ciągi — rozmaitości

Lista zada« nr 7: Ci¡gi rozmaito±ci
‘rednie Cesàro ).
(1) (
1
razach n (a1
Udowodnij, »e je±li ci¡g
+ a2 + . . . + an )
(an )
jest zbie»ny do
jest równie» zbie»ny do
x.
x,
to ci¡g o wy-
Wyka» te», »e przeciwne
wynikanie nie jest prawdziwe.
(2) Wykorzystuj¡c poprzednie zadanie, udowodnij, »e je±li ci¡g
jest zbie»ny do liczby dodatniej
x,
to ci¡g o wyrazach
(an ) liczb dodatnich
a1 a2 · · · an jest równie»
zbie»ny do
(3) Oblicz
x. √
lim n1 n n!.
√
n
Wskazówka: dobierz
n→+∞
rzystaj poprzednie zadanie.
(4) Udowodnij, »e je±li
an > 0, lim
(5) Udowodnij, »e je±li
an > 0, lim
je±li
x < 1,
to
n→+∞
(8)
(9)
(10)
tak, aby
an = x i x < 1,
an+1
n→+∞ an
= x,
to
a1 a2 · · · an =
n!
i wykonn
to
lim an = 0.
n→+∞
√
lim n an = x. Wywnioskuj,
n→+∞
lim an = 0.
n→+∞
(6) Podaj przykªad ci¡gu
(7)
√
n
(an )
√
n
an = 1, ale
an+1
nie istnieje.
granica lim
n→+∞ an
na
Udowodnij, »e lim bn = 0 gdy b > 1.
n→+∞
an
Udowodnij, »e lim n! = 0 gdy a > 0.
n→+∞
an n!
nn
Udowodnij, »e lim nn = 0 gdy a ∈ (0, e) oraz lim an n! = 0 gdy a ∈ (e, ∞).
n→+∞
n→+∞
n
n
Wywnioskuj, »e ( 3 )n ≤ n! ≤ ( 2 )n dla dostatecznie du»ych n.
2n
1
Udowodnij, »e 2n 4n ≤ n ≤ 4n dla n ∈ + (kombinatorycznie lub indukcyjnie).
(an )
o dodatnich wyrazach, dla którego
»e
N
lim
n→+∞
Zadania do samodzielnego rozwi¡zania przed ¢wiczeniami
(i) Wyja±nij, dlaczego z warunku
lim an < x,
n→+∞
wynika, »e
an < x
od pewnego
miejsca. Czy ostre nierówno±ci mo»na zast¡pi¢ sªabymi?
an+1
n→+∞ an
(ii) Uzasadnij, »e je±li an
malej¡cy.
(iii) Wiadomo, »e
an > 0
> 0 oraz lim
< 1, to ci¡g (an ) jest od pewnego miejsca
oraz
Czy
lim ann = 0?
Czy
Udowodnij, »e je±li nieujemny ci¡g
(an )
lim an = 0.
n→+∞
n→+∞
lim
n→+∞
√
n a = 0?
n
Zadania dodatkowe
Ci¡gi podaddytywne ).
(A) (
an+m ≤ an + am
dla wszystkich
granica jest równa
ponadto ci¡g
( ann )
inf{ ann : n ∈
n, m ∈ N
N+}. Wska» przykªad takiego ci¡gu, dla którego
nie jest od pewnego miejsca malej¡cy.
N
(an : n ∈ ) dany jest wzorami a0 = 0, a1 = 1
an+1 + an dla n ∈ . Udowodnij, »e:
• a1 + a2 + . . . + an = an+2 − 2
• a21 + a22 + . . . + a2n = an+1 an+2
• an−1 an+1 − a2n = (−1)n
• ak+l = ak al+1 + ak+1 al
• NWD(ak , al ) = aNWD(k,l)
Udowodnij, »e dla n ∈ + , n ≥ 3, zachodzi
(B) Ci¡g Fibonacciego
N
(C)
speªnia warunek
an
+ , to ci¡g o wyrazach n jest zbie»ny, a
oraz
an+2 =
N
1−
1
n
+
1
2n2
−
2
3n3
≤ (1 −
1 n
)
n2
≤1−
1
n
+
1
.
2n2
Wskazówka: udowodnij wpierw, »e kolejne wyrazy rozwni¦cia
(1 −
1 n
) ze wzoru
n2
dwumianowego Newtona maj¡ coraz mniejsze warto±ci bezwzgl¦dne.
lim n2 ( an+1
− 1) = 12 .
an
n→+∞
(n+1)n+1
nn
(E) Oblicz granic¦ ci¡gu o wyrazach an =
− (n−1)
n−1 .
nn
nn
(F) Oblicz granic¦ ci¡gu o wyrazach en n! .
(D) Niech
an = (1 + n1 )n .
Udowodnij, »e