i oznaczamy symbolem -a.
•
22
∧
a,b∈P
a + b = b + a.
2.(P,*) jest półgrupą
• * : P×P ∋ (a,b) a a*b = c ∈ P
•
∧
a,b,c∈P
(a * b) * c = a * (b * c),
23
3. drugie działanie jest rozdzielne względem
pierwszego
 ∧
a,b,c∈P
 ∧
 a,b,c∈P
(a + b) * c = a * c + b * c
c * (a + b) = c * a + c *b
Pierścień (P,+,*) nazywamy
24
• przemiennym jeżeli drugie działanie jest
przemienne
∧
a,b∈P
a * b = b * a,
• pierścieniem z jednością lub pierścieniem
unitarnym, jeżeli istnieje w nim element
neutralny drugiego działania
∨
∧
1∈P a∈P
1 * a = a *1 = a.
25
Element neutralny drugiego działania oznaczamy
przez 1 i nazywamy jednością pierścienia.
26
Co najmniej dwuelementowy pierścień (K,+,*), w
którym (K\{0},*) jest grupą, nazywamy ciałem i
oznaczamy analogicznie jak pierścień tzn. (K,+,*).
27
Oznacza to, że dla każdego x∈(K\{0},*) istnieje
takie
x-1∈(K\{0},*), że x -1*x = x*x
-1
= 1, czyli po
usunięciu ze zbioru K elementu neutralnego
pierwszego
działania,
każdy
z
pozostałych
elementów tego zbioru ma element symetryczny
względem drugiego działania.
28
Jeżeli w ciele (K,+,*) drugie działanie jest
przemienne, to ciało nazywamy przemiennym.
29
W ciele (K,+,*), równanie x + a = 0 ma
dokładnie jedno rozwiązanie
równanie
-a, podobnie
a*x = 1, ma dokładnie jedno
rozwiązanie a -1. Można więc powiedzieć, że w
ciele istnieje odejmowanie i dzielenie.
30
Przykłady. Ciałami przemiennymi ze względu na
dodawanie i mnożenie są zbiory wszystkich liczb
1.wymiernych Q
2.rzeczywistych R
3.zespolonych C.
31
Przestrzeń liniowa.
Przy podanych wyżej oznaczeniach przestrzenią
liniową
nad
ciałem
K
nazywamy
czwórkę
(L,+,K, •), gdzie:
1. para (L,+) jest grupą abelową
2. trójka (L,K, •) jest zbiorem L wyposażonym w
działanie zewnętrzne nad ciałem K tj. takie,
32
które dowolnej parze (a,α), gdzie a ∈K i α ∈
L, przypisujemy element aα ∈L tzn.
(α,a) a αa ∈L,
3. oba działania dodawanie w zbiorze L i
mnożenie zewnętrzne, spełniają cztery warunki
zgodności : dla dowolnych a,b∈K i dowolnych
α,β∈L
33
•
a•(α+β) = a•α + a•β
rozdzielność
mnożenia przez skalar względem dodawania
wektorów
•
(a+b)•α = a•α + b•α
rozdzielność mnożenia
przez wektor względem dodawania skalarów
•
34
a•(b•α) = (ab)•α
"łączność"
•
1•α = α
jedność ciała K jest
jednością mnożenia zewnętrznego.
35
Przykład. Zbiór wektorów w przestrzeni R3 z
dodawaniem wektorów i mnożeniem wektora
przez liczbę rzeczywistą, jest przestrzenią liniową
nad ciałem R liczb rzeczywistych.
36
37
MACIERZE
38
Niech dane będą: ciało liczbowe (K,+,⋅), oraz
zbiory
{1, 2,...,m} i {1, 2,... ,n}.
Macierzą nazywamy funkcję
f : {1, 2,..., m} × {1, 2,... , n} ∋ (i, k) → f(i, k) = a ik ∈ K ,
czyli skończony dwuwskaźnikowy ciąg elementów
aik.
39
Macierz zapisujemy w postaci tablicy prostokątnej
 a11 a12
a
a22
 21
 ..... .....
 ..... .....

am1 am 2
..... a1n 
..... a2 n 

..... ..... 
..... ..... 

