Zadania

ZCPS1. Modele sygnałów deterministycznych. Parametry sygnałów
Z1
Obliczyć parametry całkowe sygnału okresowego: x(t) = D + A1 cos(ω0 t+π/4)+A2 cos(2 ω0 t+π/3),
jeśli D = 50V, A1 = 100V, A2 =50V, ω0 = 2π 50 radianów/s.
Z2
Obliczyć parametry całkowe sygnałów: A 1(t) oraz A exp(-t/τ) 1(t), gdzie 1(t) – sygnał skoku
jednostkowego, A = 10V, τ = 0.1s.
Z3
Posługując się metryką, obliczyć odległość między sygnałami x1(t) = A sin t, x2(t) = A cos t, w przestrzeni
L2(0,T). Obliczyć przy jakim t występuje maximum odległości miedzy tymi sygnałami w przestrzeni C(0, T).
Odp. A(2π)½, 0,707 A przy ¾π.
Z4
Obliczyć iloczyn skalarny i normy sygnałów: 1) A1 cos(ω0 t) i A2 cos(ω0 t+π/3),
2) A1 sin(ω0 t+π/4) i A2 cos(2 ω0 t+π/3). A1 = 100V, A2 =50V, ω0 = 2π 50 rad/s.
Z5
Obliczyć iloczyn skalarny ( , ) i normy || ||, kąt pomiędzy sygnałami dla sygnałów x1, x2 typu
A 1(t) exp(-t/τ), o jednakowym kształcie, ale przesuniętych o czas 2μs. Wzory szczegółowe:
x1(t)= 10 exp(-105t), x2(t)= 10 exp(-105(t- 2 10-6)) 1(t - 2 10-6). Odp. φ= 35°.
Z6
Rozważyć sposoby obliczania całkowych parametrów sygnałów dyskretnych zapisanych w macierzy typu
wektor w wybranym środowisku programistycznym (instrukcje, procedury).
Literatura: Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, Warszawa
Internet: strony dotyczące analizy funkcjonalnej, przestrzeni Hilberta, iloczynu skalarnego.
ZCPS2. Szereg Fouriera. Transformata Fouriera.
Z1
Znaleźć szereg Fouriera i transformatę Fouriera sygnału okresowego x(t) = A1 cos(ω0t+45º)+A2 cos(2ω0t ),
jeśli A1 = A2 =100V, ω = 2π 50 rad/s. Sporządzić wykresy amplitudowe i fazowe. Wyjaśnić różnice w
interpretacji.
Z2
Obliczyć szereg Fouriera i transformatę Fouriera sygnału okresowego x(t) = A1 sin(ωt+45º)+A2 sin(2ω0t ), jeśli
A1 = A2 =100V, ω = 2π 50 rad/s. Sporządzić wykresy amplitudowe i fazowe. Porównać z wynikami z Z1.
Sformułować wnioski z zadań Z1 i Z2 uwzględniając podobieństwa i różnice.
Z3
Wyznaczyć szereg Fouriera trójkątnego sygnału okresowego o okresie T, amplitudzie A. Sprawdzić równość
Parsevala (T. Z., s. 66 - 69).
Z4
Obliczyć transformaty Fouriera sygnałów: A 1(t), A exp(-|t|/τ), A (1-exp(-|t/|τ)), A exp(-t2/a2), gdzie 1(t) –
sygnał skoku jednostkowego, A = 100V; τ = 0.1s. (T. Z., s. 79 - 87).
Z5
Obliczyć transformatę Fouriera okresowego sygnału bramki g0(t) =A Π(t/τ) dla τ = 0,1 (powielony sygnał
bramki).
Z6
Obliczyć transformatę Fouriera sygnału x(t) = A sza(t/T) dla T = 0,1s.
Z7
Obliczyć moc zawartą w 5 składowych widma sygnału okresowego i porównać z mocą w całym jego widmie
dla przypadków: a) sygnał trójkątny, b) sygnał piłokształtny (T. Z., s. 67-70).
