xx 0 - E-SGH

Temat A, wrzesień 2012
W rozwiązaniach - jeśli to konieczne - należy przyjąć poziom istotności 0,01 oraz
współczynnik ufności 0,95
Zadanie 1
Poniżej przedstawiono uzyskane informacje z badania gospodarstw domowych z osobami
bezrobotnymi (n=100) zrealizowanego w jednym z powiatów w 2011 roku. Dane
dotyczą liczby dzieci w wieku do 15 lat w gospodarstwie oraz poziomu dochodów (w zł /na
osobę).
Badane gospodarstwa według liczby dzieci
(w wieku do 15 lat)
Liczba
Liczba dzieci
gospodarstw
0
1
2
3 i więcej
Ogółem
40
30
20
10
100
Badane gospodarstwa według dochodów
(w zł/na osobę)
Dochody
x0i − x1i
Liczba
gospodarstw
0-300
15
300-600
40
600-900
25
900-1200
15
1200-1500
5
Razem
100
Obliczona średnia dochodu na osobę w badanych gospodarstwach wynosiła 615 zł, wariancja
nieobciążona była równa 104318,2, a trzeci moment centralny 104939,4.
a) Oblicz i zinterpretuj wartość mediany dochodów w badanych gospodarstwach. (1,5 pkt)
b) Korzystając z wykresu dystrybuanty empirycznej wyznacz przybliżoną wartość kwartyla
pierwszego dochodów. (1,5 pkt)
c) Wiedząc, że średnia liczba dzieci w grupie gospodarstw z 3 i więcej dzieci wynosiła 3,7
oceń na podstawie miar klasycznych poziom zróżnicowania analizowanych gospodarstw
ze względu na liczbę dzieci (w wieku do 15 lat).
Ze względu na którą cechę, liczbę dzieci czy dochód na osobę, badane gospodarstwa były
bardziej zróżnicowane? (2,5 pkt)
Zadanie 2
Wykorzystując dane oraz wyniki uzyskane w zadaniu 1 przeprowadź następujące procedury
wnioskowania o populacji gospodarstw domowych z osobami bezrobotnymi:
a) Podaj przedziałowe oszacowanie frakcji gospodarstw domowych z osobami bezrobotnymi
w populacji, w których nie ma dzieci w wieku do 15 lat. (2 pkt)
1
b) Czy na podstawie wyników tej próby można przyjąć, iż średnia dochodów w
gospodarstwach domowych osób bezrobotnych w tym powiecie była niższa niż 650
zł/osobę? (2,5 pkt)
c) Wyznacz krytyczny poziom istotności dla weryfikacji hipotezy z punktu 2b). Co oznacza
uzyskany wynik? (1,5 pkt)
Zadanie 3
W celu ustalenia, czy grupa społeczno-zawodowa respondenta (wyróżniono 5 grup) istotnie
różnicuje dobowy czas poświęcany na oglądanie telewizji (w min) zbadano próbę losową
liczącą 140 osób. Otrzymano następujące wyniki:
- suma kwadratów różnic pomiędzy czasem oglądania tv poszczególnych osób od średniego
czasu obliczonego dla wszystkich badanych osób wyniosła 320
- suma kwadratów odchyleń średnich czasów uzyskanych dla poszczególnych grup od
średniej ogólnej, ważona liczebnościami grup, wyniosła 180.
Zweryfikuj odpowiednią hipotezę (2,5pkt).
Zadanie 4
Poniższa tablica przedstawia dane o kosztach surowca A zużytego do produkcji wyrobu w
przedsiębiorstwie
Półroczne
Średnie ruchome
Lata
Półrocza
koszty
scentrowane
surowca A
(surowiec A)
(tys.zł)
2008
1
24
.
2
28
26,5
2009
1
26
28
2
32
29,5
2010
1
28
30,25
2
33
…
2011
1
30
…
2
36
.
a) Oblicz brakujące średnie ruchome scentrowane (1 pkt),
b) Oblicz i zinterpretuj skorygowany względny (multiplikatywny) wskaźnik wahań
sezonowych dla II półroczy, jeśli wiadomo, że współczynnik korygujący wynosił 1,0015 (2,5
pkt)
c) Wykorzystując obliczony w punkcie 4b) wskaźnik, wyeliminuj wahania sezonowe z
wartości empirycznej zaobserwowanej dla drugiego półrocza 2008 r. (1 pkt).