..... amn 
lub symbolicznie [aik ]( m, n ) .
Symbol (m,n) określa wymiar macierzy (na
40
pierwszym miejscu liczba wierszy, na drugim
liczba kolumn).
Dwie
macierze
tego
A = [aik](m,n) i B = [bik](m,n)
samego
wymiaru
są równe, jeżeli
41
dla każdego i ∈{1,2,...,m} i dla każdego k ∈
{1,2,...,n}
mamy
aik = bik .
Symbolem Kroneckera nazywamy funkcję
42
1 gdy i = k
δ ik = 
,
0 gdy i ≠ k
i,k∈N.
Macierz kwadratową A =[aik](n,n) nazywamy:
43
• diagonalną, gdy jest postaci
D =[δikaik](n,n)
• skalarną, gdy jest postaci
S = [δika](n,n)
• jednostkową, gdy jest postaci
1 = [δik](n,n)
• symetryczną, jeżeli dla każdego i,k∈{1,2,...,n} aik
= aki
44
• skośnie symetryczną, jeżeli dla każdego
i,k∈{1,2,...,n}
(macierz
aik = − aki
skośnie symetryczna ma na głównej
przekątnej same zera)
45
Symbolem
1
oznaczać
będziemy
jednostkowe dowolnego stopnia np.
[1],
46
1 0
0 1,


1 0 0 
0 1 0.


