pobierz *

Autor : dr inż. Wiktor Bolek
1. Modele matematyczne obiektów liniowych
u(t)
Obiekt
Sterowania
y(t)
wielkość
sterująca
wielkość
wyjściowa
Obiekt dynamiczny jest to taki obiekt, którego wyjście y(t) zależy nie tylko od bieżącej
wartości sygnału sterującego u(t), ale także od historii sterowania czy inaczej mówiąc, od
stanu wewnętrznego.
Obiekt dynamiczny dokonuje na sygnale sterującym pewnej transformacji :
y(t) = A { u(t) }.
Obiekt nazywamy liniowym, jeżeli transformacja A spełnia zasadę superpozycji :
α , β ∈R u1 , u2 ∈L
A{αu1 (t ) + βu2 (t )} = αA{u1 (t )} + βA{u2 (t )}
2
Transformację A można opisać na trzy różne sposoby:
- równanie różniczkowe
n −1
y ( n ) ( t ) + ∑ pi y ( i ) ( t ) =
i=0
n −1
∑ ru
i
(i )
(t ) ,
i=0
warunki początkowe : y (i ) ( 0) = yi , dla i = 0,1,...,n-1.
- transmitancję
n −1
Y ( s)
=
U ( s)
∑rs
i
i
i =0
n −1
s + ∑ pi s
n
; zerowe warunki początkowe
i
i =0
- równanie stanu
Wektor stanu x ∈ Rn - opisuje stan obiektu w każdej chwili t.
x& (t ) = Ax(t ) + bu (t )
y (t ) = cx(t ) + du (t )
Wymiary macierzy dla obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (single input single
output SISO), są następujące : A [n x n] - macierz układu, b [1 x n] - macierz (wektor) wejść,
c [n x 1] - macierz (wektor) wyjść, d - skalar (macierz transmisyjna). Warunki początkowe
x T ( 0) = [x10 , x20 ,..., xn 0 ]
Uwaga :
Człon proporcjonalny jest opisany jako y(t) = d u(t), pozostałe macierze : A,b,c są
równe zero. W myśl definicji ten człon nie jest obiektem dynamicznym. Wyjście zależy tylko
od bieżących wartości na wejściu.
Opis obiektu przy pomocy wektora stanu czy równania różniczkowego jest ogólniejszy,
gdyż dopuszcza dowolne warunki początkowe.
2. Własności dynamiczne
Własności dynamiczne obiektów liniowych są określone przez położenie pierwiastków
równania charakterystycznego ψ(s) = 0.
Równanie charakterystyczne ma postać :
n −1
ψ ( s) = sn + ∑ pi si
- czyli mianownik transmitancji
i=0
Jeżeli obiekt jest opisany równaniem stanu, to
ψ ( s) = det( sI − A )
Pierwiastki równania charakterystycznego są jednocześnie wartościami własnymi
macierzy A. Obydwa przedstawione powyżej sformułowania są sobie równoważne.
Jedną z najważniejszych własności dynamicznych jest stabilność. Pod tym pojęciem
będziemy rozumieli zdolność obiektu do samodzielnego powracania do punktu równowagi.
Rozważmy układ autonomiczny (tzn. nie poddany zewnętrznym wymuszeniom). Jest on
opisany następującym równaniem :
x& = f (x) = Ax
Punktami równowagi takiego układu są wszystkie punkty przestrzeni fazowej x∈Rn, dla
których zmiany położenia mogą być zerowe, czyli
x& = 0 , co daje
Ax = 0.
Jeżeli det A ≠ 0, to istnieje tylko jeden punkt równowagi x = 0, gdyż wtedy to równanie ma
tylko jedno rozwiązanie. Gdy det A = 0, to układ ma nieskończenie wiele punktów
równowagi.
Zakładamy, że w chwili początkowej układ został wytrącony z punktu równowagi ,
czyli x(0) = x0 ≠ 0.
Obiekt nazywamy stabilnym, jeżeli dla dowolnej liczby ε>0 istnieje takie η>0, że jeżeli
punkt początkowy x0 znajduje się w kuli o promieniu ε, to trajektoria obiektu x(t) pozostanie
w kuli o promieniu η.
∧∨
ε >0η>0
x 0 < ε ⇒ x(t ) < η
Obiekt nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli
∧ lim x (t ) = 0
x 0 ∈R n
t →∞
Stabilność w małym otoczeniu punktu równowagi nazywać będziemy stabilnością
lokalną, a stabilność przy dowolnie dużych warunkach początkowych - stabilnością globalną.
Zwykle od układów sterowania wymaga się globalnej stabilności asymptotycznej.
x2
ε
η
x1
x0
2
3
1- obiekt stabilny asymptotycznie, 2- stabilny, ale nieasymptotycznie, 3- niestabilny
Warunki konieczne i dostateczne stabilności
Obiekt jest stabilny asymptotycznie, gdy pierwiastki równania charakterystycznego
(wartości własne macierzy A) mają ujemne części rzeczywiste.
Obiekt jest na granicy stabilności, jeżeli nie ma wartości własnych o dodatnich
częściach rzeczywistych oraz wszystkie wartości własne o zerowych częściach rzeczywistych
są jednokrotnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego.
Obiekt jest niestabilny, gdy posiada co najmniej jeden pierwiastek o dodatniej części
rzeczywistej.
Sposoby przejścia między różnymi opisami
Opis obiektu w przestrzeni stanów nie jest jednoznaczny, tj. różne zestawy macierzy A,
b, c mogą opisywać obiekt o tych samych własnościach. Powstaje pytanie jak wybrać wektor
stanu mając opis obiektu w postaci transmitancji. Istnieje kilka standardowych sposobów
przejścia, które pozwalają na uzyskanie tzw. kanonicznych postaci macierzy A, b, c (metoda
bezpośrednia, równoległa, iteracyjna). Weźmy obiekt opisany transmitancją :
rn −1 s n −1 + K + r1 s + r0
/⋅ s − n
Y ( s)
=
U ( s ) s n + p n −1 s n −1 + K + p1 s + p 0 /⋅ s − n
rn −1 s −1 + K + r1 s 1−n + r0 s − n
Y ( s)
=
U ( s ) 1 + p n −1 s −1 + K + p1 s 1−n + p 0 s − n
(
)
Y ( s) = rn −1s−1 +K + r1s1− n + r0 s− n ⋅ E ( s) , gdzie
E (s) =
1 + p n −1 s −1
(
U (s)
, czyli
+ K + p1 s 1− n + p 0 s − n
)
E ( s ) = U ( s ) − p n −1 s −1 + K + p1 s 1− n + p 0 s − n ⋅ E ( s ) .
Rysujemy schemat blokowy wewnętrznej struktury obiektu pamiętając, że mnożenie
przez s-1 oznacza całkowanie.
rn-1
rn-2
......
U(s)
E(s)
Y(s)
∫
xn
∫
...
xn-1
x2
∫
r0
x1
-pn-1
-pn-2
....
....
.....
-p0
Na poszczególne zmienne stanu xi (t) wybieramy wielkości :
E ( s)
sn − i +1
Po przejściu do dziedziny czasu otrzymuje się układ równań różniczkowych :
 x&1 (t ) = x2 (t )
 x& (t ) = x (t )
3
 2
L
 x& (t ) = x (t )
n
 n −1
 x&n (t ) = − p0 x1 (t ) − p1 x2 (t ) − K − pn −1 xn (t ) + u (t )
X i ( s) =
równanie wyjścia :
y (t ) = r0 x1 (t ) + r1 x 2 (t ) + K + rn−1 x n (t )
Wykorzystując zapis macierzowy :
1
0 L
0
 x&1 (t )   0
 x& (t )   0
0
1 L
0
 2  
 x&3 (t )   0
0
0 L
0

