Lista 3 zada« z analizy matematycznej. Biotechnologia. Studia in

Lista 3 zada« z analizy matematycznej. Biotechnologia. Studia in»ynierskie
1. Napisa¢ równanie stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
a)
f (x) = arcsin x, ( 12 , f ( 12 )); c) f (x) = ln(x2 + e), (0, f (0));
√
√
√
2x
2, f ( 2)); e) f (x) = (x + 1) 3 3 − x, (−1, f (−1)).
f (x) = 1+x
2, (
f (x) = x2 , (1, 1);
2. d)
b)
3. Zbada¢, czy podane funkcje maj¡ pochodne niewªa±ciwe we wskazanych punktach:
a)
f (x) = sin
√
5
x, x0 = 0;
b)
√
5
g(x) =
x2 , x0 = 0.
4. Korzysta j¡c z ró»niczki funkcji obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych wyra»e«:
a)
√
3
7, 9999,
b)
e0,04 ,
c)
ln 2000
2001 ,
d)
5. Znale¹¢ wzory ogólne na pochodn¡
a)
f (x) = sin 4x,
b)
f (x) =
√
3
x,
arccos 0, 499,
e)
√1 .
3,98
n-tego rz¦du podanych funkcji:
2
c) f (x) = sin x,
d) f (x) = ln(1 + 2x).
6. Zastosowa¢ twierdzenie Lagrange'a do podanych funkcji na wskazanych przedziaªach. Wyznaczy¢ odpowiednie punkty:
a)
f (x) = arcsin x, [−1, 1];
g(x) = ln x, [1, e].
b)
7. Znale¹¢ przedziaªy monotoniczno±ci podanych funkcji:
x5
x3
a)
,
b)
,
c)
5
3
x3
x
d)
e)
f)
√
g(x) = x ln x
h(x) = (x − 3) x,
q(x) = x−2 ,
r(x) = e cos x.
f (x) =
− +2
p(x) = x + sin x,
8. Korzysta j¡c z reguªy de L'Hospitala obliczy¢ podane granice:
ln(1+x)
ln x
2x −22−x
1
a)
b)
c)
d)
x
ln
sin
x
(x−1)2
+
−
x→0
x→0 x sin x
x→0
x→1
√1
1 x
tgx
x
h)
j)
g)
i)
x
x→∞
x→∞
x→0
x→ π2 −
lim
,
lim
lim (cos ) ,
,
lim
lim (sin x)
,
,
lim (
,
lim (x + 1)
− x12 ),
e)
lim x ln x,
a)
f (x) =
x0 = 2, n = 3;
b)
f (x) =
√
lim xsin x ,
x→0+
1
lim (cos x) x .
9. Napisa¢ wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a dla podanej funkcji, wskazanego punktu oraz
x
x−1 ,
f)
x→0+
n:
x, x0 = 1, n = 3.
10. Stosuj¡c wzór Maclaurina obliczy¢:
a)
c)
sin 0.1
1
√
3
e
z dokªadno±ci¡
z dokªadno±ci¡
10−5 ,
10−3 ,
d)
−4 ,
b) ln 1.1 z dokªadno±ci¡ 10
√
3
0.997 z dokªadno±ci¡ 10−3 .
11. Znale¹¢ warto±ci najmniejsze i najwi¦ksze funkcji na wskazanych przedziaªach:
a)
c)
f (x) = x2 − 2x + 3, [−2, 5]; b) g(x) = x2 ln x, [1, e];
h(x) = arctgx − x2 , [0, 2]; d) p(x) = x2 |x2 − 1|, [−2, 3].
12. Wyznaczy¢ wymiary odkrytego zbiornika oczyszczalni ±cieków o dnie w ksztaªcie koªa i pojemno±ci
1000π m3
tak, »eby na wykonanie jego ±cian zu»y¢ najmniejsz¡ ilo±¢ materiaªu.
13. Pewn¡ substancj¦ przechowuje si¦ w kopcach w ksztaªcie sto»ka. Jaki k¡t nachylenia tworz¡cej sto»ka do
jego podstawy daje na jmniejsz¡ powierzchni¦ parowania.
14. Wydajno±¢ tlenku azotu NO z mieszaniny
x%
tlenu i
(100 − x)%
azotu w temperaturze
1600◦ C
i pod
ci±nieniem normalnym okre±la wzór
y=
gdzie
K
p
Kx(100 − x) − 25K,
jest staª¡ równowagi reakcji dla danej temperatury i danego ci±nienia.
procentowej zawarto±ci tlenu
x
15. Znale¹¢ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
a)
f)
Obliczy¢, przy jakiej
w mieszaninie wydajno±¢ tlenku azotu NO b¦dzie najwi¦ksza.
f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x, b) f (x) =
f (x) = 2arctgx − ln(1 + x2 ).
x
,
x2 +4
c)
f (x) = x −
√
3
x,
d)
16. Okre±li¢ przedziaªy wypukªo±ci oraz punkty przegi¦cia podanych funkcji:
√
3x
x2
4
2
a)
b)
,
c)
(x−1)3
f (x) = x − 6x − 6x,
g(x) =
2
2
d) p(x) = sin x,
e) q(x) = x ln x,
f)
h(x) = e ,
r(x) = (1 + x2 )ex ,
f (x) = x +
1
x,
1
e)
f (x) = x2 e x ,
17. Sporz¡dzi¢ wykres funkcji ci¡gªej na podstawie nast¦puj¡cych informacji:
a)
(−∞, −1)
+
−
x
y0
y”
y
lim (f (x) − x − 2) = 0,
x→−∞
-1
0
0
0
(−1, 0)
+
+
(0, 1)
−
+
0
×
×
(1, +∞)
+
+
1
0
+
0
1
lim f (x) − x + 2 = 0;
x→+∞
b)
x
y0
y”
y
lim (f (x) + x + 1) = 0,
x→−∞
(−∞, 0)
−
+
0
0
0
0
lim f (x) = −∞,
x→1−
(0, 1)
−
−
1
×
×
×
(1, 2)
−
+
(2, +∞)
+
+
2
0
+
1
lim f (x) = +∞,
x→1+
lim f (x) − x + 2 = 0;
x→+∞
c)
x
y0
y”
y
f (2) = 0,
(−2, −1)
−
+
lim f (x) = +∞,
x→−2+
-1
0
0
1
(−1, 0)
−
−
(0, 1)
−
+
0
−2
0
0
1
0
+
(1, +∞)
+
+
−1
lim f (x) − 2x + 6 = 0.
x→+∞
18. Zbada¢ przebieg zmienno±ci podanych funkcji i nast¦pnie sporz¡dzi¢ ich wykresy:
x
ln x
−x2
3
2
c)
d)
a)
b)
x
1−x2
f (x) = x − 3x + 4,
e)
r(x) =
√
x x
√
.
x−1
g(x) =
,
h(x) = e
,
p(x) =
,