0 0 1
macierze
Macierzą transponowaną AT macierzy A
nazywamy macierz
AT = [aik]T(m,n) = [aki] (n,m) .
47
Działania
na
macierzach.
Dodawanie macierzy.
48
Sumą macierzy A =[aik](m,n) i macierzy B =
[bik](m,n) nazywamy macierz
C = [cik](m,n) ,
gdzie
cik = aik + bik
dla każdego i ∈ {1,2,...,m} i każdego k ∈
{1,2,...,n}.
49
Odejmowanie macierzy. Różnicą macierzy A
=[aik](m,n) i macierzy B = [bik](m,n) nazywamy
macierz
C= [cik](m,n) ,
gdzie
cik = aik - bik
50
dla każdego
i ∈ {1,2,...,m} i każdego k ∈
{1,2,...,n}.
Mnożenie macierzy przez liczbę.
Iloczynem macierzy A = [aik] przez liczbę
α
∈ K nazywamy macierz
α·A = [α·aik],
51
dla każdego i ∈ {1,2,...,m} i każdego
{1,2,...,n}.
Mnożenie macierzy.
52
k∈
Iloczynem macierzy
A =[aij](m,p)
przez
macierz
B = [bjk](p,n) nazywamy macierz
C = [cik](m,n),
gdzie
p
cik = ∑ aij b jk = ai1b1k + ai 2b2 k + ... + aip b pk
j =1
53
dla każdego i ∈ {1,2,...,m} i każdego k ∈
{1,2,...,n}
Własności macierzy.
1. Dodawanie macierzy jest przemienne
= B + A.
54
A+B
2. Dodawanie macierzy jest łączne
(A + B)
+ C = A + (B + C).
3. A + X = A ⇒ X = 0.
4. A + Y = 0 ⇒ Y = -A.
55
5. Mnożenie macierzy przez liczbę jest przemienne
a ⋅ A = A ⋅ a,
dla
każdego
6. a ⋅ ( A + B) = a ⋅ A + a ⋅ B, dla każdego a∈Κ
7. (a + b) ⋅ A = a ⋅ A + b ⋅ B , dla każdego a,b∈Κ
56
a∈Κ
8. a ⋅ (b ⋅ A) = (ab) ⋅ A = b ⋅ (a ⋅ A) , dla każdego a,b∈Κ
9. 1 ⋅ A = A
10. a ⋅ ( A ⋅ B) = (a ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (a ⋅ B) = ( A ⋅ B) ⋅ a , dla
każdego a∈Κ
11. ( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)
mnożenie macierzy jest
łączne
12. A ⋅ 1 = 1 ⋅ A
57
13.
( A ± B) ⋅ C = A ⋅ C ± B ⋅ C, C ⋅ ( A ± B) = C ⋅ A ± C ⋅ B ⋅
mnożenie macierzy jest rozdzielne względem
dodawania
14. A ⋅ B ≠ B ⋅ A
przemienne
T T
15. (A ) = A
58
mnożenie macierzy nie jest
16. ( A ⋅ B)T = BT ⋅ AT
59
WYZNACZNIKI
Wyznacznikiem nazywamy funkcję
przyporządkowującą każdej macierzy
kwadratowej
A = [aik ]( n ,n ) stopnia n o
elementach z ciała K pewien element tego ciała oznaczany przez
det A , która to funkcja
określona jest przez warunki:
60
1.
dla
n = 1, det[a11 ] = a11
n
2.
dla
n > 1 det A = ∑ a1k A ,
*
1k
k =1
gdzie wyrażenie
A ik = (− 1)
*
i+k
Aik
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu
aik
zaś wyrażenie
Aik nazywane
61
podwyznacznikiem wyznacznika det A,
odpowiadającym elementowi
wyznacznikiem stopnia
aik - jest
n − 1 powstałym z
wyznacznika det A, przez skreślenie w nim
i −tego wiersza i k −tej kolumny. Oprócz
oznaczenia det A wyznacznik macierzy A
zapisujemy podobnie jak macierz w tablicy
62
a11
a12
..... a1n
a21
a22
..... a2 n
det A = .....
..... ..... .....
..... ..... ..... .....
am1 am 2 ..... amn
63
Przykład
a11
a 21
a12
=
a 22
k =2
∑ a1k A1k a1k A1k =
*
*
k =1
= a11 ( − 1) 2 A11 + a12 ( − 1) 3 A12 = a11 a 22 − a12 a 21
64
TWIERDZENIE LAPLACE’A. Wartość wyznacznika
macierzy kwadratowej A równa jest sumie
iloczynów kolejnych elementów dowolnego
wiersza (kolumny) przez odpowiadające tym
elementom dopełnienia algebraiczne. Suma
iloczynów kolejnych elementów dowolnego
wiersza (kolumny) przez odpowiednie dopełnienia