2
d) Do produkcji tego samego wyrobu zużywany jest, oprócz surowca A, surowiec B.
Wiedząc, że roczny koszt zużycia surowca B wyniósł w 2010 roku 35 tys. zł, a w 2011 roku
34 tys. zł, oblicz o ile procent wzrósł łączny koszt zużycia surowców A i B w 2011 roku w
porównaniu do 2010 roku? (Wyznacz odpowiedni indeks agregatowy) (1pkt
e) Wiedząc, że cena surowca A w 2011 roku w porównaniu do ceny w 2010 roku wzrosła o
10%, a surowca B spadła o 5%, określ, jaki był wpływ cen, a jaki ilości na zmianę łącznej
wartości sprzedaży w tych latach? Wykorzystaj agregatowy indeks cen wg formuły
Laspeyres’a oraz agregatowy indeks ilości wg formuły Paashe’go (3pkt)
Zadanie 5
W pewnej dużej firmie postanowiono sprawdzić wiedzę specjalistyczną pracowników,
których staż pracy nie przekracza jednego roku. W tym celu przeprowadzono test,
maksymalna liczba punktów możliwa do uzyskania w tym teście wynosiła 30.
Staż pracy oraz wyniki testu dla 10 losowo wybranych pracowników przedstawiono poniżej.
Staż pracy w miesiącach (X) 5 4 11 10 8 9 12 8 7 6
Wynik testu (Y)
18 15 29 26 23 26 29 25 19 21
Dodatkowo obliczono: x = 8 , y = 23,1 ,
∑x y
i
i
= 1954 ,
∑x
2
i
= 700 oraz sy = 4,748.
a) Wyznacz odpowiednią miarę i oceń siłę oraz kierunek zależności pomiędzy badanymi
cechami. (2 pkt)
b) Zweryfikuj hipotezę o braku liniowego skorelowania między stażem pracy a wynikami
testu. (2,5 pkt)
c) Zakładając, że do opisu zależności wyniku testu od stażu pracy właściwy jest klasyczny
model normalnej regresji liniowej, na podstawie pobranej próby, wyznacz strukturalne
parametry tego modelu. (2 pkt)
d) Dla pierwszej obserwacji wyznacz różnicę pomiędzy wartością empiryczną a wartością
teoretyczną zmiennej zależnej. (1 pkt)
e) Oceń dopasowanie otrzymanej w punkcie 5c) linii regresji do danych. Wyznacz
odpowiednią miarę i podaj jej interpretację. (1,5 pkt)
3
Zadanie 6 (Test)
Oceń prawdziwość każdego z podanych stwierdzeń (zakreśl właściwą odpowiedź).
Punktacja: odpowiedź poprawna +1pkt, odpowiedź błędna -1pkt, brak odpowiedzi 0 pkt.
1. Zmienna losowa X ma w populacji rozkład normalny X: N(6; 2).
a) P(X>3) =1- P(X ≤ 3)
b) Wariancja zmiennej losowej standaryzowanej U=
losowej X
T
N
X −6
jest taka sama jak zmiennej
2
T
N
c) Krzywa gęstości zmiennej X osiąga maksimum równe 1
2 2Π
dla X=6
T
N
2. Indeksy łańcuchowe obliczone dla wielkości sprzedaży przedsiębiorstwa (wyrażonej w
jednostkach
masy
fizycznej)
w
latach
2008-2011
były
następujące:
i2009/2008=1,2
i2010/2009=1,2 i2011/2010=1,2
Oznacza to, że:
a) w badanych latach absolutne przyrosty wielkości sprzedaży (wyrażone w jednostkach masy
fizycznej) były z roku na rok coraz większe
T
N
b) indeksy jednopodstawowe dla badanych lat (o stałej podstawie z roku 2008) były coraz
większe
T
N
c) indeks średniego tempa zmian w latach 2009-2011 wynosił 1,2
T
N
3. Czy można ocenić asymetrię cechy ciągłej w rozkładzie empirycznym mając tylko:
a) moment zwykły rzędu drugiego
b) histogram
c) współczynnik zmienności
T
T
T
N
N
N
4
Temat A rozwiązania /poziom istotności 0,01 oraz współczynnik ufności 0,95./
Zadanie 1
a)
me=300+[0,5-0,15]*300/0,4= 562,5 zł
b) Korzystając z wykresu dystrybuanty empirycznej wyznacz przybliżoną wartość
kwartylna pierwszego dochodów.
