Macierze nieosobliwe
Transkrypt
Macierze nieosobliwe
Wektory główne endomorfizmu (macierzy). Postać Jordana. Definicja 1. An×n Wielomian W ( λ ) = am λ m + am −1λ m −1 + ... + a1λ + a0 W ( λ ) nazywamy wielomianem anulującym macierzy A :⇔ W ( A) = am Am + am −1 Am −1 + ... + a1 A + a0 ⋅ I = 0 Twierdzenie 1. ∆ ( λ ) = det ( A − λ I ) Z: An×n ; T: ∆ ( λ ) = 0 wielomian charakterystyczny macierzy A jest anulujący Definicja 2. Wielomianem minimalnym macierzy An×n nazywamy wielomian anulujący taj macierzy stopnia najniższego o współczynniku 1 przy najwyższej potędze. Twierdzenie 2. Z: An×n ; m ( λ ) - wielomian minimalny macierzy A T: wielomian m ( λ ) jest jedyny Twierdzenie 3. Z: An×n ; m ( λ ) - wielomian minimalny macierzy A W (λ ) - wielomian anulujący macierzy A T: wielomian minimalny macierzy A jest podzielnikiem każdego wielomianu anulującego macierzy A. W (λ ) = p (λ ) ⋅ m (λ ) Twierdzenie 4. Z: An×n - macierz p ∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p ) - wielomian charakterystyczny k k k macierzy A k1 + k2 + ... + k p = n m ( λ ) - wielomian minimalny T: Każda wartość własna macierzy A jest pierwiastkiem wielomianu minimalnego. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana WNIOSEK An×n jeżeli ∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p ) k k m ( λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p ) s s kp to sp si ≤ ki i i = 1,..., p Przykład 1. −1 0 −3 A= 3 2 3 −3 0 −1 ∆ (λ ) = − (λ − 2) ⋅ (λ + 4) 2 znaleźć wielomian minimalny m (λ ) = − (λ − 2) ⋅ (λ + 4) m ( A) = − ( A − 2 I ) ⋅ ( A + 4 I ) −3 0 −3 3 0 −3 0 0 0 m ( A ) = 3 0 0 ⋅ 3 6 3 = 0 0 0 −3 0 −3 −3 0 3 0 0 0 ⇒ m ( A) - wielomian anulujący Wektory główne Umowa zapisu: W zapisie utożsamiamy wektor z jego współrzędnymi i w zależności od kontekstu v oznacza albo wektor, albo jego współrzędne w bazie. Definicja 3. -macierz λ - wartość własna macierzy Wektor własny v odpowiadający tej wartości własnej nazywamy (1) wektorem głównym rzędu pierwszego i oznaczamy: v (2) (2) Wektor v , v ≠ 0 nazywamy wektorem głównym rzędu drugiego odpowiadającego wartości własnej λ jeżeli: (2) (1) (1) An×n ( A − λ I ) (v itd. wektor jeżeli: )=v v (k ) ≠ 0 v ≠0 nazywamy wektorem głównym rzędu k macierzy A ( A − λ I ) ( v ( k ) ) = v ( k −1) v ( k −1) ≠ 0 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana UWAGA Wektor zerowy jest wektorem głównym każdego rzędu odpowiadającego każdej wartości własnej WNIOSEK A= Mf f - endomorfizm v( ) ≠ 0 i i = 1,..., k ( A − λ I ) v (1) = v ⇔ A ⋅ v (1) − λ v (1) = 0 ⇔ A ⋅ v (1) = λ v (1) ⇔ ( ) f v ( ) = λv ( ) 1 1 ( A − λ I ) v (2) = v (1) ⇔ A ⋅ v (2) − λ v (2) = v (1) ⇔ A ⋅ v (2) = v (1) + λ v (2) ⇔ ( ) ) = v ( ) + λv ( ) ⇔ f v( 2 1 2 ( A − λ I ) v (k ) = v (k −1) ⇔ A ⋅ v (k ) − λ v (k ) = v ( k −1) ⇔ A ⋅ v ( k ) = v ( k −1) + λ v (k ) ⇔ ( )) = v( ⇔ f v( k k −1) + λv ( k) Przykład 2. Znaleźć wektory główne macierzy A. 2 0 0 A = M f ( B, B ) f : A= 0 2 1 0 0 2 2−λ 0 0 3 det ( A − λ I ) = 0 2−λ 1 = (2 − λ ) 0 0 2−λ 3 → 3 λ1 = 2 k1 = 3 0 0 0 x1 0 0 0 1 ⋅ x = 0 2 0 0 0 x3 0 x1 = α 0 = 0 x2 = β x3 = 0 x =0 0 = 0 3 X 2 = {(α , β ,0 ) ,α , β ∈ } = {α (1,0,0 ) + β ( 0,1,0 ) ,α , β ∈ dim X 2 = 2 } macierz nie jest diagonalizowalna Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana v1(1) = (α , β ,0 ) 0 0 0 x1 α 0 0 1 ⋅ x = β 2 0 0 0 x3 0 α ≠ 0∨ β ≠ 0 0 = α x3 = β ⇒ β ≠ 0 ( bo : α = 0 ) 0 = 0 v1(1) = ( 0, β ,0 ) ∧ β ≠ 0 ( np. : v ( ) = ( 0,1,0) ) 1 1 x1 = t 0 = 0 x3 = 1 0 = 0 x2 = s v1( ) = {( t , s,1) , t , s ∈ } (2) ogólnie: v1 = {( t , s, β ) , t , s ∈ ∧ β ≠ 0} 2 0 0 0 x1 t 0 0 1 ⋅ x = s ∧ β ≠ 0 2 0 0 0 x3 β 0 = t sprzeczność!! x3 = s 0 = β nie istnieją wektory główne rzędu wyższego niż 2. np. β =1 v1( ) = ( 0,1,0 ) , v1( ) = ( 0,0,1) , v2( ) = (1,0,0 ) 1 2 1 wektory liniowo niezależne ( B = v1(1) = ( 0,1,0 ) , v1( 2 ) = ( 0,0,1) ; v2(1) = (1,0,0 ) ( ) f ( v ( ) ) = v ( ) + 2v ( ) = [1, 2,0] f ( v ( ) ) = 2v ( ) = [0,0, 2] ) f v1(1) = 2v1(1) = [2,0,0]B ' 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 B' Wykład dr Magdaleny Sękowskiej B' 2 1 0 M f = 0 2 0 0 0 2 strona 4 z 9 w bazie B Część 13 –Wektory gł., postać Jordana Definicja 4. ( X , K , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa B - baza f :X →X A = M f ( B, B ) Zbiór wszystkich wektorów głównych macierzy A wszystkich dowolnych rzędów, również 0, odpowiadających wartości własnej λ nazywamy przestrzenią charakterystyczną i oznaczamy Vλ Twierdzenie 5. Z: ( X , K , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa B - baza f :X →X T: (Vλ , K , +, ⋅ ) -podprzestrzeń przestrzeni X Definicja 5. (Vλ , K , +, ⋅) nazywamy przestrzenią charakterystyczną macierzy A (endomorfizmu f) Twierdzenie 6. Z: An×n , λ -wartość własna T: Niezerowy wektor wektorem głównym rzędu k macierzy A v ( k ) jest k k −1 ⇔ ( A − λI ) ⋅ v ( ) = 0 ∧ ( A − λI ) k ⋅v( ) ≠ 0 k Twierdzenie 7. Z: An×n = M f λ wartość własna v (1) , v ( 2 ) ,..., v ( k ) v (i ) ≠ 0, T: v (1) - wektory główne różnych rzędów i = 1,..., k , v ( 2 ) ,..., v ( k ) wektory liniowo niezależne niezerowe wektory główne różnych rzędów odpowiadające tej samej wartości własnej są liniowo niezależne. Twierdzenie 8. Z: f : X → X f - endomorfizm dim X = n ∆ ( λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ( λ − λ2 ) 2 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p ) α α αp wielomian charakterystyczny α1 + α 2 + ... + α p = n Vλ1 ,Vλ2 ,...,Vλ p podprzestrzenie charakterystyczne odpowiadające wartościom własnym Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana T: X = Vλ ⊕ Vλ ⊕ ... ⊕ Vλ 1 2 p WNIOSKI: 1) vi( k ) ≠ 0, v j( l ) ≠ 0 - suma prosta i≠ j wektory główne różnych rzędów odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne. 2) ∀i =1,2,..., p dim VX i = α i wymiar każdej przestrzeni charakterystycznej jest równy krotności odpowiedniej wartości