Konspekt wykładu ELiTM 4 Relacje K.Junosza

Konspekt wykładu ELiTM 4 Relacje
K.Junosza-Szaniawski, A.Pilitowska
Niech X będzie zbiorem.
Definicja 1 Relację R ⊆ X × X nazywamy:
• zwrotną, jeśli ∀x ∈ X xRx. Relacjami zwrotnymi są np. =, ¬, |.
• symetryczną, jeśli ∀x, y ∈ X xRy ⇒ yRx. Relacjami symetrycznymi są np. =, ||.
• przechodnią, jeśli ∀x, y, z ∈ X xRy ∧ yRz ⇒ xRz. Relacjami przechodnimi są np. =, ¬.
• antysymetryczną, jeśli ∀x, y ∈ X xRy ∧ yRx ⇒ x = y. Relacjami antysymetrycznymi są np.
¬, ⊆.
• przeciwzwrotną, jeśli ∀x ∈ X ¬xRx. Relacjami antyzwrotnymi są np. ̸=, <.
• przeciwsymetryczną, jeśli ∀x, y ∈ X xRy ⇒ ¬yRx. Relacją przeciwsymetryczną jest np. <.
• spójną, jeśli ∀x, y ∈ X xRy ∨ yRx ∨ x = y. Relacjami spójnymi są np. <, ¬.
Definicja 2 Relacja R ⊆ X × X jest relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i
przechodnia.
Przykład 3 Przykładami relacji równoważności są:
1. Relacja równości =⊆ X × X, dla dowolnego zbioru X.
2. Relacja pełna R = X × X, dla dowolnego zbioru X.
3. Relacja ≡n ⊆ Z × Z przystawania modulo n ∈ N+ (z1 ≡n z2 ⇔ n|z1 − z2 ).
4. Relacja R ⊆ R × R taka, że xRy ⇔ ∃q ∈ Q x + q = y.
5. Niech X = {(a, b) | a = [a1 , . . . , an ], b = [b1 , . . . , bn ] ∈ Rn }. Relacja R ⊆ X × X taka, że
(a, b)R(c, d) ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , n} bi − ai = di − ci .
6. Niech X będzie zbiorem formuł rachunku zdań. Relacja R ⊆ X × X taka, że
αRβ ⇔ α ⇒ β i β ⇒ α są tautologiami.
Definicja 4 Niech ∼⊆ X × X będzie relacją równoważności i niech a ∈ X. Zbiór [a]∼ = {x ∈
X: x ∼ a} nazywamy klasą abstrakcji elementu a. Element a nazywamy reprezentantem klasy.
Jeżeli z kontekstu wynika jaką relację równoważności rozważamy, to zamiast [a]∼ będziemy czasami
pisać [a].
Własności klas abstrakcji relacji równoważności ∼⊆ X × X:
1. ∀a ∈ X a ∈ [a]∼
2. ∀a, b ∈ X b ∈ [a]∼ ⇒ a ∈ [b]∼
1
Konspekt wykładu ELiTM 4 Relacje
K.Junosza-Szaniawski, A.Pilitowska
3. ∀a, b ∈ X [a]∼ = [b]∼ ⇔ a ∼ b
4. ∀a, b ∈ X [a]∼ = [b]∼ ∨ [a]∼ ∩ [b]∼ = ∅
5.
∪
a∈X [a]∼
=X
Przykład 5 Niech X będzie zbiorem i niech a ∈ X.
1. [a]= = {x ∈ X: x = a} = {a}.
2. Niech R = X × X będzie relacją pełną. Wtedy [a]R = {x ∈ X: xRa} = X.
3. Niech X = Z. Wtedy [a]≡n = {x ∈ Z: x ≡n a} = {x ∈ Z: n|x − a} = {a + k · n: k ∈ Z}.
Definicja 6 Niech ∼ będzie relacją równoważności na zbiorze X. Zbiorem ilorazowym nazywamy
zbiór klas abstrakcji relacji ∼ i oznaczamy X/∼ .
Przykład 7 Z/≡n = {[0]≡n , [1]≡n , . . . , [n − 1]≡n }.
Twierdzenie 8 Niech {Ai : i ∈ I} będzie rodziną podzbiorów zbioru X taką, że:
1. ∀i ∈ I Ai ̸= ∅
2. ∀i, j ∈ I i ̸= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅
3.
∪
i∈I
Ai = X.
Wtedy istnieje relacja równoważności ∼ na zbiorze X taka, że X/∼ = {Ai : i ∈ I}.
Definicja 9 Niech X1 , . . . , Xn będą zbiorami i niech n ∈ N. Relacją n-arną nazywamy podzbiór
iloczynu kartezjańskiego R ⊆ X1 × . . . × Xn .
2