algebraiczne innego wiersza (kolumny) jest zawsze
równa zero.
65
Własności wyznaczników.
1.
det (A ) = det A
2.
Jeżeli w wyznaczniku zamienimy miejscami
T
dwa dowolne wiersze (kolumny), to wartość
wyznacznika zmieni się na przeciwną.
66
3.
Aby wyznacznik pomnożyć przez liczbę
należy wszystkie elementy dowolnego wiersza
(kolumny) pomnożyć przez tę liczbę.
4.
Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy
znajdujące się nad (lub pod) diagonalą są
równe zeru, to wartość wyznacznika równa jest
iloczynowi elementów diagonali.
67
5.
Jeżeli w wyznaczniku
a) wszystkie elementy pewnego wiersza
(kolumny) są równe zeru, lub
b) dwa wiersze (kolumny) są identyczne, lub
68
c) wszystkie elementy pewnego wiersza
(kolumny) są proporcjonalne do
odpowiednich elementów innego wiersza
(kolumny), lub
d) pewien wiersz (kolumna) jest kombinacją
liniową pozostałych wierszy (kolumn)
to wartość wyznacznika równa jest zeru.
69
6.
Jeżeli
w
pewnego
odpowiednie
wyznaczniku
wiersza
do
(kolumny)
elementy
innego
elementów
dodamy
wiersza
(kolumny) pomnożone przez jedną i tę samą
liczbę, to wartość wyznacznika nie ulegnie
zmianie.
70
7.
TWIERDZENIE CAUCHY'EGO.
Jeżeli
A i B są macierzami tego samego
stopnia, to
det (A ⋅ B ) = det A ⋅ det B
71
Macierz nieosobliwa, macierz odwrotna
A nazywamy
gdy det A ≠ 0,
Macierz kwadratową
• nieosobliwą ,
• osobliwą , gdy det A
72
= 0.
Macierzą dołączoną
A
D
macierzy kwadratowej
A = [aik ]( n ,n ) nazywamy transponowaną macierz
dopełnień algebraicznych
elementom
*
ik
A
odpowiadających
aik macierzy A
A = [A
D
]
* T
ik
73
Macierzą odwrotną do nieosobliwej macierzy
nazywamy macierz - którą oznaczamy
że
−1
−1
A ⋅A = A⋅A =1
74
A
−1
A
taką,
TWIERDZENIE.
1
1
D
* T
A =
A =
[ A ik ] .
det A
det A
−1
75
Macierzą
kwadratową
ortogonalną
nazywamy
A = [aik ]( n ,n )
gdzie
macierz
aik ∈ R
taką,
że
−1
A =A
Jeżeli
76
T
A jest macierzą ortogonalną stopnia n to
det A = 1
(wyznacznik macierzy
ortogonalnej równy jest
± 1),
suma kwadratów elementów dowolnego
wiersza (kolumny) równa jest jeden,
suma iloczynów odpowiednich elementów
różnych wierszy (kolumn) równa jest zero,
77
macierz
odwrotna
A
−1
jest
macierzą
ortogonalną,
iloczyn
gdy
B
stopnia
78
A⋅B
jest macierzą ortogonalną,
jest dowolną macierzą ortogonalną
n.
Jeżeli z dowolnej macierzy usuniemy pewną ilość
wierszy i kolumn, w ten sposób by pozostałe
elementy tworzyły „tablicę kwadratową” to,
wyznacznik
utworzony
z
tych
pozostałych
elementów nazywamy minorem danej macierzy.
79
Uwaga:
W zależności od swego wymiaru macierz ma
zwykle wiele minorów różnych stopni.
80
A jest rzędu r co
zapisujemy r = r (A ) , jeżeli
1. istnieje w macierzy A różny od zera minor
stopnia r
2. nie istnieje w macierzy A różny od zera
minor stopnia wyższego niż r .
Mówimy, że macierz
81
Rząd
macierzy
określa
więc
stopień
"nąjwiększego" różnego od zera minora macierzy.
Z definicji wynika również, że gdy macierz jest
wymiaru (m, n )to,
0 ≤ r ≤ min{m, n}
82
UKŁADY RÓWNAŃ
LINIOWYCH
83
Układem n równań liniowych z n niewiadomymi
nazywamy układ postaci
 a11 x1
a x
 21 1
 .....
 ......

