Matematyka finansowa - zestaw 3 - teoria Strumienie finansowe

Matematyka finansowa - zestaw 3 - teoria
Strumienie finansowe: Wkłady oszczędnościowe
Strumieniem płatności nazywamy ciąg płatności dokonywanych w równych odstępach
czasu. Inne nazwy to renta (której to nazwy będziemy używać w kontekście wypłat, a
nie wkładów) lub annuitet (tej nazwy też unikam, bo kojarzy się z rocznym okresem
wpłat/wypłat).
Płatności składające się na rentę to raty. Okres czasu pomiędzy ratami nazywamy
okresem płatności i używamy go w obliczeniach jako okresu bazowego (czyli okresu,
do którego sprowadzamy wszystkie inne tak by 𝑂𝑃 = 𝑂𝑆 = 𝑂𝐾 - od tego sprowadzenia,
za pomocą stóp względnych i ).
W zadaniach związanych ze strumieniami płatności pojawiają się następujące elementy,
które będą dane lub szukane: liczba rat (n), długość okresu bazowego (OP - okres płatności), wysokość rat (𝑊 ), ewentualnie wysokość 𝑘-tej raty (𝑊𝑘 ), wartość stumienia płatności zaktualizowana na chwilę 𝑡 (𝑆𝑡 ), moment pierwszej płatności i stopa procentowa
okresu bazowego (𝑟).
Formalnie powinny się też pojawić zasady naliczania odsetek w podokresach. Domyślnie
zakładamy, że są one kapitalizowane za pomocą kapitalizacji złożonej (wrócimy do tego
później).
Strumień prosty to strumień dla którego okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek: mówimy wtedy o wkładach zgodnych. Jeśli jest inaczej, wkłady są
niezgodne, a strumień nazywamy uogólnionym.
Jeśli płatności są dokonywane na koniec okresu bazowego, mamy do czynienia z wpłatami
lub wypłatami z dołu (sytuacja domyślna, jeśli w zadaniu nie jest podane inaczej).
Jeśli płatności są dokonywane na początku okresu bazowego, mamy do czynienia z
wpłatami/wypłatami z góry.
Aktualna w danym momencie wartość strumienia płatności jest równa sumie aktualnych
wartości wszystkich rat. Zazwyczaj rozważa się wartości początkowe i końcowe strumienia.
Dwa strumienie płatności są równoważne, jeśli ich aktualna wartość jest taka sama. Przy
modelu kapitalizacji złożonej wkładów, strumienie płatności są równoważne w danym
momencie wtedy i tylko wtedy, gdy są równoważne w każdym innym.
W sytuacji strumienia uogólnionego, wzory są zazwyczaj takie same: należy jedynie
dostosować okres stopy i okres kapitalizacji do okresu płatności za pomocą koncepcji
stopy względnej i efektywnej (lub równoważnej). Można mieć wątpliwości co do sytuacji
𝑂𝐾 > 𝑂𝑃 . Jeśli zachodzi coś takiego, powstaje pytanie: w jaki sposób oprocentowane
są wkłady, które są wpłacane pomiędzy okresami kapitalizacji? W sytuacji, gdy mamy
do czynienia tylko z jednym sposobem inwestowania tych środków, którym jest lokata o
podanym okresie kapitalizacji, właściwym modelem jest tzw. model polski, czyli kapitalizacja mieszana: te wkłady, aż do momentu najbliższej kapitalizacji są oprocentowane
modelem prostym, a potem dopiero dołączane do całej kwoty. Jednakże taka analiza
sytuacji ma wiele minusów. Po pierwsze: problemem staje się zamiana strumienia na
strumień lub kapitał równoważny. Jego wartość bowiem zależy od momentu, w którym
jest obliczana (wielokrotnie sygnalizowany tu problem z kapitalizacją prostą). Po drugie
(i ważniejsze): w praktyce ten model nie jest stosowany. Zazwyczaj zakłada się po prostu
stopę 𝑟 nie jako faktyczną stopę jakiejś lokaty, na której tkwią te pieniądze, ale jako stopę
zwrotu pewnego modelu inwestycji, którą dokonujemy za pomocą pieniędzy ze strumienia
(np. może to być tzw. stopa wolna od ryzyka). Nawet jeśli te pieniądze są zawsze przelewane na lokatę, zazwyczaj nie ma problemu ze stworzeniem nowej lokaty na podstawie
nowej kwoty, nawet jeśli poprzednia lokata jeszcze się nie skapitalizowała. Dlatego ten
model odrzucam, jako nierealistyczny i niewygodny. Będziemy we wszystkich zadaniach
rozważać złożoną kapitalizację wkładów.