=
L
L L
L
 M  L
 x&n −1 (t )  0
0
0 L
0

 
 x&n (t )  − p0 − p1 − p2 L − pn − 2
  x1 (t )  0
  x (t )  0
  2   
  x3 (t )  0
⋅
 +   ⋅ u (t )
L   M  M
1   xn −1 (t ) 0
 
  
− pn −1   xn (t )  1
0
0
0
 x1 (t ) 
 x (t ) 
 2 
 x (t ) 
y (t ) = [r0 r1 r2 K rn − 2 rn −1 ]⋅  3 
 M 
 xn −1 (t )


 xn (t ) 
W ten sposób otrzymaliśmy jedną z postaci kanonicznych Brunowsky’ego - Luenbergera
macierzy A, b, c. Jest to tzw. postać kanoniczna dla sterowania. Stosując inny tok
postępowania można otrzymać tzw. postać kanoniczną dla obserwowania.
 0 0 0 L 0 − p0 
 r0 
1 0 0 L 0 − p 
 r 
2 

 1 
0 1 0 L 0
r 
− p3 
A=
b= 2 
 ;
L 
L L L L L
K
 0 0 0 L 0 − pn − 2 
rn − 2 


 
 0 0 0 L 1 − pn −1 
 rn −1 
c = [0 0 0 L 0 1]
Przejście odwrotne, tzn. z opisu przestrzeni stanów do transmitancji wykonuje się
następująco :
−1
Y ( s) = c ⋅ (sI − A ) ⋅ (b ⋅ U ( s) − x 0 ) + d ⋅ U ( s)
Przejście pomiędzy równaniem różniczkowym a transmitancją wykonuje się za
pomocą przekształcenia Laplace’a.