1.1 Rozwi ˛azac układ równa´na) x − 2y = 3 x + 2y = 2 , b

1.1 Rozwiazać
˛
układ równań

x − 2y
=3
,
a)
x + 2y = 2
d)


x − 2y








x − 2y



b) 3y + 2z = 3


4y


−3x − 2y





,
+ z + 2t = 0
e)
4x + z − t = 5
,


x−y








x + y


2x − y






+t=6
x−z−t=7


2y





=0
c) −x + 2y + z = i
− z = −7
+ z − 5t = 1
x − 2y + 5t = 1


ix + −3z



+z =7
,
+ 7z = 4
+z =1
= 280
−x + 2y − z = 200
f)


−y





2x − t = 8
,
+ 2z − t = 200
.
−z + 2t = 275
1.2 Rozwiazać
˛
układ równań
a)


5y






+ 15t = 5
2x + 4y + 7z + t = 3


x + 2y + 3z = 1





x + 2y + 4z + t =



3x − 4y + z = 9






7x + 3y − 5z = 4



,
+ 3z + 2t = 5
b) x + 3y + 2z + 4t = 1



3x + 2y
2
d) 2x − 5y + 2z = 9




4x + 3y








2x + y



,
,
− z − t = −4




3x + y






− z + 4t = 3


x + y
+ 4z + 2t + u = 0


x + 3y






+z =5



7x + 3z + 5t = 0
5x + 6y − z + 3t = 4
9x − 2y − 3z = 13
1.3 Rozwiazać
˛
układ równań


x


 1
+ 4x2 + 9x3 + 16x4 + 25x5 + 36x6 + 49x7 = 1
.
4x + 9x2 + 16x3 + 25x4 + 36x5 + 49x6 + 64x7 = 12
1



9x
1
+ 16x2 + 25x3 + 36x4 + 49x5 + 64x6 + 81x7 = 123
1.4 Rozwiazać
˛
układ równań


x + 2y



+ 3z − t = 1
a) −x − 2z = 0



x − z
−t=1


x+y



+ 2iz + 2t = 2
d) 2x + iy + iz − t = −1


ix + z
,
b)


x + y





+z−t=1
x + y + 2z − t = 1


x + 2y





,
−z =0
c)
x + 4z − 2t = 2
.
− 3it = −3i
2.1 Znaleźć macierz A−1 . Rozwiazać
˛
układ równań Ax = b.




1 −1 1
0







A =  1 0 −3  , b =  10 

0 −2 −3
20
2.2 Znaleźć macierz odwrotna˛ do macierzy A.


3 −3 1



A = −3 5 −2

1 −2 1
,
+ z + 4t = 0
3x + 2y + 2z + t = 1
f) 


5x + y + 2z + 8t = 4
,
e) 3x + 8y + z − t = 6
− z = 11
+ z + t + 3u = 0
c) x + y + 2z + 4t + 2u = 1

=2



x + 2y






x + 3y





x+y




ix + y
+ (1 + i)z = 1 + i
x + iy
+ (1 + i)z = 1 + i
.
2.3 Obliczyć A−1 B.




−1 2 7
2 1 1







A = 1 2 1 , B =  5 1 5

4 1 4
1 1 2
2.4 Obliczyć AB −1 .




