1. Lokaty i ogólna teoria aprecjacji kapitału

Matematyka finansowa - zestaw 1
Lokaty i wstępne pojęcia teorii aprecjacji kapitału
Lokaty
Aby nabyć trochę intuicji w matematyce finansowej, zanim omówimy ogólne zasady
zajmowania się tą dziedziną wiedzy, zajmiemy się obliczeniami dotyczącymi najprostszej
formy inwestycji finansowej: lokat. Większość pojęć z tego rozdziału jest analogiczna dla
innych instrumentów finansowych (nie będę ich w takim wypadku powtarzał w kolejnych
rozdziałach).
Lokata, z punktu widzenia matematyki finansowej, to pożyczka udzielona bankowi przez
klienta na określony czas. Oczywiście, klient za tę pożyczkę wymaga pewnej opłaty, która
staje się jego zyskiem. Zysk z lokaty kapitału 𝐾0 na okres Δ𝑡 nazywamy odsetkami
(𝑍), a procedurę wyznaczania odsetek - oprocentowaniem. Jeśli odsetki są naliczane
na końcu okresu wypożyczenia, mówimy o oprocentowaniu z dołu (domyślna forma
oprocentowania). Jeśli odsetki są naliczane na początku tego okresu, to mówimy o oprocentowaniu z góry.
Miarą opłacalności lokaty jest tzw. stopa zwrotu (r) z lokaty, czyli opłata za odroczenie
płatności o jednostkowej wartości na ustalony okres, wyrażona ułamkiem lub w procentach przez czas. Można ją obliczyć jako stosunek całości odsetek uzyskanych w danym
okresie do wartości początkowej tej kwoty. W każdym razie stopa procentowa zależy od
przedziału czasu, do którego się ją stosuje, dlatego na przykład określenie, że jakaś stopa
wynosi 5% jest niewystarczające: powinno być np. 5% kwartalnie, albo 5% półrocznie
itp. Jest to najważniejsza wielkość w matematyce finansowej: by porównać, która z
możliwych inwestycji kapitału jest bardziej opłacalna, porównujemy ich stopy zwrotu
uzyskane w tym samym okresie i, ceteris paribus, inwestycja z wyższą stopą zwrotu jest
dla inwestora lepsza.
Rachunek czasu:
Podstawową jednostką czasu będzie rok. Dla uproszczenia rachunków będziemy stosować
tzw. szacunkową regułę bankową, tj. zakładać, że każdy miesiąc ma 30 dni (a w konsekwencji rok ma 360 dni, mimo, że jednocześnie zakłada się, że ma 52 tygodnie). Jeśli nie
podajemy jednostki czasu np. podając okres stopy, domyślnie jest to rok.
Dlatego nominalna stopa procentowa jest to (domyślnie roczny tj. w jednostkach
1/rok) koszt odroczenia płatności o jednostkowej wartości na ustalony okres, lub, patrząc
z przeciwnej strony: roczny przychód z tytułu wzrostu wartości nominalnej kapitału o
jednostkowej wartości przez ustalony okres, przy założeniu, że odsetki naliczamy tylko
raz w trakcie trwania danej lokaty. Jeśli interesuje nas inny okres czasu, zmieniamy stopę,
dostosowując ją do okresu stopy (OS) (czyli czasu, w którym wartość kapitału rośnie o
wartość stopy), w sposób, który przeanalizujemy później. Jednakże, sam okres stopy jest
abstrakcyjną, względną konstrukcją, którą można przekształcać w trakcie rozwiązywania
zadania. Np. jeśli jakaś stopa zwrotu wynosi 10% z okresem stopy równym 1 rok, to
możemy zamiast tego rozważać stopę zwrotu 5% z okresem stopy pół roku lub 20% z
okresem stopy dwa lata. Tak przeliczoną stopę nazywamy stopą względną. Jako, że
okresy stóp zmieniają się w trakcie rozwiązywania zadań, po obliczeniu (lub wypisaniu)
nowej stopy zawsze polecam obok zapisać jej okres, żeby się potem nie pomylić.
