Przykłady do listy 13.

Analiza Matematyczna MAEW101
MAP1067
Wydział Elektroniki
Przykłady do Listy Zadań nr 14
Funkcje wielu zmiennych.
Pochodne cząstkowe
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1
Przykłady do zadania 14.1:
Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji. W punktach (c) i (d) znaleźć także
poziomice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować te wykresy.:
(a) f (x, y) = ln(1 − x2 − y 2 )
• Df = {(x, y) : 1 − x2 − y 2 > 0} = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
jest to koło otwarte (czyli bez brzegu) o środku (0, 0) i promieniu 1
1.5
1
0.5
D
f
0
1
−0.5
−1
−1.5
−1.5
(b) f (x, y, z) =
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
10
ex+y−z − 1
• Df = {(x, y, z) : ex+y−z − 1 6= 0} = {(x, y, z) : x + y − z 6= 0}
jest to przestrzeń R3 bez płaszczyzny o równaniu x + y − z = 0
35
30
D
25
f
20
15
10
5
0
x+y−z=0
0
10
0
20
D
30
10
f
20
30
40
2
40
(c) f (x, y) =
√
x2 + y 2
• Df = R2
• Poziomice Ph = {(x, y) : f (x, y) = h} to:
Ph = ∅ dla h < 0
P0 = {(0, 0)}
Ph = {(x, y) : x2 + y 2 = h2 } dla h > 0, czyli okręgi o wspólnym środku (0, 0) i promieniach
równych h
2
2
2
1.5
1.5
2
1
5
1.
2
1.
5
1
1
1.5
1
2
0.
2
5
0.25
1
1.5
0
0.5
0.5
−0.5
1
−1
1.5
−1.5
1.5
2
−2
−2
−1.5
2
−1
−0.5
2
0
0.5
1
1.5
2
• Wynika stąd, że wykres badanej
funkcji to powierzchnia obrotowa, obracamy wokół osi
√
2
Oz funkcję z = f (x, 0) = x = x dla x ­ 0
2
z
1.5
1
z=x
0.5
0
x
−0.5
−2
−1.5
−1
3
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
• Otrzymujemy stożek
2.5
2
1.5
1
0.5
−2
0
0
−2
−1.5
−1
−0.5
0
4
0.5
1
1.5
2
2
(d) f (x, y) =
1
x+y
• Df = {(x, y) : x + y 6= 0} - płaszczyzna bez prostej x + y = 0
• Poziomice Ph = {(x, y) : f (x, y) = h} to:
Ph = ∅ dla h = 0
1
Ph = {(x, y) : x + y = } dla h 6= 0, czyli proste równoległe do prostej x + y = 0
h
1
0.8
0.8
1
x+y=0
0.6
0.4
0.8
0.2
2
1
0
−0.2
−1
−2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.8
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• Wynika stąd, że wykres badanej funkcji to powierzchnia walcowa (w dwóch częściach, bo
przerwa w dziedzinie) o przekroju hiperboli
50
40
30
20
10
0
przekroj plaszczyzna
prostopadla
do prostej y=x
−10
−20
−30
−40
−50
−2
−1.5
−1
5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
• Otrzymujemy wykres
4
3
2
1
0
x+y=0
−1
−2
−3
−4
2
1
0
−1
−2
−2
−1.5
6
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Przykłady do zadania 14.2:
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
(a) f (x, y) = xy + x2 + y − 2x
• Df = R2
∂f
•
(x, y) = y + 2x − 2
∂x
∂f
•
(x, y) = x + 1
∂y
(b) f (x, y) =
ex
ln(x + y)
• Df : x + y > 0, x + y 6= 1
ex ln(x + y) − ex ·
∂f
•
(x, y) =
∂x
ln2 (x + y)
1
x+y
·1
!
∂f
−1
1
•
(x, y) = ex
·1
·
2
∂y
x+y
ln (x + y)
(c) f (x, y) = sin2 (x − y 2 )
• Df = R2
∂f
•
(x, y) = 2 sin(x − y 2 ) cos(x − y 2 ) · 1
∂x
∂f
•
(x, y) = 2 sin(x − y 2 ) cos(x − y 2 ) · (−2y)
∂y
(d) f (x, y) = xy
• Df : x > 0
∂f
(x, y) = yxy−1
•
∂x
∂f
•
(x, y) = xy ln x
∂y
7
(e) f (x, y, z) = y −
√
x2 + z 3
• Df : x2 + z 3 ­ 0
1
∂f
(x, y, z) = − (x2 + z 3 )−1/2 · 2x dla x2 + z 3 > 0
•
∂x
2
∂f
•
(x, y, z) = 1
∂y
∂f
1
•
(x, y, z) = − (x2 + z 3 )−1/2 · 3z 2 dla x2 + z 3 > 0
∂z
2
(f) f (x, y, z) =
q
3
arctg(x + eyz )
• Df = R2
∂f
1
1
•
(x, y, z) = (arctg(x + eyz ))−2/3 ·
·1
yz
∂x
3
(x + e )2 + 1
∂f
1
1
•
(x, y, z) = (arctg(x + eyz ))−2/3 ·
· eyz · z
yz
2
∂y
3
(x + e ) + 1
1
1
∂f
(x, y, z) = (arctg(x + eyz ))−2/3 ·
· eyz · y
•
yz
∂z
3
(x + e )2 + 1
dla wszystkich pochodnych x + eyz 6= 0
Przykłady do zadania 14.3:
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne
cząstkowe mieszane są równe:
(a) f (x, y) = ln(x − y)
• Df : x − y > 0
∂f
1
•
(x, y) =
,
∂x
x−y
∂ 2f
∂
•
(x, y) =
2
∂x
∂x
∂f
1
1
(x, y) =
· (−1) =
∂y
x−y
y−x
1
x−y
!