własnej. WNIOSEK: w X istnieje baza złożona z wektorów głównych endomorfizmu f UWAGA Analogiczne twierdzenia są prawdziwe dla macierzy. Definicja 6. ( X , K , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa B - baza f :X →X A = M f ( B, B ) dim X = n ∆ ( λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ⋅ ... ⋅ ( λ − λ p ) α αp B ' = ( v1 ,..., vn ) J = M f ( B ', B ' ) Macierz odwzorowania względem bazy wektorów własnych nazywamy macierzą Jordana, a dla macierzy A mówi się, że jest to postać Jordana macierzy A (macierz J do której macierz A jest podobna) UWAGA An×n Jeżeli macierz jest diagonalizowalna, to postać Jordana pokrywa się z postacią diagonalną. Jeżeli macierz nie jest diagonalna, to szukamy wektorów głównych. Przykład 3. 3 0 8 A = 3 −1 6 −2 0 −5 ∆ ( λ ) = − ( λ + 1) λ = −1, k =3 3 1 1 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana 4 0 8 x1 0 3 0 6 ⋅ x = 0 2 −2 0 −4 x3 0 4 x1 + 8 x3 = 0 3x1 + 6 x3 = 0 −2 x − 4 x = 0 1 3 x1 + 2 x3 = 0 0 = 0 0 = 0 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 2 parametrów x3 = α x1 = −2α x2 = β X −1 = {( −2α , β , α ) , α , β ∈ } = {α ( −2,0,1) + β ( 0,1,0 ) ,α , β ∈ } wektory generują przestrzeń i są liniowo niezależne dim X −1 = 2 macierz nie jest diagonalizowalna 4 0 8 x1 −2α 3 0 6 ⋅ x = β α ≠0 ∨ β ≠0 2 −2 0 −4 x3 α 4 x1 + 8 x3 = −2α 3x1 + 6 x3 = β −2 x − 4 x = α 1 3 1 x1 + 2 x3 = − 2 α 1 1 0 = α + β 2 3 0 = 0 1 1 (α ≠ 0 ∨ β ≠ 0 ) ∧ α + β = 0 2 3 np. α = 2 β = −3 B ' = v1(1) = ( −4, −3, 2 ) , v1( 2) = ( −1,0,0 ) ; v2(1) = ( 0,1,0 ) ( ) x1 + 2 x3 = −1 0 = 0 0 = 0 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 7 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana x3 = s x1 = −1 − 2 s x2 = t {v ( ) = ( −1 − 2s, t, s ) , t, s ∈ } 2 t=0, s=0 (ale może też inne wartości) 1 nie mogą istnieć wektory rzędów wyższych, bo wymiar jest równy 3 −1 1 0 J = 0 −1 0 0 0 −1 J = P −1 ⋅ A ⋅ P − 4 −1 0 P = −3 0 1 2 0 0 Omówienie postaci Jordana macierzy k 1) An×n = aij ∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) 1 dim X λ1 = 1 ( B ' = v1(1) , v1( 2 ) , v1( 3) ,..., v1( k1 ) ) A = M f ( B, B ) ( ) f ( v ( ) ) = v ( ) + λ ⋅ v ( ) = [1, λ ,0,...,0] f ( v ( ) ) = v ( ) + λ ⋅ v ( ) = [0,1, λ ,...,0] f v1(1) = λ1 ⋅ v1(1) = [λ1 ,0,0,...,0]B ' 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 1 B' 3 1 B' ( ) f v1( n ) = v1( n −1) + λ1 ⋅ v1( n ) = [0,...,0,1, λ1 ]B ' λ1 1 0 0 λ 1 1 J = 0 0 λ1 0 0 0 0 0 0 1 … λ1 … … … 1 2 2) An×n ; ∆ ( λ ) = ± ( λ − λ1 ) ⋅ ( λ − λ2 ) ⋅ ( λ − λ3 ) k Wykład dr Magdaleny Sękowskiej k strona 8 z 9 kp Część 13 –Wektory gł., postać Jordana k1 λ1 0 0 0 0 J = 0 1 0 0 λ1 1 0 λ1 0 0 0 0 1 0 0 k1+k2 0 0 λ1 0 0 0 λ2 1 0 0 0 λ3 1 0 λ3 λ2 1 λ2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k1+k2+k3 0 0 1 λ3 Zaznaczone fragmenty macierzy Jordana nazywamy klatkami Jordana. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 9 z 9 Część 13 –Wektory gł., postać Jordana