1
2
Uwaga! W polecanym zbiorze zadań (a także niektórych podręcznikach) rozpatruje się
system kapitalizacji mieszanej (polskiej). Wzory są inne (patrz niżej), więc i wyniki
w zadaniach inne. Nie powinno to nikogo niepokoić. Wzory te podaję na końcu jako
ciekawostkę.
Kilka wzorów do zapamiętania
𝑞 = 𝑟 + 1. Wkłady zgodne (𝑂𝐾 = 𝑂𝑆 = 𝑂𝑃 ):
Operacje z dołu: 𝑆𝑛 = 𝑊1 𝑞 𝑛−1 + 𝑊2 𝑞 𝑛−2 + 𝑊3 𝑞 𝑛−3 + . . . 𝑊𝑛 . Przy stałych wpłatach 𝑊 ,
𝑛 −1
𝑛 −1
. W literaturze często tzw. czynnik wartości przyszłej, czyli 𝑞𝑞−1
, oznacza
𝑆𝑛 = 𝑊 𝑞𝑞−1
się przez 𝑠𝑛¯ ∣𝑖 i wtedy 𝑆𝑛 = 𝑊 𝑠𝑛¯ ∣𝑖 .
Operacje z𝑛 góry: 𝑆𝑛 = 𝑊1 𝑞 𝑛 + 𝑊2 𝑞 𝑛−1 + 𝑊3 𝑞 𝑛−2 + . . . 𝑊𝑛 𝑞. Przy stałych wpłatach
𝑊,
𝑛 −1
−1
𝑆𝑛 = 𝑊 𝑞 𝑞𝑞−1
. W literaturze często tzw. czynnik wartości przyszłej, czyli 𝑞 𝑞𝑞−1
, oznacza
się przez 𝑠¨𝑛¯ ∣𝑖 i wtedy 𝑆𝑛 = 𝑊 𝑠¨𝑛¯ ∣𝑖 .
Oczywiście zachodzi 𝑆0 (1 + 𝑟)𝑛 = 𝑆𝑛 .
Jeśli 𝑂𝐾 ∕= 𝑂𝑆 to przy pomocy wzorów na stopy względne zmieniamy okres stopy i
sprowadzamy całość do poprzedniej sytuacji.
Jeśli kapitalizacja wkładów pośrednich jest złożona (a w zadaniach zakładamy, że tak
jest) - również zmieniając stopy względne i efektywne możemy sprowadzić zagadnienie
do poprzednich wzorów. Okresem bazowym będzie zawsze okres płatności OP, więc jeśli
okres kapitalizacji jest inny, należy użyć wzorów na stopę równoważną lub efektywną.
Dodatkowa informacja (nieobowiązkowa):
Jeśli 𝑂𝐾 = 𝑂𝑆 ∕= 𝑂𝑃 i mamy do czynienia z „polską” czyli mieszaną kapitalizacją
𝑂𝐾
wkładów, to definiuję współczynnik 𝑚 = 𝑂𝑊
i, dla wpłat stałych 𝑊 i 𝑚 < 1, otrzymuję
wzór:
𝑛 −1
Operacje z dołu: 𝑆𝑛 = 𝑊 (𝑚 + 𝑚−1
𝑟) 𝑞𝑞−1
.
2
𝑞 𝑛 −1
𝑚+1
Operacje z góry: 𝑆𝑛 = 𝑊 (𝑚 + 2 𝑟) 𝑞−1 .