Kapitalizacja jest to dodawanie odsetek do kapitału. W danej sytuacji, czas po którym
odsetki się dopisuje do kapitału nazywamy okresem kapitalizacji (OK). Okres
kapitalizacji zazwyczaj jest podany w warunkach zadania i w przeciwieństwie od okresu
stopy jest po prostu faktem, dlatego nie można go dowolnie zmieniać. Jeśli podczas
danego czasu obowiązywania lokaty, kapitalizacja następuje wielokrotnie, możemy mówić
o różnych modelach naliczania odsetek: przede wszystkim prostym i złożonym.
1
2
Oprocentowanie proste kapitału jest to naliczenie wartości przyszłej kapitału jako
wartości początkowej powiększonej o naliczone odsetki. Odsetki te nie podlegają oprocentowaniu.
Oprocentowanie złożone (lub składane) to określenie wartości przyszłej kapitału jako
wartości początkowej powiększonej o skapitalizowane odsetki. W momencie kapitalizacji,
oprocentowaniu podlegają zarówno kapitał, jak i dotychczas uzyskane odsetki. Domyślnie (jeśli w zadaniu nic innego nie będzie napisane) będziemy rozważać oprocentowanie
złożone.
Jeśli OK=OS to mówimy, że kapitalizacja jest zgodna. W innych wypadkach (kapitalizacja niezgodna) staramy się obliczyć stopę względną dla uzgodnionego z OK okresu
stopy. Wszystkie wzory podane poniżej obowiązują dla kapitalizacji zgodnej, więc zadanie
zawsze należy zacząć od uzgodnienia stopy.
O kapitalizacji ciągłej mówimy w hipotetycznej sytuacji, gdy okres kapitalizacji dąży do
zera, więc odsetki są naliczane przez cały czas. W kontekście lokat takie określenie prawie
nigdy się nie pojawia lecz założenie o takiej kapitalizacji jest używane do wyceny różnych
inwestycji, których wartość narasta przez cały czas. Jest także używana w ogólnych
modelach wzrostu gospodarczego.
Mówimy, że warunki oprocentowania lokaty I są równoważne warunkom (lub lepsze
niż warunki) oprocentowania lokaty II w czasie [0, 𝑡], jeśli po czasie 𝑡 ten sam kapitał
umieszczony na lokacie I osiągnie tę samą (większą) wartość co na lokacie II. Dla kapitalizacji złożonej, równoważność (bądź preferencja jednej z lokat) nie zależy od wyboru
przedziału czasu (słowo równoważne oznacza tu jedynie tę samą opłacalność w sensie tej
samej stopy zwrotu - jedna lokata może być lepsza od drugiej z różnych innych powodów,
np. większej płynności kapitału, czyli częstszej możliwości wypłaty zysków z lokaty).
Warunki oprocentowania różnych lokat trudno porównać, jeśli różnią się okresami stopy i
kapitalizacji. Okres stopy, jak wiemy, łatwo zmienić, stosując stopę względną. Do porównania lokat z różnymi okresami kapitalizacji służą efektywna i równoważna stopa procentowa (𝑟𝑒𝑓 i 𝑟𝑟 ). Są one faktycznymi stopami zwrotu (zysku) w danym okresie, gdyż
przy tej samej stopie nominalnej zysk rośnie wraz ze skracaniem się okresu kapitalizacji. Stopa efektywna to całkowity procent złożony uzyskany w ciągu podstawowego
okresu stopy (zazwyczaj roku) przy danej kapitalizacji. Stopa równoważna to stopa
względna, której okresem jest okres kapitalizacji, taka, by uzyskać zadany procent złożony
w ciągu podstawowego okresu stopy. Stosując jeden z tych sposobów przechodzimy do jednakowej, zgodnej kapitalizacji przy obu warunkach oprocentowania, więc można porównać
te warunki. Tak naprawdę, nie będziemy używać wzoru na stopę równoważną, jako, że
wynika on natychmiast ze wzoru na stopę efektywną (tylko współczynnik 𝑚 okazuje się
być mniejszy od 1).
Zatem warunki oprocentowania I i II są równoważne (I lepsze niż II) wtedy i tylko wtedy,
gdy 𝑟𝑒𝑓 𝐼 = 𝑟𝑒𝑓 𝐼𝐼 (𝑟𝑒𝑓 𝐼 > 𝑟𝑒𝑓 𝐼𝐼 ) i okresy obu stóp efektywnych są takie same.
