Matematyka dyskretna Zestaw 2 – 03/04.03.2016

Matematyka dyskretna
Zestaw 2 – 03/04.03.2016
Wprowadźmy następujące oznaczenia na własności relacji: (Z) zwrotność, (NZ) niezwrotność, (PZ)
przeciwzwrotność, (S) symetria, (AS) antysymetria, (PS) przeciwsymetria, (P) przechodniość, (Sp)
spójność.
1. Które z własności (Z), (NZ), (PZ), (S), (AS), (PS), (P), (Sp) posiada relacja R ⊂ Z × Z, jeżeli:
(a) (m, n) ∈ R ⇐⇒ m + n = 3,
(b) (m, n) ∈ R ⇐⇒ m − n jest liczbą parzystą,
(c) (m, n) ∈ R ⇐⇒ m ¬ n,
(d) (m, n) ∈ R ⇐⇒ max m, n = 3,
(e) relacja R to relacja pusta ∅ ⊂ Z × Z,
(f) relacja R to relacja pełna R = Z × Z.
2. Niech {1, 2} × {1, 2} ⊃ R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}.
(a) Znajdź R2 , R3 i R4 .
(b) Wypisz elementy domknięcia relacji R.
(c) Czy relacja R jest przechodnia?
3. Niech R1 , R2 będą relacjami dwuargumentowymi w zbiorze S.
(a) Pokaż, że relacja R1 ∪ R2 jest przeciwzwrotna, jeżli R1 i R2 są przeciwzwrotne.
(b) Pokaż, że relacja R1 ∩ R2 jest przechodnia, jeśli R1 i R2 są przechodnie.
4. Niech R będzie relacją dwuargumentową w zbiorze S.
(a) Udowodnij, że R jest relacją symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy R = R−1 .
(b) Udowodnij, że R jest relacją antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩ R−1 ⊂ E, gdzie
E := {(x, x) : x ∈ S}.
5. Proszę zapoznać się z zagadnieniem wieży z Hanoi i znaleźć wzór na liczbę ruchów potrzebnych
do przełożenia n krążków z jednego pręta na drugi w postaciach:
(a) rekurencyjnej,
(b) jawnej (czyli rozwiązać rekurencję).
6. Znajdź najkrótszą sekwencję ruchów przekładających wieżę n krążków z lewego pręta A na prawy pręt B, jeśli bezpośrednie ruchy między A i B są zabronione. (Każdy ruch musi dotyczyć
środkowego pręta.)
7. Pokaż, że podczas przenoszenia wieży z ograniczeniami z poprzedniego zadania napotkamy każde
dopuszczalne ułożenie krążków na 3 prętach.
Michał Piróg
e-mail: [email protected]
telefon: +48 12 664 4805
pokój: D-2-19
konsultacje: środa, 08:00 - 09:30