AlgTM 11 Rząd macierzy Niech A ∈ M Kolumny macierzy możemy

AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
AlgTM 11
Rząd macierzy
Niech A ∈ Mm×n (K).
Kolumny macierzy możemy interpretować jako wektory z przestrzeni Km .
Niech Aj oznacza j-tą kolumnę macierzy A.
Wtedy macierz A możemy zapisać w postaci A = [A1 , A2 , ..., An ].
Def. Rzędem macierzy A = [A1 , A2 , ..., An ] nazywamy liczbę dim Lin{A1 , ..., An }.
Rząd macierzy A oznaczamy symbolem r(A).
Stw. Dla dowolnej macierzy A zachodzi równość r(A) = r(AT ).
Wniosek. Rząd macierzy nie może przekraczać ani liczby jej wierszy ani liczby jej kolumn.
Rząd macierzy nie zmienia się w wyniku wykonania następujących operacji
- dodania do wiersza (lub kolumny) wielokrotności innego wiersza,
- pomnożenia wiersza (lub kolumny) przez stałą różną od zera,
- zamiany wierszy (lub kolumn) miejscami,
- skreślenia zerowego wiersza (lub zerowej kolumny),
- skreślenia wiersza będącego kombinacja liniową innych wierszy
(lub kolumny będącej kombinacją liniową innych kolumn).
Def. Minorem stopnia k macierzy Am×n nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej
otrzymanej z A poprzez wykreślenie m − k wierszy i n − k kolumn.
Tw. Liczba k jest rzędem niezerowej macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy
1◦ istnieje różny od zera minor stopnia k macierzy A,
2◦ nie istnieje różny od zera minor macierzy A stopnia większego niż k.
Uwaga. Znalezienie zerowego minora stopnia k nie oznacza, że r(A) < k.
1
AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
Macierz przekształcenia liniowego
Niech V , W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi
nad tym samym ciałem K.
A = (v1 , ..., vn ) - baza przestrzeni V , B = (w1 , ..., wm ) - baza przestrzeni W .
Niech ϕ : V → W będzie przekształceniem liniowym.
Każdy wektor ϕ(v1 ), ..., ϕ(vn ) można jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej
wektorów z bazy B.
ϕ(v1 ) = a11 w1 + a21 w2 + ... + am1 wm
ϕ(v2 ) = a12 w1 + a22 w2 + ... + am2 wm
...
ϕ(vn ) = a1n w1 + a2n w2 + ... + amn wm

a
 11

 a21

Macierz 
 ..
 .
a12
a22
..
.

... a1n 

... a2n 

nazywamy macierzą przekształcenia ϕ w bazach A i B
.. 
. 



am1 am2 ... amn
i oznaczamy symbolem MBA (ϕ).
Kolumny macierzy MBA (ϕ) są utworzone ze współrzędnych wektorów ϕ(vj ) (dla j = 1, ..., n).
Macierze tego samego przekształcenia ϕ : V → W mogą być różne - zależą od wyboru bazy
przestrzeni V i W , ale zawsze są tego samego wymiaru m × n, gdzie n = dim V , m = dim W .
Tw. Niech ϕ : V → W będzie przekształceniem liniowym,
A - baza przestrzeni V , B - baza przestrzeni W .
Wówczas r(ϕ) = r MBA (ϕ) .
Tw. Dane są przekształcenia liniowe ϕ : V → W i ψ : W → U ,
gdzie V, W, U są skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad tym samych ciałem K.
Niech A - baza przestrzeni V , B - baza przestrzeni W , C - baza przestrzeni U .
Wówczas MCA (ψ ◦ ϕ) = MCB (ψ) · MBA (ϕ).
2
AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
Macierz zmiany bazy
Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową o bazie B = (v1 , ..., vn ).
Dowolny wektor w ∈ V możemy jednoznacznie przedstawić w postaci w = α1 v1 + ... + αn vn .
 α1 
 . 
. 
Ozn. MB (w) = 
 .  - macierz współrzędnych wektora w w bazie B.

αn

Symbolem MB (A) będziemy oznaczać macierz współrzędnych wektorów układu A w bazie B.
Tw. Niech B = (v1 , ..., vn ) będzie bazą przestrzeni V . Dla dowolnego układu A = (u1 , ..., um )
wektorów z przestrzeni V zachodzi równość dim Lin{u1 , ..., um } = r(MB (A)).
Tw. Niech B = (v1 , ..., vn ) będzie bazą przestrzeni V . Następujące warunki są równoważne:
(1) Układ A = (u1 , ..., un ) wektorów z przestrzeni V jest bazą przestrzeni V ,
(2) r(MB (A)) = n,
(3) det MB (A) 6= 0.
Def. Jeżeli A i B są bazami przestrzeni V to macierz MA (B) nazywamy macierzą zmiany bazy
(lub macierzą przejścia od bazy A do bazy B).
Stw. Jeżeli A i B są bazami przestrzeni V to MA (B) = (MB (A))−1 .
Stw. Jeżeli A i B są bazami przestrzeni V to MA (B) = MAB (id).
Stw. Niech ϕ : V → W będzie przekształceniem liniowym (V , W - skończenie wymiarowe)
A, C - bazy przestrzeni V ,
Wówczas zachodzi równość:
B, D - bazy przestrzeni W .
MDC (ϕ)
= MD (B) · MBA (ϕ) · MA (C).
Tw. Niech V , W - skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe,
A - baza przestrzeni V , B - baza przestrzeni W .
Niech ϕ : V → W będzie przekształceniem liniowym, v ∈ V , w ∈ W .
Wówczas ϕ(v) = w ⇔ MBA (ϕ) · MA (v) = MB (w)
Wniosek. Jeżeli A i B są bazami przestrzeni V to dla dowolnego wektora v ∈ V zachodzi równość
MA (B) · MB (v) = MA (v).
3