Kilka wzorów do zapamiętania
𝑍 = 𝐾𝛿𝑡 − 𝐾0 , 𝑟 = 𝐾𝑍0 - dla oprocentowania, okres stopy 𝑟 w tym przypadku równy
okresowi trwania lokaty.
Kapitalizacja prosta zgodna: 𝐾𝑛 = 𝐾0 (1 + 𝑛𝑟) (𝐾𝑛 - wartość kapitału po 𝑛 okresach
𝑘𝑟
kapitalizacji), 𝐾𝑛+𝑘 = 𝐾𝑛 (1 + 1+𝑛𝑟
).
Kapitalizacja złożona z dołu zgodna: 𝐾𝑛 = 𝐾0 (1 + 𝑟)𝑛 (𝐾𝑛 - wartość kapitału po 𝑛
okresach kapitalizacji), 𝐾𝑛+𝑘 = 𝐾𝑛 (1 + 𝑟)𝑘 ).
Kapitalizacja niezgodna: sprowadzamy do sytuacji kapitalizacji zgodnej. Nie możemy
zmienić okresu kapitalizacji (bo jest podanym warunkiem zadania), więc zmieniamy okres
𝑂𝑆
stopy. 𝑚 = 𝑂𝐾
; 𝑟¯ = 𝑚𝑟 . Okres stopy 𝑟¯ jest taki sam jak okres kapitalizacji. Teraz,
wstawiamy 𝑟¯ za 𝑟 i możemy stosować wszystkie wzory z kapitalizacją zgodną.
3
Monotoniczność wartości należności względem okresu stopy: 𝐾0 (1 + 𝑟)𝑛 ≤ 𝐾0 (1 + 𝑚𝑟 )𝑚𝑛 ,
o ile 𝑚 > 1. Równość w tej nierówności to punkt wyjściowy obliczania stopy efektywnej
i równoważnej.
Kapitalizacja ciągła: 𝐾𝑡 = 𝐾0 𝑒𝑡𝑟 , gdzie 𝑡 - czas oprocentowania podzielony przez okres
stopy procentowej. Przydatna zwłaszcza w modelach niepieniężnych.
Stopa efektywna: załóżmy, że mamy lokatę ze stopą 𝑟 o okresie 𝑂𝑆 i okresie kapitalizacji
𝑂𝐾. Chcemy ją zmienić na równoważną jej lokatę ze stopą o okresie 𝑂𝑆𝑒𝑓 i okresie
𝑂𝐾
kapitalizacji 𝑂𝐾𝑒𝑓 . Zakładamy, że 𝑂𝑆𝑒𝑓 = 𝑂𝐾𝑒𝑓 i ustalamy dla 𝑚 = 𝑂𝐾𝑒𝑓 . Jeśli chodzi
o okres stopy 𝑂𝑆 możemy rozważać dwa warianty. Po pierwsze 𝑂𝑆 = 𝑂𝑆𝑒𝑓 . Wtedy :
𝑟𝑒𝑓 = (1 + 𝑚𝑟 )𝑚 − 1. Jeśli zaś mamy 𝑂𝑆 = 𝑂𝐾, to 𝑟𝑒𝑓 = (1 + 𝑟)𝑚 − 1.
Jeśli mamy daną stopę 𝑟 z okresem stopy 𝑂𝑆 i kapitalizacją ciągłą, to efektywna stopa
𝑟𝑒𝑓 z okresem kapitalizacji i okresem stopy równym 𝑂𝑆 dana jest wzorem: 𝑟𝑒𝑓 = 𝑒𝑟 − 1.
1
Stopa równoważna w sytuacji, gdy 𝑂𝐾𝑟 = 𝑂𝑆𝑟 = 𝑚1 ⋅𝑂𝐾 = 𝑚1 ⋅𝑂𝑆: 𝑟𝑟 = (1+𝑟) 𝑚 −1. Jak
widać, wzór jest taki sam, jak w wypadku stopy efektywnej tylko 𝑚 w tym wzorze jest
odwrotnością 𝑚 we wzorze na stopę efektywną. Dlatego będziemy używać tylko wzoru
na stopę efektywną i dopuszczać 𝑚 < 1.
