Fizyka statystyczna 2016 — Zestaw zadan 5 1 1. Hamiltonian

Fizyka statystyczna 2016 — Zestaw zadań 5
1
1. Hamiltonian klasycznego gazu doskonałego dany jest wzorem
N
H=
1 X 2
p~i .
2m i=1
Rozważamy gaz o energii całkowitej E (to znaczy o energii zawierajacej
˛ si˛e w pewnym przedziale [E, E + ∆E]). Znaleźć obj˛etość dost˛epnej przestrzeni fazowej dla tego układu. Korzystajac
˛ z tego, znaleźć entropi˛e, energi˛e wewn˛etrzna,˛ temperatur˛e, pojemność cieplna˛ przy stałej
obj˛etości, ciśnienie, równanie stanu.
2. Jak zmienia si˛e wraz z wysokościa˛ ciśnienie gazu doskonałego, znajdujacego
˛
si˛e w stałym,
jednorodnym polu grawitacyjnym? Temperatura gazu jest ustalona i wnynosi T .
3. Rozważmy dyskretny rozkład prawdopodobieństwa {pi }N
˛
i=1 . Każdemu stanowi i przyporzadkowana jest pewna wielkość Ei . Znaleźć rozkład maksymalizujacy
˛ entropi˛e informacyjna˛ przy
N
P
Ei pi jest ustalona.
założeniu, że wartość oczekiwana E =
i=1
4. Czasteczki
˛
dwuwymiarowego polimeru liniowego sa˛ prostokatami
˛
o wymiarach L × l, L >
l. Jeśli krótszy bok prostokata
˛ leży wzdłuż osi polimeru (czasteczka
˛
“stoi”), czasteczka
˛
ma
energi˛e E1 . Jeśli dłuższy bok prostokata
˛ leży wzdłuż osi polimeru (czasteczka
˛
“leży”), ma
ona energi˛e E2 . Nie ma przerw pomi˛edzy czasteczkami.
˛
Znajdź średnia˛ długość łańcucha N
takich czasteczek
˛
w temperaturze T .
5. Rozważmy doskonały gaz dwuatomowy, o hamiltonianie
N
H=
N
1 X
1 X 2
p~ x,i + p~ 2y,i + g
(~xi − ~yi )2 .
2m i=1
2 i=1
Czasteczki
˛
nie oddziałuja˛ pomi˛edzy soba.˛ ~xi , ~yi sa˛ położeniami punktów materialnych wchodzacych
˛
w skład i-tej czasteczki,
˛
p~x,i , p~y,i sa˛ odpowiednimi p˛edami, g > 0 jest stała˛ sprz˛eżenia. Temperatura układu jest zadana i wynosi T . Znaleźć energi˛e swobodna˛ i pozostałe funkcje
termodynamiczne układu, a także ciepło właściwe przy stałej obj˛etości.
6. Rozważmy układ N atomów, z których każdy ma wewn˛etrzny moment magnetyczny o wiel~ ma postać
kości µ. Hamiltonian układu w zewn˛etrznym polu magnetycznym B
H = H(p, q) − µB
N
X
cos αi ,
i=1
~
gdzie B = B
, H(p, q) jest hamiltonianem przy braku zewn˛etrznego pola magnetycznego, a
~ a momentem magnetycznymi i-tego atomu. Pokazać, że
αi jest katem
˛
pomi˛edzy B
(a) indukowany moment magnetyczny układu wynosi
1
M = N µ ctgh θ −
θ
gdzie θ = µB/kB T ,
(b) podatność magnetyczna na jeden atom wynosi
µ2
1
2
χ=
−
cosech
θ
kB T θ2
Fizyka statystyczna 2016 — Zestaw zadań 5
2
(c) w wysokich temperaturach χ spełnia prawo Curie, χ ∼ T −1 . Znaleźć stała˛ proporcjonalności (stała˛ Curie).
PFG