1. Przypuśćmy, że możemy obserwować dwa stany pogody

1. Przypuśćmy, że możemy obserwować dwa stany pogody „deszcz” – pierwszy stan i
„słońce” – drugi stan. Macierz przejścia jest następująca
P=
[
0.7
0.4
0.3
0.6
]
a. określić typ macierzy
b. znaleźć rozwiązanie graniczne dla wektora stanów
- korzystając z π =πP ; πl T =1
- znajdując w Scilab przybliżenie macierzy ergodycznej.
2. Zagadnienie socjologiczne dotyczące struktury społeczeństwa. Społeczeństwo w
danym mieście można podzielić na trzy klasy społeczne: niższą, średnia i wyższą.
Przypuśćmy, że zawód (wykształcenie) dziecka jest zależny od zawodu
(wykształcenia) rodziców. Możliwości przejść między poszczególnymi klasami można
opisać przy pomocy macierzy przejścia:
[
0 . 45
P= 0 . 05
0 . 01
0 . 45
0 . 70
0 .50
0 . 10
0 . 25
0 . 49
]
a. przypuśćmy, że pewne miasto składa się ze 180 000 osób z klasy niższej, 570
000 osób z klasy średniej, 210 000 osób z klasy wyższej. Jak będzie wyglądała
struktura ludności za 2 lata? Za 5?
b. Jaka będzie struktura społeczeństwa w bardzo długim horyzoncie czasowym?
korzystając z π =πP ; πl T =1 oraz z Scilab
3. Przypuśćmy, że chcemy za pomocą łańcucha opisać dynamikę wielkości populacji
ryb. Mamy cztery stany ”wyginięcie”, „mała”, „średnia” i „duży” stan ryb. Macierz
przejścia jest następująca:
[
1
0. 2
P=
0 .05
0
0
0
0
0 . 4 0 . 3 0 .1
0. 3 0 . 3 0 . 35
0. 05 0 . 15 0 .80
]
Przypuśćmy, że początkowo populacja znajduje się w „dużym” stanie
Jakie są p-stwa stanów po 1 okresie? Po 5? W długim horyzoncie czasowym?
4. Nowe przedsiębiorstwo realizuje inwestycje nie dłużej niż w ciągu 4 lat, przy czym
nie wszystkie rozpoczęto jednocześnie, a każda zakończona inwestycja powoduje
rozpoczęcie następnej. Poziom wykonania danej inwestycji w danym roku zaliczamy
do jednej z 5 możliwych klas 1, 2, 3, 4, 5 zależnie od tego, czy wykonano co najmniej
25%, od 25% do 50%, od 50% do 75%, od 75% do 99% oraz 100%. Proces
wykańczania inwestycji można opisać następująca macierzą przejścia w ciągu jednego
roku.
[
0 .1 0 . 8 0 .1
0
0
0 0.1 0.7 0.2 0
P= 0
0 0 .1 0 . 5 0 . 4
0
0
0 0.1 0.9
1
0
0
0
0
-
]
znajdując w Scilab przybliżenie macierzy ergodycznej.
5. Przykład z wykładu
Macierz przejścia
[
1,0 0
0
0,3 0,4 0,3
P=
0 0,3 0,4
0
0
0
0
0
0,3
1,0
]
Warunki początkowe π  0 =[ 0
0,6
0,4
0] ;
a. Określić p-stwa stanów po jednym kroku, dwóch oraz pięciu.
b. Znaleźć rozkład graniczny
 n
 0
- Metodą iteracyjną
π =π P n
- wykorzystując własność π =π  0  E