Z praktyki wynika, że najtrudniejsze jest zrozumienie, kiedy użyć stopy względnej, a kiedy
efektywnej. Ogólna zasada jest taka: jeśli w ramach zadania należy zmienić okres kapitalizacji (czy to dlatego, że w treści zadania jest mowa o takiej zmianie, czy też dlatego,
że chcemy porównać dwie różne lokaty) to obliczamy stopę efektywną (lub równoważną).
Jeśli zaś chcemy zmienić TYLKO okres stopy (a okres kapitalizacji ma zostać ten sam),
obliczamy stopę względną.
Wstępne pojęcia teorii aprecjacji kapitału
Preferencja czasowa - reguła, która głosi, że ceteris paribus podmiot ekonomiczny
woli zaspokoić swoje potrzeby bądź osiągnąć postawione cele możliwie jak najszybciej. Z zasady preferencji czasowej oraz ze względu na istnienie kosztów alternatywnych
wynika konieczność opłaty za powstrzymanie się od natychmiastowego wykorzystania
kapitału. Bezpośrednim wnioskiem jest zasada aprecjacji: jeśli dwie nierównoczesne
należności są równoważne (czyli jednakowo użyteczne), to wartość należności płatnej
później jest większa niż należności płatnej wcześniej. Innymi słowy, wartość ekwiwalentu pewnej należności rośnie wraz z czasem, po jakim ten ekwiwalent będzie płatny.
Dlatego też ogólną zasadą arytmetyki finansowej jest porównywanie dwóch należności
jedynie w tym samym momencie czasowym. Jeśli jedna z tych wartości jest wypłacana w innym czasie niż druga, należy jedną (lub obie) z nich przed porównaniem
zaktualizować (czyli odpowiednio oprocentować lub zdyskontować) na wybrany, dogodny moment. Wtedy i tylko wtedy możemy porównywać te wartości (a porównywanie
wartości różnych inwestycji to główny cel tego przedmiotu).
Kapitał - oznaczany najczęściej przez K - zasób (tutaj najczęściej finansowy), którego
wartość podlega procesowi aprecjacji.
Prędkość aprecjacji kapitału jest równa stosunkowi względnego przyrostu wartości ekwiwalentu kapitału do długości okresu, w jakim ten przyrost wartości się dokonał. Miarą
tej prędkości jest właśnie wspomniana wcześniej stopa zwrotu (r) (stopa zysku, rentowność). W wypadku lokat - stopą zwrotu jest efektywna stopa procentowa w danym
okresie czasu (zazwyczej porównuje się efektywne stopy roczne). Inwestycje z większą
stopą zwrotu są bardziej opłacalne (przy innych warunkach takich samych).
Proces aktualizacji nazywamy czasem oprocentowaniem (gdy przesuwa kapitał w czasie
„w przód”) lub dyskontowaniem (gdy przesuwa w czasie „w tył”). By aktualizować kapitał
potrzebna nam jest stopa procentowa (i okres kapitalizacji dla niej przyjęty), mierząca
preferencję czasową zainteresowanych stron. Często można sobie ją wyobrazić jako stopę
zwrotu z najlepszej z pewnych inwestycji, do której strony (lub jedna z nich) mają dostęp.
4
Co ciekawe, takie porówania są niezależne od momentu, w którym je dokonujemy, tylko
gdy analizujemy stopę zwrotu z kapitalizacją złożoną. Jeśli porównujemy inwestycje z
kapitalizacją prostą, wynik porównania zależy od czasu, na który te inwestycje
aktualizujemy.
Wzory do zapamiętania:
Tym razem jedyną rzeczą do zapamiętania jest przesuwanie kapitałów w czasie. Obliczamy
𝑟 - efektywną stopę zwrotu mierzącą preferencję czasową z okresem stopy równym okresowi kapitalizacji. Jeśli chcemy jakiś kapitał przenieść z momentu 𝑘 ⋅ 𝑂𝐾 do momentu
(𝑘 + 𝑛) ⋅ 𝑂𝐾 musimy go pomnożyć przez (1 + 𝑟)𝑛 (w wypadku dyskontowania 𝑛 jest
ujemne). I to wszystko!