a n1 x1
84
+ a12 x 2
+ a 22 x 2
+ .....
+ .....
+
+
a1n x n
a 2n xn
= b1
= b2
..
.....
..
.....
+ an2 x2
.. ..... ..... .....
.. ..... ..... .....
+ ..... + a nn x n
.. ...
.. ...
= bn
Po wprowadzeniu oznaczeń
 a11
a
 21
A = .....
.....

 a n1
..... a1n 
 b1 
 x1 
x 
b 
a 22 ..... a 2 n 
 2
 2

..... ..... ......, X =  ... , B =  ... ,
 ... 
 ... 
..... ..... ......
 
 

a n 2 ..... a nn 
 xn 
bn 
a12
układ równań, można zapisać równoważnym mu
równaniem macierzowym A ⋅ X = B .
85
TWIERDZENIE CRAMERA.
Jeżeli układ n równań liniowych o n
niewiadomych, ma nieosobliwą macierz A
współczynników przy niewiadomych, to układ ten
ma jedyne rozwiązanie dane wzorami Cramera
Ai
xi =
, dla
det A
86
i = 1,2,...,n,
gdzie Ai jest wyznacznikiem powstałym z
wyznacznika macierzy A, przez zastąpienie w nim
kolumny współczynników przy niewiadomej xi
kolumną wyrazów wolnych.
87
Przykład 1. Rozwiązać układ równań
2 x − y + z = 3

 x + y − 2 z = 4.
 x − 2y + z = 1

88
Zauważmy, że w tym przypadku
2 − 1 1 
 x
3






A = 1 1 −2 , X = y , B = 4 ,

 
 

1 − 2 1 
 z 
1 
89
Rozwiązanie:
Ponieważ detA = -6 ≠ 0 można zastosować wzory
Cramera
Ay
Ax
Az
x=
,y=
,z=
.
det A
det A
det A
Obliczamy kolejno wyznaczniki
90
3
Ax = 4
−1 1
1 − 2 = −12
1 −2
2 3 1
Ay = 1 4 − 2 = 0
1
1 1
2
1
−1 3
Az = 1 1 4 = 6.
1 −2 1
91
i stosujemy wzory Cramera otrzymując
Ax
x=
=2
det A
Ay
y=
= 0,
det A
Az
z=
= −1.
det A
92
Układem
n równań liniowych jednorodnych o n
niewiadomych nazywamy układ postaci
 a11 x1
a x
 21 1
 .....
 ......

a n1 x1
+ a12 x 2
+ a 22 x 2
+ .....
+ .....
..
..
.. ..... .....
.. ..... .....
.....
.....
+ an2 x2
+ .....
+
+
+
a1n x n
a 2n xn
.....
.....
a nn x n
=
=
0
0
.. ...
.. ...
=
0
93
TWIERDZENIE. Jeżeli układ
jednorodnych o
n równań liniowych
n niewiadomych ma nieosobliwą
macierz współczynników przy niewiadomych to
układ ten ma jedynie rozwiązanie zerowe
x1 = x2 = ... = xn = 0
94
TWIERDZENIE. Układ
jednorodnych o
n
n
równań
liniowych
niewiadomych ma - oprócz
rozwiązania zerowego - rozwiązanie niezerowe
wtedy i tylko wtedy, gdy macierz współczynników
przy niewiadomych tego układu jest osobliwa.
95
. Układem m równań liniowych
niewiadomych nazywamy układ postaci
 a11 x1
a x
 21 1
 .....
 ......

a m 1 x1
96
+
+
a12 x 2
a 22 x 2
..
..
.....
.....
+ am2 x2
+ .....
+ .....
+
+
.. ..... .....
.. ..... .....
+ .....
.
+
a1n x n
a 2n xn
.....
.....
a mn x n
n
o
= b1
= b2
..
..
...
...
= bm
Oznaczmy jak poprzednio przez
A
macierz
współczynników przy niewiadomych, przez
macierz-kolumnę niewiadomych i przez
X
B-
macierz-kolumnę wyrazów wolnych. Oznaczmy
jeszcze przez
zawierającą
U
tzw. macierz uzupełnioną
wszystkie
współczynniki
układu
równań i wyrazy wolne:
97
 a11 a12
a
a22
21

U = ..... .....
..... .....

am1 am 2
98
.....
.....
.....
.....
.....
a1n b1 

a2 n b2

..... ... ,

..... ...