8 1 6
3 4 5







A=
2 3 4 , B = 3 5 7
4 9 2
1 2 3
3.1 Czy podany układ wektorów jest liniowo niezależny?
a) ([2, 1, 1], [1, 3, 1], [1, −2, 1]),
b) ([2, 1, 1], [1, 3, 1], [1, −2, 0]),
c) ([2, 1, 1], [1, 3, 1], [−1, 2, 0]).
3.2 Sprawdzić, czy układ wektorów (u1 , . . . , u4 ) przestrzeni K4 jest liniowo zależny, jeśli
a) K = R, u1 = [4, 1, 5, 4], u2 = [1, 2, 3, 1], u3 = [2, 1, 3, 4], u4 = [6, 3, 10, 5],
b) K = C, u1 = [4, 1, 5, 4], u2 = [1, i, 3, −i], u3 = [4 + i, 0, 5 + 3i, 5], u4 = [5, 2i, i, 2].
Jeśli to możliwe przedstawić jeden z wektorów jako kombinacj˛e liniowa˛ pozostałych.
3.3 Rozpatrzmy
macierze
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
1 3 1
4 5 1
1 2 1
7 7 1
3 2 0
A1 =
, A2 =
, B1 =
, B2 =
, B3 =
.
2 5 3
3 3 2
2 1 3
4 1 1
2 4 1
Niech W ⊂ M23 (R) b˛edzie podprzestrzenia˛ rozpi˛eta˛ na A1 , A2 . Które z macierzy Bi należa˛ do W ?
3.4 Sprawdzić, czy wektory u, v sa˛ kombinacjami liniowymi wektorów układu A przestrzeni R4 , jeśli
a) A = ([1, 1, 1, −1], [2, 1, 1, 1], [5, 3, 2, 0], [1, 0, 0, 2]),
b) A = ([1, 1, 1, −1], [2, 1, 1, 1], [5, 3, 2, 0]),
u = [9, 6, 5, −1], v = [9, 6, 5, 0],
u = [9, 6, 5, −1], v = [9, 6, 5, 0].
Czy zapis wektora u w postaci kombinacji liniowej układu A jest jednoznaczny?
3.5 Czy w R3 zachodzi równość U = V ?
a) U = L([1, 3, 4], [9, 6, 1]),
V = L([5, 3, 0], [7, 6, 3]),
b) U = L([1, 1, 3], [2, 5, 0]),
V = L([1, 2, 1], [1, 0, 5], [2, 1, 8]),
c) U = L([1, 0, −1, 0], [1, 0, 0, 1], [1, −1, 7, 1]),
V = L([−1, 2, −14, 1], [−1, −1, 7, −1], [1, 1, −1, 1]),
d) U = L([1, 1, −1, 0], [1, 1, 0, 1], [1, −1, 1, 1]),
V = L([0, 0, −1, −1], [0, 2, −1, 0], [0, −2, 2, 1]).
3.6 Które z kolumn macierzy B należa˛ do przestrzeni opisanej układem równań Ax = 0?

"
A=
1 −2 3 −2 1
2 3 −4 2 −3
#
,B =








0
2
2
1
0
2 2
2
3
2 −1 1
1
0 −5 −2 −4
1 −3 −1 −2
4 5
5
7









4.1 Znaleźć bazy i wymiary przestrzeni rozwiaza
˛ ń układów równań liniowych.


9x + 12y



3
a) 5x + 6y + 4z = 0


2x + 3y
3
w R nad R i w C nad C,
+ x3 + x 5 = 0


2x + y


x2





+ x3 = 0
x1 + x2 + x 4 = 0
+ 5z + 2t + 8u = 0
w R5 nad R,
b) 3x + y + z − 4t + 6u = 0
−z =0


 x1





c)


7x + 3y



+ 2z = 0
w Z52 nad Z2 ,
+ 2z + 3t + u = 0


2x1





+ 3x2 + 5x3 + x5 = 0


2x1





+ 2x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0
3x1 + 2x2 + x4 = 0
d)
nad Z7 .
6x4 + 6x5 = 0 w Z57
x4 + x5 = 0
4.2 Niech W ⊂ R5 b˛edzie przestrzenia˛ rozwiaza
˛ ń układu równań x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0,
x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0. Które z poniższych układów wektorów sa˛ bazami W ? Które z tych układów
można uzupełnić do bazy przestrzeni R5 za pomoca˛ wektorów należacych
˛
do W ?
a) (5, −1, 2, 1, −7),
(2, 3, −6, −3, 4),
b) (1, 2, 3, −2, −4),
(6, 4, −5, −4, −1),
c) (4, 3, 2, −3, −6),
(1, 1, −4, 1, 3),
d) (1, −1, 1, 1, −2),
(4, 4, −4, −4, 0),
(3, −2, −14, 2, 11),
(2, 0, 3, 0, 5),
(3, 1, 3, −1, 3).
4.3 Niech B b˛edzie baza˛ przestrzeni V nad R, U = L(U), W = L(W).
1) W układzie U ∪ W znaleźć baz˛e podprzestrzeni L(U ∪ W).
2) Znaleźć układy A0 , A1 , A2 takie, że A0 jest baza˛ U ∩ W , A0 |A1 baza˛ U , A0 |A2 baza˛ W .
3) Rozszerzyć baz˛e A0 , A1 , A2 do bazy całej przestrzeni.


