x + 1

Lista zadań nr 2 dla Studium Talent 2015
Zadanie 1. Znajdź asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
√
x3 + x2
x3
x−3
1 + x2
1 − x2
√
a) 2
, b)
,
d)
,
e)
.
,
c)
x −4
(x + 1)2
x+1
x
x2 − 9
0
√
1
Zadanie 2. Korzystając tylko z definicji, oblicz: a) (x2 − 3x)0 , b) ( x)0 , c)
.
x+1
Pochodne kilku ważnych funkcji elementarnych:
(xa )0 = axa−1 ,
(sin x)0 = cos x,
(cos x)0 = − sin x,
(ax )0 = ax ln a,
(ex )0 = ex ,
(ln x)0 =
1
.
x
Arytmetyka pochodnych:
!0
!0
0
cf (x)
f (x) ± g(x)
= cf (x),
!0
f (x)g(x)
0
f (x)
g(x)
0
= f (x)g(x) + f (x)g (x),
= f 0 (x) ± g 0 (x),
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
.
g 2 (x)
!
=
Zadanie 3. Korzystając z powyższych informacji, oblicz pochodne funkcji (wyniki możesz sprawdzić
na stronie WolframAlpha):
1
2
sin x
a) x + 2 ex , b) tg x = cos
, c) x2 ln x, d) lnxx .
x
x
!0
= g 0 (f (x))f 0 (x) oblicz pochodne funkcji:
Zadanie 4. Korzystając ze wzoru g(f (x))
a) sin2 x,
2
x
b) sin(x2 ), c) ln(1 + x2 ), d) ex , e) 2sin x , f)* ee .
Wsk. Możesz wzorować się na poniższym przykładzie:
W przypadku obliczania pochodnej funkcji złożonej
cos2 x = g(f (x)) mamy g(x) = x2 oraz f (x) =
0
cos x. Obliczamy pochodną zgodnie ze wzorem g(f (x)) = g 0 (f (x))f 0 (x):
g 0 (x) = (x2 )0 = 2x natomiast f 0 (x) = (cos x)0 = − sin x, skąd g 0 (f (x)) = 2 cos x i ostatecznie
!0
(cos2 x)0 = (cos x)2
= 2 cos x · (− sin x) = −2 sin x cos x.
Zadanie 5. Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
√
√
√
2x
a) f (x) =
, ( 2, f ( 2)), b) f (x) = ln(x2 + e), (0, f (0)), c) f (x) = 2x + 1, (3, f (3)).
2
1+x
Zadanie 6. Korzystając z pochodnych, wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:
4
3
a) f (x) = x3 − 30x2 + 225x,
b) f (x) = x4 − x3 − x2 ,
c) f (x) = 4x + x1 ,
√
e) f (x) = x − 3 3 x,
g) f (x) = x ln2 x,
3
x
d) f (x) = 3−x
2,
f ) f (x) = xe−3x ,
h) f (x) = lnxx .
Zadanie 7. Znajdź wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
a) f (x) = x3 − 4x2 ,
b) f (x) = x + x1 ,
2
c) f (x) = 2xx4−1 ,
√
e) f (x) = x − x,
g) f (x) = x ln x,
d) f (x) = x21−x ,
f ) f (x) = |x2 − 5x − 6|,
√
h) f (x) = 3x − x3 .