1. Znaleźć wszystkie wartości i wektory własne macierzy A = 1 0 0 0

1. Znaleźć
wszystkie wartości i wektory własne macierzy

1
0
0


A =  0 −2 −1 .
0
4
3
Obliczyć macierz B = (I − A)2 i wyznaczyć jej wartości i wektory własne.


−3 1
2


2. Znaleźć wszystkie wartości własne i wektory własne macierzy A =  0 1 −1 
−2 1
1
4
2
i zbadać czy istnieją liczby p, q ∈ R, dla których A = pA + qA.
3. Uzasadnić, że istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : C3 → C3 ,
dla którego f ((1, 0, 2) = (1, 1, 2), f ((1, 1, 2)) = (1, 0, 2), f ((1, 1, 0)) = (2, −1, 0).
Znaleźć wszystkie jego wartości i wektory własne.


1 1 −2


4. Znaleźć wszystkie wartości własne i wektory własne macierzy A =  −1 1
0 
2 1 −3
oraz obliczyć A2 , A3 , A100 , A101 .
5. Znając wartości i wektory własne macierzy A ∈ Mnn (R) znaleźć wartości i wektory własne
macierzy A2 , A3 , A2 + 2A + I.
6. Obliczyć f (A), jeśli
"
a) f (x) =
x3
−
4x2
+ x − 1, A =
#
1 2
.
−2 1
"
b) f (x) = (2x5 − 2x3 + 7)(x2 − 5x + 10) + x2 + 5, A =
7. Wyznaczyć wartości

2 0


0 0
jeśli MBB (F ) = 
 0 0

1 0
8. Czy istnieje baza

0


0
jeśli MBB (F ) = 
 0

1
#
4 −3
.
2
1
i podprzestrzenie
własne operatora liniowego F : R4 → R4 ,

0 0

0 0 
, B - baza kanoniczna.
0 0 

0 2
4
przestrzeni
 R składająca się z wektorów własnych operatora F ,
1 0 0

0 1 0 
, B - baza kanoniczna. Jeśli tak to wyznaczyć macierz operatora F w tej bazie.
0 0 1 

0 0 0
"
#
3i −2 + 2i
9. Dla macierzy A =
2i + 2
i
znaleźć (o ile istnieją) macierz odwracalną B i macierz diagonalną C, takie, że C = B −1 AB.
10?? . Czy operator F : R4 → R4 taki, że F (1, 3, −1, 0) = (1, 3, −1, 0), F (0, 1, 1, 0) = (−1, −1, 3, 1),
F (0, 0, 1, 4) = (−1, −3, 3, −1), F (0, 0, 1, 0) = (−1, −3, 3, −5) jest diagonalizowalny?
Jeśli tak, to znaleźć postać diagonalną i bazę, w której operator F przyjmuje tę postać.
Wyznaczyć f (A), jeśli f (x) = x(x + 5)(x − 2)2 (x − 3)2 (x − 1)3 + 2x − 3,
A - macierz operatora F w bazie kanonicznej.
(Uwaga! W zestaw mogły się wkraść jakieś błędy.)