amn bm 
TWIERDZENIE KRONECKERA-CAPELLI.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by
dowolny układ równań liniowych miał rozwiązanie
jest, aby rząd macierzy współczynników przy
niewiadomych, był równy rzędowi macierzy
uzupełnionej, czyli
r ( A) = r (U)
99
Jeżeli warunek
r ( A) = r (U)
jest spełniony,
to układ równań ma rozwiązanie, które zależne
n − r parametrów, gdzie n jest liczbą
niewiadomych, a r wspólnym rzędem macierzy
A oraz U
jest od
100
W przypadku, gdy
n = r w rozwiązaniu nie ma
parametrów dowolnych -
układ jest oznaczony
(ma dokładnie jedno rozwiązanie).
Jeżeli
r ( A) ≠ r (U)
układ
równań
jest
sprzeczny.
101
Gdy układ ma rozwiązanie wyznaczamy je
następująco:
1. wyznaczamy wspólny rząd r macierzy A i U
2. znajdujemy w macierzy A różny od zera minor
stopnia r
3. równania nie objęte tym minorem odrzucamy, a
niewiadome nie objęte tym minorem przenosimy
na drugą stronę i traktujemy dalej jako parametry
4. do tak otrzymanego układu równań stosujemy
wzory Cramera.
102
W przypadku układu równań liniowych
jednorodnych, który nie może być sprzeczny,
rozwiązanie wyznaczamy następująco:
A znajdujemy
r = r (A)
1. w macierzy współczynników
różny od zera minor stopnia
2. dalej postępujemy jak w punkcie 3 i 4
poprzedniego omówienia.
103
Przykład 2. Rozwiązać układ równań
2 x
3 x


x

 x
− 3y +
− 2y +
− 4y +
+ y
Rozwiązanie.
104
z − u
z + u
z − 3u
+ 2u
= 1
= 0
.
= 2
= −1
Dla uproszczenia macierze A i U zapisujemy w
jednej tablicy
2 − 3 1 − 1 1 
3 − 2 1 1

0

A|U=
1 − 4 1 − 3 2 
1 1 0 2 − 1


105
Zauważmy, że w macierzy A i U trzeci i czwarty
wiersz są kombinacjami liniowymi pierwszych
dwóch wierszy 2w1 - w2 = w3 i w2 - w1 = w4,
zatem wszystkie minory stopnia 4 i 3 obu
macierzy są równe zeru. Ponieważ w obu
macierzach występuje ten sam, różny od zera
minor stopnia
2
(np. minor zawierający
współczynniki przy niewiadomych x i y w
pierwszych dwóch równaniach), więc r(A) = r(U)
= 2. Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelli
106
układ ma rozwiązanie zależne od p = n-r = 4-2 =
2 parametrów dowolnych.
Dygresja. Wróćmy jeszcze do stwierdzonej
zależności między wierszami macierzy A i U.
Wynika z niej , że trzecie i czwarte równania
układu są zbyteczne bowiem jako kombinacje
liniowe dwóch pierwszych równań powtarzają
zawarte w nich informacje (tzn., że 2x-3y+z-u=1
oraz, że 3x-2y+z+u=0). Zastanówmy się co by
było, gdyby w układzie zmienić prawą stronę
trzeciego równania z 2 na dowolną inną liczbę.
107
Otóż czwarte równanie układu jest nadal
zbyteczne ale trzecie równanie jest teraz sprzeczne
z dwoma pierwszymi bowiem z nich wynika, że x
- 4y + z - 3u równe jest dwa, a nie liczbie różnej
od dwu. Zatem układ jest sprzeczny. A co można
powiedzieć w tym przypadku o rzędach macierzy
A i U ? Ponieważ w macierzy A nic się nie
zmieniło nadal r(A) = 2, natomiast r(U) = 3 (bo
w4 nadal jest kombinacją liniową, a w3 już nie). A
więc rzędy macierzy A i U rzeczywiście wpływają
108
na istnienie lub nieistnienie rozwiązania układu
równań liniowych.
Rozwiązanie c.d. W macierzy A znajdujemy
różny od zera minor stopnia 2. Może to być ten,
który już znaleźliśmy wcześniej lub dowolny inny
stopnia 2 byle różny od zera. Aby ułatwić sobie
rozwiązanie wygodniej wziąć wyznacznik
współczynników przy niewiadomych z i u w
pierwszych dwóch równaniach. Równania nie
objęte tym minorem odrzucamy, a niewiadome nie
109
objęte tym minorem przenosimy na drugą stronę i
traktujemy dalej jako parametry.
z − u
z + u