a) MB (U) =








c) MB (U) = 



e) MB (U) =





2 2 2
1 2 2
2 −2 1
1 1 1




, MB (W)








=

1 −1



2 1 
, MB (W) = 


1 1 

0 1
1
1
0
0
1
0
1
1




, MB (W)







=
0
0
1
1
1
1
2
1
4 2
4 3
2 −5
3 1



,


b) MB (U) =

2
1

−1 −1 
,
0
3 

−1 7
0
1
1
0











d) MB (U) = 






,







f) MB (U) =
1
2
−1
−2
1
1
1
0


1 1
2



1 −1 1 




,
M
1 1 −1 
B (W) = 



1 −1 1 


1 1
2
1
1
0
1


3 −1



1 0 
, MB (W) = 


1 1 

1 −1
1
0
1
1




,







MB (W) =
−1
2
1
1
0
1
0
4
0
1





,




2 −1

5
2 
,
−6 −7 

−5 −3
1
1
1
1 −1 −1
−1 1 −1
−1 −1 1



,


g) U = {(x1 , x2 , 2x1 ) : x1 , x2 ∈ R}, W = {(x, x, x) : x ∈ R},
h) U = {(x1 , x2 , 2x1 ) : x1 , x2 ∈ R}, W = {(x1 , 0, x3 ) : x1 , x3 ∈ R},
i) U = {(x1 , x2 , x1 − x2 ) : x1 , x2 ∈ R}, W = {(x1 , 2x1 , −x1 ) : x1 ∈ R},
j) U = {(x, 2x + y + z, x − t, y, y + z, z, t) | x, y, z, t ∈ R}, W = {(x, 3x + y, x + y, y, x + y, x, y) | x, y ∈ R}.
k) U = {ax7 + (4b + c)x5 + 2bx4 + cx3 + (a + b + 5d)x2 + dx + (b − c + 3d) | a, b, c, d ∈ R},
W = {(4a − 2b)x5 + 2ax4 + bx3 + (a + 5c)x2 + dx + (a + b + 3c) | a, b, c ∈ R}.
5.1 Czy istnieje przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R3 spełniajace
˛ poniższe warunki? Jeśli tak, znaleźć je.
Czy jest ono wyznaczone jednoznacznie?
a) ϕ(2, 1, 0) = (3, 2, 1),
ϕ(4, 2, 1) = (4, 1, 0),
ϕ(2, 2, 1) = (2, 3, 3),
ϕ(2, 2, 2) = (0, 0, 1);
b) ϕ(2, 1, 2) = (1, 2, 0),
ϕ(1, 3, 1) = (2, 1, 1),
ϕ(1, −2, 1) = (−1, 1, −1),
ϕ(3, −1, 3) = (0, 3, −1);
c) ϕ(1, 2, 3) = (0, 1, 2),
ϕ(3, 1, 1) = (1, 1, 1),
ϕ(2, −1, −2) = (1, 0, 0),
ϕ(1, −3, −5) = (1, −1, −2);
d) ϕ(1, 2, 1) = (1, 2, 0),
ϕ(1, 2, 0) = (1, 2, 1),
ϕ(0, 2, 1) = (1, 3, 1),
ϕ(0, 2, 0) = (1, 3, 2).
5.2 W celu zaszyfrowania wiadomości przyporzadkowano
˛
literom alfabetu łacińskiego elementy pierścienia Z26 (A 7→ 0, . . . , Z 7→ 25). Szyfrowany tekst podzielono na bloki długości trzy i każdemu blokowi
przyporzadkowano
˛
wektor z Z326 , który zaszyfrowano przekształceniem szyfrujacym
˛
ψ : Z326 → Z326 ,
ψ(v) = P v, gdzie


11 2 19



P =
 5 23 25.
20 7 1
Odszyfruj wiadomość:
a) AAA GBC OVJ GYP ZXQ
b) GNF FAA QVP OFB ASQ SMY
5.3 Znaleźć przekształcenie
liniowe ϕ : R2 [x] → R2 [x], jeśli


1 0 1


2
2
B

MC (ϕ) =  2 0 1 
, gdzie B = (1, x, x ), C = (1, x − 1, x + x + 1).
1 1 1
3
5.4 Znaleźć przekształcenie
liniowe ϕ:R3 →
     

 ,jeśli
 R






1
1
1
1 2 0




0 0 1
     


B














MC (ϕ) =  2 3 1 , gdzie B = 1 , 1 , 0, C = 0 , 1 , 1 .