c) Liczba dzieci: x =(0*40+1*30+2*20+3,7*10)/100= 1,07
s2= 132,41/99= 1,337, s=1,156
V=1,156/1,07=1,08 (108%) > (dochody) V.= 322,98/615=0,525 (52,5%)
Zadanie 2
a) w =X/n= 0,4
(0,4- 1,96 √(0,4*(1-0,4)/100 <p< 0,4 + 1,96 √(0,4*(1-0,4)/100)
(0,304 <p< 0,496)
b) Ho: µ=650 , H1:µ<650
n=100
x =615
s= √104318,2 = 322,98
Z=(615-650)/322,98)* √100= -1,08
P(Z<= z2α) =α
z2α = -2,33
Brak podstaw do odrzucenia Ho nie ma podstaw statystycznych do przyjęcia, ze średnia
była niższa od 650 zł.
c)
α∗= P( z ≤ -1,08)= F(-1,08)= 1-0,8599 = 0,1401
Na każdym dopuszczalnym poziomie istotności decyzja z punktu 2b) nie ulega zmianie.
Zad. 3.
180 / 5 − 1
= 43,39 F0,01; 4; 145=~ 3,45
140 / 140 − 5
zawodowa różnicuje czas oglądania TV.
Femp =
Zad. 4.
a) Oblicz brakujące średnie ruchome scentrowane: 31;
-> odrzucamy H0; grupa społeczno-
32,25
b) O’2=(1,057+1,085+1,065)/3=1,069 ; O2=1,069*1,0015=1,07
c) 28/1,07=26,17
d) Iw=100/96=1,04
61 ⋅ 1,1 + 35 ⋅ 0,95
= 1,045
61 + 35
L
IP =
P
I q = 1,04 / 1,045 = 0,995
e)
5
Zadanie 5
a) r=?
x = 8 , y = 23,1 ,
∑x y
i
i
= 1954 , , ∑ xi2 = 700 , sy = 4,748., n=10
1 n
1  n
106
 1
cxy =
(xi − x )( yi − y ) =
= 11,778
 ∑ xi yi − nx y  = (1954 − 10 * 8 * 23,1) =
∑
n − 1 i =1
n − 1  i =1
9
 9
s x2 =
1
n −1
cxy
(∑ x
2
i
)
− nx 2 =
1
(700 − 10 * 64) = 60 = 6,667 , sx=2,582
9
9
11,778
11,778
=
= 0,961
s x s y 2,582 * 4,748 12,259
Odp. Silna zależność korelacyjna między stażem pracy a wynikiem testu. …
r=
=
b) α = 0,01 H 0 : ρ = 0 H1 : ρ ≠ 0
r
tobl =
1− r
2
n−2 =
0,961
0,961
10 − 2 =
2,828 = 9,847
0,276
1 − 0,924
P( t ≥ tα , v ) = α : t 0, 01,8 = 3,355
K = (− ∞;−3,355] ∪ [3,355; ∞ )
tobl ∈ K
Odp. Na poziomie istotności α=0,01 odrzucamy hipotezę zerową
c) ∑ xi = 80 , ∑ yi = 231 (średnie są podane)
 n  n  
x
y
−
∑
 ∑ xi  ∑ yi   n
i i
1954 − [80 * 231] 10 1954 − 1848 106
i =1
 i =1  i =1  
αˆ =
=
=
=
= 1,767
2
2
n
700 − 640
60
700 − (80 ) 10
 n 
2
xi −  ∑ xi  n
∑
i =1
 i =1 
n
1 n
1 n
1
1
ˆ
y
−
α
xi = 231 − 1,767 80 = 8,964
∑
∑
i
n i =1
n i =1
10
10
wartość empiryczna: y1 = 18
wartością teoretyczną: yˆ1 = 1,767 * 5 + 8,964 = 17,799
y1 − yˆ1 = 18 − 17,799 = 0,201
βˆ =
d)
e) Współczynnik determinacji r 2 = ?
2
r 2 = (0,961) = 0,924
Zadanie testowe
1. T N T
2.
TTT
3.
NTN
6