Analiza matematyczna (Efektywność Energetyczna) Lista nr 5

Analiza matematyczna (Efektywność Energetyczna) Lista nr 5.
Pochodne - obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej.
1. Na podstawie definicji znaleźć pochodne funkcji:
a. f (x) = x3 w punkcie x0 ; b. f (x) = x5 w punkcie x0 6= 0;
Obliczyć wyznaczone pochodne w punktach x0 = 1 i x0 = 4.
2. Obliczyć pochodne podanych funkcji f korzystając z reguł różniczkowania:
b. f (x) = 73 x3 − 52 x2 + 6x + 7,
a. f (x) = 2x5 − 3x3 + 4x − 6,
c. f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c - stałe,
e. f (x) =
√
7
x5 −x
,
x3
f. f (x) =
x2 +4x+4
i. f (x) = ex (sin x − cos x + 2),
k. f (x) = 3x arc sin x,
tg
√x,
x
m. f (x) =
arc cos x
,
1−x2
,
h. f (x) = ex (x2 − 2x + 2),
g. f (x) = x ln x − x,
m. f (x) =
3
x2
d. f (x) = xn + nx3 + 3n, n ∈ N - stała
j. f (x) = x3 ctg x,
l. f (x) = (1 + x2 ) arc tg x,
l. f (x) =
arc tg x
,
1+x2
l. f (x) =
2−x2
.
2x3 +x+3
3. Obliczyć pochodne podanych funkcji f korzystając z reguł różniczkowania:
√
√
√
a. f (x) = x2 + x + 1, b. f (x) = sin x, c. f (x) = x + 1,
q
p
2
d. f (x) = 2x2−x
e. f (x) = ex (sin x − cos x + 2).
3 +x+3 ,
4. Obliczyć pochodne podanych funkcji f korzystając z reguł różniczkowania:
a. f (x) = ln (x2 + x + 1),
2−x2
d. f (x) = ln 2x3 +x+3 ,
b. f (x) = ln (sin x),
c. f (x) = ln (x + 1),
e. f (x) = ln [ex (sin x − cos x + 2)].
5. Obliczyć pochodne podanych funkcji f korzystając z reguł różniczkowania:
a. f (x) = earc sin x ,
b. f (x) = (x2 + 1)10 ,
c. f (x) = sin(3x),
c. f (x) = e−x ,
d. f (x) = sin (x2 + 5x + 1), e. f (x) = cos4 x,
√
f. f (x) = tg x2 + 1, g. f (x) = arc sin x1 , h. f (x) = arc tg x,
i. f (x) = (arc sin x)2 ,
j. f (x) = cos(ln x),
l. f (x) = 41 tg4 x − 12 tg2 x − ln(cos x),
k. f (x) =
√ x
,
1+x2
ł. f (x) = e3x sin(3x),
1
√
m. f (x) = arc sin 1 − x.
6. Niech y = f (x) będzie funkcją o wartościach dodatnich w przedziale (a, b) (ograniczonym
lub nie). Wyrażenie
y0
0
(∗) (ln y) = ,
y
d
) nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f . Wykorzystując
(gdzie ’ oznacza różniczkowanie dx
wzór (*) zróżniczkować podane funkcje:
√
a. y = (1 + sin x)
x
2
x
, b. y = (1 + x2 )ln (1+x ) , c. y = (sin x)cos x , d. y = x(e ) .
7. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x0 , jeżeli
a. f (x) = sin x, x0 = π4 , b. f (x) = x2 + 1, x0 = 1, c. f (x) = ln(1 + x), x0 = 0.
8. Obliczyć pochodne f 0 , f 00 , f 000 dla podanych funkcji:
a. f (x) = x ln x, b. f (x) = (x2 + x + 1) cos x.
9. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
a. sin 29o , b. ln 0.9993, c. arc cos 0.499, d.
1
,
3.98
2
e. e−0.07 .