 1
 1
1
1 
0 
0
1 1 2
3
3
T
T
T
5.5 
Homomorfizm F
 ∈ HOM(R , R ) ma w bazie B = {[8, −6, 7] , [−16, 7, −13] , [9, −3, 7] } macierz
1 −18 15


 −1 −22 15 . Znaleźć jego macierz w bazie C = {[1, −2, 1]T , [3, −1, 2]T , [2, 1, 2]T }.


1 −25 22
5
5.6 Homomorfizm
, R4 ) ma w bazach
    F ∈ HOM(R
   

       

1
2
3
1
4 




         



0
1
0
0
1 −1 5 2





         



      


2 5 7 3 9



0 5 0 8

         
 ,   ,   ,   macierz M B (ϕ) −1 2 15 3
B = 
 , 5 , 8 , 5 , 9 oraz C = 
3
C









         

7 6 8 4
5 2 1



 1

4 4 9 7 8









         




8
7
9
6
0
3 1 −2

3
1
2
3
1 
Znaleźć jego macierz w:
a) bazach kanonicznych,
b) bazach B =
         

1
3
2
2
1 




         















2
7
4
7
2

         

         
3 , 8 , 5 , 6 , 1 oraz

        



4 5 3 5 2




         





5
9
7
9
4
C=
       

1
1
3
4 




      


2 3  7   9 
 , , ,  .
       


3 5 13 15






4
9
16
29

1

4
.
5

4
6.1 Znaleźć rzut na W wzdłuż U oraz rzut na U wzdłuż W , jeśli
a) W = L{[1, 2, −2, 1]T , [−1, −1, 0, −2]T }, U = L{[1, 2, −1, 1]T ; [1, 4, −3, 0]T };
b) U = L{[4, 2, 1, 2, 1, 2, 3]T , [5, 3, 1, 2, 3, 4, 5]T , [1, 2, 1, 3, 2, 2, 1]T },
W = L{[4, 3, 0, 1, 2, 3, 4]T , [3, 2, 0, 0, 1, 2, 3]T , [2, 1, 0, 0, 0, 1, 2]T , [5, 2, 1, 2, 1, 2, 4]T };
c) W = L{w1 , w2 }, U = L{u1 , u2 },
MK (w1, w2, u1, u2) = [1, 2, −2, 1; −1, −1, 0, −2; 1, 2, −1, 1; −2, −3, 2, −2];
d) W = L{w1 }, U = L{u1 , u2 , u3 }, MK (w1, u1, u2, u3) = [1, 2, −2, 1; −1, −1, 0, −2; 1, 2, −1, 1; 1, 4, −3, 0];
e) U = L([1, 2, −2, 1]T , [−1, −1, 0, −2]T ), W = L([1, 2, −1, 1]T , [−2, −3, 2, −2]T ).
6.2 Znaleźć baz˛e KerF i ImF .
Czy istnieje rzut P : V → V taki, że KerP = KerF i ImP = ImF ? Jeśli tak, znaleźć go.

a)
MBB (F )
=








b) MBB (F ) = 



3
1
0
2
2
1
1
2
1 −3

0 −1 
;
1
0 

1 −2
3
1
0
2
2
1
1
2
1 −3

0 −1 
.
0
0 

1 −2

6.3 Operator liniowy F na przestrzeni V nad C ma w bazie kanonicznej B macierz


1 2 3 4


 4 1 2 3 
 (toeplitz ([1 4 3 2],1:4)).
MBB (F ) = 


 3 4 1 2 
2 3 4 1
Sprawdzić, czy układ {[1, 1, 1, 1]T , [1, −1, 1, −1]T , [1, i, −1, −i]T , [1, −i, −1, i]T } składa si˛e z wektorów
własnych tego operatora.
Czy układ ten jest liniowo niezależny?
Jeśli tak, to jak wyglada
˛ macierz operatora w bazie złożonej z tych wektorów?
6.4 Operator liniowy F na przestrzeni V ma w bazie B = (v1 , v2 , v3 , v4 ) macierz


10
20
35
56


 −20 −45 −84 −140 
.
MBB (F ) = 

36
70
120 
 15

−4 −10 −20 −35
Znaleźć wartości i wektory własne operatora F .