Z8
Z jakim błędem (wartość średniokwadratowa błędu) 5 kolejnych wyrazów szeregu Fouriera przybliża okresowy
sygnał prostokątny o współczynniku wypełnienia: a) 0,2, b) 0,01 (powielany sygnał bramki).
Lit.
Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, Warszawa
Tomasz Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ, Warszawa
ZCPS3. Dyskretne przekształcenie Fouriera
Z1
Określić na podstawie twierdzenia K-S warunki prawidłowego próbkowania sygnału okresowego o postaci
x(t) = A1sin(2π100t) + A2 cos(π3000t) (Wykł.).
Z2
Zapisać w formie macierzowej zależność pomiędzy wektorem widma zespolonego X(n) a wektorem próbek
sygnału x(k) korzystając ze wzoru definicyjnego na DFT dla N = 4 (DFT: T. Z., s. 71=73).
Z3
Wyznaczyć macierz próbek, a następnie DFT sygnałów próbkowanych synchronicznie z N = 4 próbek w
jednym okresie: x1(t) = 10 cos(20πt); x2(t) = 10 sin(2000πt). Określić TSYG, FMAX, FS . Obliczyć wartości DFT.
Z4
Sprawdzić, jak zmieni się DFT sygnałów z Z3 próbkowanych synchronicznie z liczbą próbek N = 8 w dwóch
okresach: x1(t) = 10 cos(20πt); x2(t) = 10 sin(2000πt). Określić TSYG, FMAX, FS. Obliczyć wartości DFT.
Z5
Według danych z zadania Z3 i Z2 przypadek 1 sprawdzić, czy zachodzi równość Parsevala.
ZCPS4. Inne przekształcenia. Korelacja. Widma energii.
Z1
Zastosować przekształcenie Walsha-Fouriera obliczając pierwszych 5 współczynników rozwinięcia w
szereg Walsha sygnału x(t) = A1 sin(ω0 t). Określić błąd aproksymacji. A1 =10 V, ω0 =2π (Sz. s.123).
Z2
Zastosować przekształcenie Walsha-Fouriera obliczając pierwszych 5 współczynników rozwinięcia w
szereg Walsha sygnału o okresie T i amplitudzie A: a) trójkątnego, b) piłokształtnego. Określić błąd
aproksymacji w obu przypadkach.
Z4
Wyznaczyć funkcję autokorelacji sygnału A1 cos(ω0t+π/4), A1 =10V.
Z5
Wyznaczyć funkcję korelacji wzajemnej pomiędzy dwoma sygnałami bramki o parametrach: A1=10V, A2
=1V, b1=0,1s, b2=0,5s. Wyznaczyć współczynnik korelacji.
Z6
Wyznaczyć widma energii sygnału x(t) = A dla
10ms. Sporządzić wykres.
Z7
Wyznaczyć widma mocy sygnałów: A exp(-|t|/τ), A (1-exp(-|t/|τ)), A exp(-t2/a2), A = 100V; τ = 0,1s.
Z8
Wyznaczyć widmo mocy sygnału A1 cos(ω0t+π/3), A1 =10V. Sporządzić wykres.
Z9
Wyznaczyć widmo mocy sygnału A1 sin(ω0t+π/3), A1 =10V. Sporządzić wykres. Porównać z wynikiem Z8.
Sformułować wnioski.
Lit.
-T/2 < t < T/2, 0 dla pozostałych t, gdzie A = 10V, T =
Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, Warszawa
Tomasz Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ, Warszawa
ZTS5. Transformacja Laplace'a.
Z1
Obliczyć z definicji transformaty Laplace'a sygnałów A δ(t), A 1(t), A t 1(t),
A1 sin(ωt) 1(t), A exp(-t/τ) 1(t), A (1-exp(-t/τ)) 1(t). Na podstawie literatury
obliczyć transformaty sygnałów A1 sin(ωt+π/4) 1(t), A1 cos(ωt+π/4) 1(t).
