H: p = 0.5 przeciwko K: p = 0.5 wykona

STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3
1. Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko
K: p 6= 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny
i zweryfikować hipotezę H gdy w 100 rzutach monetą było 59 orłów, na
poziomie istotności:
a) α = 0.1,
b) α = 0.05 .
Obliczyć moc testu gdy p = 0.9, p = 0.4.
2. Niech (X1 , X2 , ..., Xn ) będzie próbą prostą, że Xk ma rozkład N(m,1).
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę H: m=4, przeciwko
K: m > 4, gdy n=25 oraz zaobserwowano x = 4.3. Podać wartość p-value.
3. Producent twierdzi,że długość życia produkowanych przez niego baterii
ma rozkład normalny o średniej 48. Długość życia dla zbadanych 7 baterii
wyniosła: 44, 46, 49, 42, 51, 40, 45. Czy obserwacje te przeczą hipotezie
producenta o średniej długości życia baterii ? Zweryfikować hipotezę dla
α = 0.02.
4. Przyjmując, że grubość produkowanych elementów jest zmienną losową
o rozkładzie N(m, σ) zweryfikować na poziomie istotności α = 0.1 hipotezę
H: m=100 przeciwko K: m 6= 100 dla następujących obserwacji: 95, 103,
104, 97, 100.
5. Zużycie energii elektrycznej (w kWh) przez pewną firmę w losowo
wybranych 10 dniach było następujące:
104, 100, 105, 110, 106, 105, 102, 105, 107, 106. Zakładając,że zużycie
energii ma rozkład normalny , na poziomie istotności α = 0.025 zweryfikować
hipotezę H: σ 2 = 10 przeciwko K: σ 2 > 10.
6. Producent twierdzi, że produkowany przez niego przyrząd nie popełnia
błędu systematycznego oraz odchylenie standardowe wyników pomiaru wynosi
σ = 0.01. W celu sprawdzenia przyrządu wykonano nim 10 niezależnych
pomiarów wzorca w=10.00 i uzyskano:
9.97, 9.96, 10.00, 10.01, 9.99, 10.01, 10.00, 10.02, 10.00, 10.03.
Zakładając, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny zweryfikować na poziomie
istotności α = 0.01:
a) hipotezę producenta o błędzie systematycznym oraz
b) hipotezę σ = 0.01 przeciwko hipotezie, że rzeczywiste odchylenie jest
większe.
1
7. Pewien eksperymentator twierdzi, że opracował nową (lepszą) metodę
odsiarczania rud miedzi. Dokonano pomiarów zawartości siarki i otrzymano
dla metody:
starej: 17, 11, 22, 18, 15, 13, 14, 16
nowej: 15, 12, 10, 18, 14, 15, 13.
Przyjmując, że zawartość siarki ma rozkład normalny zweryfikować odpowiednią
hipotezę na poziomie istotności α = 0.05.
8. Błędy pomiarów każdego z 2 przyrządów mają rozkład normalny o
takiej samej wariancji, równej 3. Badając zgodność pomiarów wykonano po
6 pomiarów każdym przyrządem i otrzymano: x1 = 66.7, x2 = 67.3;
a)zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05;
b) wyznaczyć błąd II rodzaju. gdy różnica między średnimi wynosi 2.44.
9. W wyniku 20 pomiarów temperatury otrzymano x = 4.8. Zakładając,
że utrzymywana temperatura jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
N(m,0.1) na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotezę H: m = 5
przeciwko alternatywie:
a) K: m < 5 oraz b) K: m 6= 5.
10.Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 15 niezależnych
pomiarów napięcia i otrzymano s2 = 1.4. Na poziomie istotności α = 0.05
zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów wynosi 1.2.
Odpowiedzi do Listy 3
zad.1 a) Q = {0, 1, ..., 41}∪{59, 60, ..., 100}, odrzucamy H gdy zaobserwowano
59 orłów
b)Q = {1, 2, ..., 40} ∪ {60, 61, ...100}, nie ma podstaw do odrzucenia H gdy
zaobserwowano 59 orłów.
M(0.4)=0.5793, M(0.9)=1
zad.2 Q = (1.64; ∞); u=1.5, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy;
p-value =0.0768
zad.3 t=-1.877; 6 stopni swobody; Q = (−∞, −0.906), odrzucamy hipotezę
zad.4 t=-0.17; 4 st.swobody; Q = (−∞, −2.132)∪(2.132, ∞), nie ma podstaw
do odrzucenia H
zad.5 χ2 = 6.1; 9 st.swobody; Q = (19.02, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy H
zad.6 a) H: m=0 (błąd systematyczny wynosi 0 )
K: m 6= 0
t=-0.1; 9 st.swobody; Q = (−∞, −3.25) ∪ (3.35, ∞), nie ma podstaw do
2
odrzucenia hipotezy H
b) H: σ 2 = 0.0001 przeciwko K: σ 2 > 0.0001
χ2 = 34; 9 st.swobody, Q = (21.67, ∞), odrzucamy H na podanym poziomie
istotności
zad.7 H: ms = mn przeciwko K: ms > mn
t=1.48; 13 st.swobody Q = (1.771, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy H
zad.8 a) H: m1 = m2 przeciwko K: m1 6= m2
u=-0.6, Q = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, ∞) , nie ma podstaw do odrzucenia H
b) β = 0.3156
zad.10 χ2 = 17.5; 14 st.swobody Q = (23.68, ∞), nie ma podstaw do
odrzucenia H
LISTA 4
1.W celu sprawdzenia symetryczności kostki do gry wykonano nią 120 rzutów
i otrzymano:
liczba oczek
liczba rzutów
1 2 3 4 5 6
11 30 14 10 33 22
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że kostka jest
symetryczna.