x


y
= 1 − 2s + 3t
=
s
=
=
t
=
0,5
=
=
x
y
− 3s + 2t

, s, t ∈ R . Odp. 
s
z
u
t
− 2,5s + 2,5t
s, t ∈ R .
= −0,5 − 0,5s − 0,5t
Otrzymane rozwiązanie spełnia oczywiście cały
pierwotny układ równań, tzn. spełnia również
równania pominięte. Czytelnik zechce
odpowiedzieć na pytanie: dlaczego ?
110
Płaszczyzna i prosta.
Równania parametryczne płaszczyzny.
Niech P(x,y,z) będzie dowolnym punktem
płaszczyzny π.
→
Zatem wektory P0P = [ x − x0 , y − y 0 , z − z0 ] oraz u i
v są komplanarne, a to oznacza, że istnieją stałe t i
s takie, że
→
P0P = tu + sv , gdzie t , s ∈ R .
czyli
111
x

y
z

= x0
+ uxt
+ v xs
= y0
= z0
+ uy t
+ uzt
+ v y s,
+ v zs
Te równania skalarne nazywamy równaniami
parametrycznymi płaszczyzny.
Równanie ogólne płaszczyzny.
112
→
Ponieważ wektory P0P = [ x − x0 , y − y 0 , z − z0 ] oraz
u i v są komplanarne, to
x − x0
ux
vx
y − y0
uy
vy
z − z0
u z =0.
vz
Równaniu temu można nadać postać
113
A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z0 ) = 0
lub
Ax + By + Cz + D = 0
Ostatnie równanie nazywamy równaniem ogólnym
płaszczyzny.
Weźmy pod uwagę wektor n = [A,B,C] . Łatwo
zauważyć, że jest on iloczynem wektorowym
wektorów u i v :
114
i
n = u × v = ux
vx
j
uy
vy
k
uz = [ A, B,C ] = [A,B,C]
vz
n = [ A, B,C ]
nazywamy
wektorem
Wektor
normalnym płaszczyzny π. .
Wzór na odległość dowolnego punktu P0 ( x0 , y 0 , z0 )
od płaszczyzny określonej równaniem ogólnym
Ax + By + Cz + D = 0
115
d =
| Ax 0 + By 0 + Cz0 + D |
.
2
2
2
A +B +C
Równanie odcinkowe płaszczyzny
x y z
+ + = 1.
p q r
Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn
Rząd
Układ równań, Położenie
macierzy liczba param. płaszczyzn
r(A) ≠ r(U)
płaszczyzny są
Sprzeczny
116
równoległe
r(A) = r(U) = 1 nieoznaczony, płaszczyzny
p = n-r = 2 pokrywają się
r(A) = r(U) = 2 nieoznaczony, płaszczyzny
p = n-r = 1
mają wspólną
prostą
Równania parametryczne prostej l.
117
x = x 0

y = y 0
z = z

0
118
+ at
+ bt ,
+ ct
gdzie t ∈ R,
Równania kierunkowe prostej
x − x0 y − y 0 z − z0
=
=
.
b
c
a
119
Równania krawędziowe prostej.
 A1x

 A2 x
120
+ B1y
+ C1z
+ D1
= 0
+ B2 y
+ C2 z + D2
= 0
Wzajemne położenie dwóch prostych. Dane są
dwie proste l1 i l2
x = x1 + a1t

l1 ≡ y = y1 + b1t,t ∈ R,
z = z + c t

1
1
x = x 2

l2 ≡ y = y 2
z = z

2
+ a 2s
+ b2s,s ∈ R.
+ c 2s
121
wektory są
równoległe
proste
pokrywają
się
proste
mają
punkt
wspólny
proste
proste nie
równoległe
mają
punktu
wspólnego
122
wektory nie są
równoległe
proste przecinają
się
proste są skośne
Pęk płaszczyzn
λ1( A1x + B1y + C1z + D1 ) + λ2 ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
przy czym λ12 + λ22 > 0
123