=−
∂ 2f
∂
(x, y) =
∂y∂x
∂y
1
x−y
!
∂ 2f
∂
(x, y) =
∂x∂y
∂x
1
y−x
!
∂ 2f
∂
(x, y) =
2
∂y
∂y
• Sprawdzenie:
1
y−x
1
(x − y)2
=−
1
· (−1)
(x − y)2
=−
1
· (−1)
(y − x)2
!
=−
1
(y − x)2
∂ 2f
∂ 2f
1
(x, y) =
=
(x, y)
∂y∂x
(x − y)2
∂x∂y
8
x
(b) f (x, y) = e y
• Df : y 6= 0
∂f
1 x
•
(x, y) = e y ,
∂x
y
2
∂ f
1 xy
•
(x,
y)
=
e
∂x2
y2
x x
∂f
(x, y) = − 2 e y
∂y
y
∂ 2f
1 x 1
x x
(x, y) = − 2 e y +
− 2 ey
∂y∂x
y
y
y
!
∂ 2f
1 x
x 1 x
(x, y) = − 2 e y − 2 · e y
∂x∂y
y
y y
∂ 2f
x
2x xy
x xy
−
(x,
y)
=
e
−
e
∂y 2
y3
y2
y2
!
=
x(x + 2y) xy
e
y4
x + y xy
∂ 2f
∂ 2f
(x, y) = − 3 e =
(x, y)
• Sprawdzenie:
∂y∂x
y
∂x∂y
(c) f (x, y, z) = x2 + y 3 x − 2x3 y 2 z 5
• Df = R2
∂f
∂f
∂f
•
(x, y, z) = 2x + y 3 − 6x2 y 2 z 5 ,
(x, y, z) = 3y 2 x − 4x3 yz 5 ,
(x, y, z) = −10x3 y 2 z 4
∂x
∂y
∂z
∂ 2f
∂ 2f
2 5
•
(x,
y,
z)
=
2
−
12xy
z
(x, y, z) = 3y 2 − 12x2 yz 5
∂x2
∂x∂y
∂ 2f
∂ 2f
(x, y, z) = 3y 2 − 12x2 yz 5
(x, y, z) = 6yx − 4x3 z 5
∂y∂x
∂y 2
∂ 2f
∂ 2f
(x, y, z) = −30x2 y 2 z 4
(x, y, z) = −20x3 yz 4
∂z∂x
∂z∂y
∂ 2f
(x, y, z) = −30x2 y 2 z 4
∂x∂z
∂ 2f
(x, y, z) = −20x3 yz 4
∂y∂z
∂ 2f
(x, y, z) = −40x3 y 2 z 3
2
∂z
• Sprawdzenie:
∂ 2f
∂ 2f
(x, y, z) = 3y 2 − 12x2 yz 5 =
(x, y, z)
∂y∂x
∂x∂y
∂ 2f
∂ 2f
2 2 4
(x, y, z) = −30x y z =
(x, y, z)
∂z∂x
∂x∂z
∂ 2f
∂ 2f
3
4
(x, y, z) = −20x yz =
(x, y, z)
∂y∂z
∂z∂y
9
Przykłady do zadania 14.4:
Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji:
y
∂ 3f
(a)
(x, y) dla f (x, y) = cos
2
∂x∂y
x
• Df : x 6= 0
∂ 3f
∂
• Mamy obliczyć
=
2
∂x∂y
∂x
∂
∂y
∂f
∂y
!!
∂f
y
1
•
(x, y) = − sin
·
∂y
x
x
∂
•
∂y
∂f
∂y
∂
•
∂x
∂
∂y
!
∂
1
y
− sin
∂y
x
x
(x, y) =
∂f
∂y
!!
(b)
∂
y
1
− 2 cos
∂x
x
x
(x, y) =
y
y
2
1
cos
− 2 − sin
3
x
x
x
x
=
y
y
y
2
∂ 3f
− 4 sin
(x, y) = 3 cos
2
∂x∂y
x
x
x
x
Odp.:
1
y
1
1
y
= − cos
· = − 2 cos
x
x
x
x
x
∂ 5f
(x, y, z) dla f (x, y, z) = x2 y 3 z 4
∂x2 ∂z∂y 2
• Df = R3
∂ 5f
∂
• Mamy obliczyć
=
2
2
∂x ∂z∂y
∂x
•
∂
∂x
∂
∂z
∂
∂y
∂f
∂y
!!!!
∂f
(x, y, z) = 3x2 y 2 z 4
∂y
!
∂ 2 2 4
3x y z = 6x2 yz 4
∂y
∂
•
∂y
∂f
∂y
∂
•
∂z
∂
∂y
∂f
∂y
∂
•
∂x
∂
∂z
∂
∂y
∂f
∂y
!!!
∂
•
∂x
∂
∂x
∂
∂z
∂
∂y
∂f
∂y
Odp.:
(x, y, z) =
!!
(x, y, z) =
∂ 2 4
6x yz = 24x2 yz 3
∂z
(x, y, z) =
∂ 24x2 yz 3 = 48xyz 3
∂x
!!!!
(x, y, z) =
∂ 5f
(x, y, z) = 48yz 3
∂x2 ∂z∂y 2
10
∂ 48xyz 3 = 48yz 3
∂x
· −
y
x2