2.Zmienna losowa X oznacza liczbę kolizji komunikacji miejskiej w ciągu
jednej doby.Na podstawie obserwacji próby prostej: 3, 2, 2, 1, 4, 0, 4, 2, 3
zweryfikować hipotezę,że X ma rozkład Poissona z λ = 2. Przyjąć α = 0.025.
3.Prześwietlono 100 niezależnych próbek wykonanych z tego samego materiału
i uzyskano następujące liczby skaz:
0 1 2 3 4 5
liczba skaz
liczba próbek 10 27 29 19 8 7
Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że liczba skaz w
próbkach ma rozkład Poissona.
4.W pewnym doświadczeniu mierzy się czas (w s) występowania określonego
efektu świetlnego. Dla 1000 niezależnych doświadczeń uzyskano:
czas efektu 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10
liczba dośw. 90 140 320 300 150
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że czas występowania
3
efektu świetlnego ma rozkład normalny.
5.Zbadano zależność między ilością pewnej substancji dodawanej do produkcji
wyrobu a jego wytrzymałością:
ilość substancji
1 2 4 6 7
twardość wyrobu 52 53 48 50 52
a) czy istnieje zależność między ilością dodawanej substancji a wytrzymałością
wyrobu?
b) wyznaczyć równanie prostej regresji
c) obliczyć spodziewaną wytrzymałość wyrobu, gdy do produkcji dodamy 5
jednostek substancji
d) obliczyć współczynnik korelacji rang Spearmana.
6. W następującej tabeli xi określa miesięczne zużycie pewnego surowca
(w tonach)w produkcji wyrobu, zaś yi określa wielkość produkcji (w tonach)
w tym miesiącu:
xi
yi
1 1.5 2 4 5 6
3 3.5 4.5 8 11 12
Przedstawić podane obserwacje na płaszczyźnie. Obliczyć współczynnik
korelacji liniowej. Czy zależność cechy Y od cechy X jest dodatnia czy ujemna
i co to oznacza? Co można powiedzieć o sile zależnosci miedzy tymi cechami?
Wyznaczyć:
a) prostą regresji cechy Y względem cechy X;
b) prostą regresji cechy X względem cechy Y;
c) narysować obie proste regresji na płaszczyżnie;
d) czy punkt (x̄, ȳ) jest punktem przecięcia tych prostych;
e) oszacować wielkość produkcji gdy zużycie surowca wyniesie 3 tony; 5.5
tony;
f) o ile wzrośnie produkcja gdy zużycie surowca wzrośnie o 1 tonę;
7. Czas świecenia żarówek tej samej mocy wyprodukowanych trzema
różnymi metodami był następujacy:
metoda 1 1802 1992 1854 1880 1761 1900
metoda 2 1664 1755 1823 1862
metoda 3 1877 1710 1882 1720 1950
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że wartości przeciętne
czasów świecenia żarówek produkowanych różnymi metodami są jednakowe:
przeciwko hipotezie alternatywnej,że przynajmniej dwie wartości przeciętne
4
są różne.
8. Zmierzono rezystencję oporników tego samego typu produkowanych
przez 4 różnych producentów otrzymując wartości:
producent
producent
producent
producent
1
2
3
4
28
29
30
30
36
27
37
29
26
34
29
35
28 25 27 33
30 29
28 31 30
28
Na poziomie istotnosci α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że wartości przecietne
rezystancji dla 4 róznych producentów są jednakowe; przeciwko hipotezie
alternatywnej, że przynajmniej dwie z nich sa rózne.
Odpowiedzi do Listy 4
zad.1 χ2 = 24.50, Q = (11.07, ∞), odrzucamy hipotezę
zad.2 χ2 = 2.8434,4 st.swobody Q = (11.141, ∞), nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy
zad.3 χ2 = 4.4107, 5 st.swobody Q = (13.277, ∞) , nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy
zad.4 χ2 = 52, 43, r=5, 2 st.swobody Q = (5.991, ∞) , odrzucamy hipotezę
zad.5 a) r=-0.27, b) y = −0.23x + 51.92
c) 50.77 d) rs = −0.275, zad.6,y = 1.90x + 0.81, x = 0.52y − 0.38 zad.7
F = 1.126 ∈
/ Q, gdzie Q = [3.89, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
na podanym poziomie istotności, zad.8 F = 0.36 ∈
/ Q, gdzie Q = [3.16, ∞),
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy na podanym poziomie istotności.
5