Rozkład QR. Rozkład QR Rozkład QR macierzy kwadrato

Z48: Algebra liniowa
Zagadnienie: Rozkłady macierzy LU, RU, SVD
Zadanie: Rozkład QR.
Rozkład QR
Rozkład QR macierzy kwadratowej A polega na tym aby macierz A zapisać w postaci iloczynu QR, gdzie macierz Q jest macierzą ortogonalną, a R
jest macierzą trójkątną górną. Przypominamy, że macierz Q o wyrazach rzeczywistych nazywamy ortogonalną, jeżeli spełnia warunek QQT = I. Macierze ortogonalne są macierzami izometrii liniowych. Gdy det Q = 1, to Q jest
obrotem, a gdy det Q = −1 można je zapisać jako złożenie obrotu i odbicia
symetrycznego (w R3 symetrii względem płaszczyzny). W praktyce należy
dobrać ciąg możliwie prostych przekształceń ortogonalnych Q1 , Q2 , . . . , Qk
takich , że
Qk Qk−1 . . . Q1 A
jest macierzą trójkątną górną. W kolejnych przekształceniach tak dobieramy
macierz Qi aby zwiększać ilość zer pod przekątną w stosunku do poprzedniej
macierzy. Rozkład QR można uzyskać stosując różne algorytmy zależne od
wyboru przekształceń Qi . Jeżeli założymy, że macierz A jest nieosobliwa i że
na przekątnej macierzy R są wyrazy dodatnie, to rozkład jest jednoznaczny,
a więc nie zależy od wyboru algorytmu. Podobne przedstawienie można
uzyskać dla macierzy A o wyrazach zespolonych, ale wtedy o macierzy Q
zakładamy, że jest macierzą unitarną.
Metoda Grama-Schmidta
Jeden ze sposobów uzyskania rozkładu QR oparty jest na metodzie ortogonalizacji Grama-Schmidta używanej tradycyjnie do tworzenia bazy ortogonalnej startując z dowolnej bazy. Niech A = [a1 , · · · , an ]. Definiujemy
rekurencyjnie ciągi (ui ) oraz (yi )
u1 = a1 ,
k
uk = a −
y1 =
k−1
X
u1
,
ku1 k
hyj , aj i yj ,
yk =
j=1
dla k = 2, . . . , n. Wtedy
ak =
k
X
hyj , yk iyj
j=1
1
uk
kuk k
dla k = 1, . . . , n oraz A = QR, gdzie Q = [y1 , · · · , yn ] oraz




R=
hy1 , a1 i hy1 , a2 i . . . hy1 , an i
0
hy2 , a2 i . . . hy2 , an i
................................
0
0
. . . hyn , an i
2



.