Sprawdzić, czy F(jω)=F(s)|s= jω w każdym przypadku. 1(t) - funkcja skoku
jednostkowego.
Z2
Zastosować metodę operatorową do wyznaczenia transmitancji operatorowej i
widmowej opisujących układ jak na rysunku. Wyznaczyć charakterystyki
częstotliwościowe układu: amplitudową i fazową. Jaka jest odpowiedź tego układu
na E = A 1(t) (wyznaczyć równanie na Uc(t)). Założyć zerowe warunki początkowe.
ZCPS6. Przekształcenie Z. Filtry cyfrowe.
Z1
Obliczyć z definicji transformatę Z dyskretnego skoku jednostkowego 1(n) oraz szeregu potęgowego an 1(n),
a = 0.5.
Z2
Obliczyć transformatę Z dyskretnego zespolonego sygnału harmonicznego A exp(jω0n)1(n), a na tej
podstawie transformaty szeregów A sin(ω0n)1(n) oraz A cos(ω0n)1(n), próbkowanych z odstępem TS. ω0stała.
Z3
Znaleźć szereg czasowy mając jego X(z) = z(1- e-aT) / ((z-1)(z-e-aT)). Posłużyć się metodą rozkładu na ułamki
proste.
Z4
Wyznaczyć X(z) szeregu nieskończonego otrzymanego w wyniku próbkowania sygnału liniowo narastającego
A t 1(t) z odstępem próbkowania TS.
Z5
Zbadać właściwości filtru cyfrowego typu SOI o równaniu y(n)= x(n) – 1,618 x(n-1) +x(n-2). Wyznaczyć
H(z) tego filtru, określić położenie zer i biegunów jego transmitancji. Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki
częstotliwościowe. Narysować jego schemat strukturalny (obliczenia można wykonać/sprawdzić za pomocą
programu Matlab).
Z6
Zbadać właściwości filtru cyfrowego typu NOI o równaniu H(z) = 1/(1 – 0,8z-1 +z-2). Określić położenie zer i
biegunów jego transmitancji. Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki częstotliwościowe. Narysować jego
schemat strukturalny. (Obliczenia można sprawdzić za pomocą programu Matlab).
Lit.
Tomasz Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, s.267-275. WKŁ, Warszawa
ZCPS7 Sygnały losowe.
Z1
Założyć, że generowany jest dyskretny sygnał losowy o rozkładzie gaussowskim o zerowej wartości średniej i
wartości odchylenia średnokwadratowego a (instrukcja randn()). Należy sygnał ten scharakteryzować w
systematyczny sposób posługując się pojęciami z dziedziny statystyki i z dziedziny CPS, zwracając uwagę na
zbieżności w pojęciach. Wskazać użyteczne instrukcje Matlab oraz procedury, które można tu wykorzystać.
Z2
Szum biały o wariancji a2 przechodzi przez idealny filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości granicznej fc i
wzmocnieniu 10. Jaka jest postać funkcji autokorelacji szumu wyjściowego?
Z3
Jaka jest funkcja autokorelacji sygnału o postaci Acos(ω1 t+π/6) z szumem białym o wariancji A2.
Z4
Na podstawie literatury zbadać zagadnienie przechodzenia szumu białego przez układ inercyjny 1 rzędu (filtr
dolnoprzepustowy rzeczywisty) o współczynniku wzmocnienia K i częstotliwości charakterystycznej fc.
Należy określić funkcję autokorelacji szumu wyjściowego i jego GWM.
Z5
Zbadać eksperymentalnie właściwości sygnału losowego skonstruowanego jako suma kilku niezależnych
sygnałów w postaci szumu białego o różnych wariancjach.
Lit.
Tomasz Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKŁ, Warszawa