Linear Algebra

Wartości własne i wektory własne - 20 I 2017




1
4 0 1




2
3
2
1. Dla danej macierzy A = 
i dla wektora X =  2 
wy
1 0 4
1
znaczyć wartość własną odpowiadającą wektorowi X. Wyznaczyć wielomian
charakterystyczny oraz pozostałe wektory i wartości własne.




2 −1 −1
1




2. Dla danej macierzy A =  −1 2 −1 
i dla wektora X =  1 
−1 −1 2
1
wyznaczyć wartość własną odpowiadającą wektorowi X. Wyznaczyć wielomian charakterystyczny oraz pozostałe wektory i wartości własne.
3. Znaleźć wielomian charakterystyczny dla macierzy:


4 0 1


• A =  −2 1 0 
−2 0 1


0 −5

1
• B=
 5 −1 0 
1 1 −2
3
na co najmniej dwa sposoby.


4. Znaleźć wartości własne dla macierzy A9 , gdzie A = 


1 3 7 11
0 12 3 8 

.
0 0 0 4 
0 0 0 2

5. Znaleźć wyznacznik macierzy A, jeżeli wielomianem charakterystycznym tej
macierzy jest wielomianem postaci:
• p(λ) = λ3 − 2λ2 + λ + 5
• p(λ) = λ4 − λ3 + 7
• p(λ) = λ3 − 10λ2 ∗ 41λ − 50.


1 2 −2

6. Dla danej macierzy A =  2 5 −2 
wyznaczyć wartości własne i

4 12 −5
wektory własne. Co można powiedzieć o wynikach?
7. Znaleźć trzy pierwiastki sześcienne liczby −27 korzystając z poznanych metod.
8. Znaleźć wartości własne i wektory własne trójkąta pascala dla wartości 3.
9. Znaleźć wielomian charakterystyczny i wartości własne dla kwadratu magicznego o rozmiarze 3.
10. Znaleźć sumę i iloczyn wartości własnych bez ich wyznaczania dla macierzy:
• P = pascal(30)
• M = magic(40)
• H = hilb(50)
• H = haf amard(64).
11. Dla macierzy A = pascal(5) bez używania funkcji mnożenia i potęgowania
macierzy A podać wartości i wektory własne macierzy A5 .