Wykład 4 - E-SGH

Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Wykład 4
Dwuwymiarowa zmienna losowa cd.
Jacek Kłopotowski
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
14 marca 2011
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Funkcję h : X → R, gdzie X ∈ B(R2 ), nazywamy funkcją
borelowską dwóch zmiennych wtedy i tylko wtedy, gdy
h−1 (B) ∈ B(R2 ) dla każdego B ∈ B(R).
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Funkcję h : X → R, gdzie X ∈ B(R2 ), nazywamy funkcją
borelowską dwóch zmiennych wtedy i tylko wtedy, gdy
h−1 (B) ∈ B(R2 ) dla każdego B ∈ B(R).
Twierdzenie
Jeśli X = (X1 , X2 ) jest dwuwymiarową zmienną losową, h jest
funkcją borelowską, to Y = h(X1 , X2 ) jest jednowymiarową zmienną
losową.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Twierdzenie
Niech Y = h(X1 , X2 ) będzie funkcją zmiennej losowej (X1 , X2 ).
a) Jeśli zmienna losowa (X1 , X2 ) ma rozkład czysto skokowy o
(j) (k)
funkcji prawdopodobieństwa p(x1 , x2 ) = pjk , to
E Y = Eh(X1 , X2 ) =
XX
j
(j)
(k)
h(x1 , x2 )pjk .
k
b) Jeśli zmienna losowa (X1 , X2 ) ma rozkład absolutnie ciągły o
funkcji gęstości f , to
ˆ ∞ˆ ∞
E Y = Eh(X1 , X2 ) =
h(x1 , x2 )f (x1 , x2 )dx1 dx2 .
−∞
Jacek Kłopotowski
−∞
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Najważniejszy w zastosowaniach przypadek tego twierdzenia
dotyczy funkcji
h(x1 , x2 ) = (x1 − a1 )r · (x2 − a2 )s ,
gdzie r i s są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz a1 , a2 ∈ R.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Momentem zwykłym mieszanym rzędu r + s dwuwymiarowej
zmiennej losowej (X1 , X2 ) nazywamy liczbę mrs = E (X1r · X2s ).
W szczególności dla r = 1 i s = 0 mamy m10 = E (X11 · X20 ) = EX1 .
Oznaczenie to jest poprawne, gdyż jak łatwo można sprawdzić, m10
jest wartością oczekiwaną zmiennej X1 w rozkładzie brzegowym.
Analogicznie m01 = E (X10 · X21 ) = EX2 .
Definicja
Momentem centralnym mieszanym rzędu r + s dwuwymiarowej
zmiennej losowej (X1 , X2 ) nazywamy liczbę
µrs = E ((X1 − m10 )r · (X2 − m01 )s ) .
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Momenty centralne rzędu drugiego są odpowiednio równe:
a) moment rzędu 1 + 1:
µ11 = E ((X1 − m10 )(X2 − m01 )) = E ((X1 − EX1 )(X2 − EX 2 )) ,
b) moment rzędu 2 + 0:
µ20 = E (X1 − m10 )2 (X2 − m01 )0 = E (X1 − EX1 )2 = D 2 X1 ,
c) moment rzedu 0 + 2:
µ02 = E (X1 − m10 )0 (X2 − m01 )2 = E (X2 − EX2 )2 = D 2 X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Moment rzędu 1 + 1 nazywamy kowariancją zmiennych losowych
X1 , X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Moment rzędu 1 + 1 nazywamy kowariancją zmiennych losowych
X1 , X2 .
Kowariancję zmiennych X1 , X2 oznaczamy symbolem cov(X1 , X2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Moment rzędu 1 + 1 nazywamy kowariancją zmiennych losowych
X1 , X2 .
Kowariancję zmiennych X1 , X2 oznaczamy symbolem cov(X1 , X2 ).
Twierdzenie (własności kowariancji)
Załóżmy, że istnieje kowariancja cov(X1 , X2 ), wówczas:
a) cov(X1 , X2 ) = m11 − m10 m01 ;
b) jeśli X1 , X2 są niezależne, to cov(X1 , X2 ) = 0.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Moment rzędu 1 + 1 nazywamy kowariancją zmiennych losowych
X1 , X2 .
Kowariancję zmiennych X1 , X2 oznaczamy symbolem cov(X1 , X2 ).
Twierdzenie (własności kowariancji)
Załóżmy, że istnieje kowariancja cov(X1 , X2 ), wówczas:
a) cov(X1 , X2 ) = m11 − m10 m01 ;
b) jeśli X1 , X2 są niezależne, to cov(X1 , X2 ) = 0.
Uwaga
Z warunku cov(X1 , X2 ) = 0 nie wynika niezależność zmiennych X1 ,
X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X1 , X2 nazywamy
liczbę
cov(X1 , X2 )
,
ρ(X1 , X2 ) =
DX1 · DX2
gdzie DX1 , DX2 oznaczają odchylenia standardowe zmiennych X1 ,
X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Twierdzenie (własności współczynnika korelacji)
Załóżmy, że istnieje współczynnik korelacji ρ(X1 , X2 ), wówczas:
a) |ρ(X1 , X2 )| ≤ 1;
b) jeśli X1 , X2 są niezależne, to ρ(X1 , X2 ) = 0;
c) |ρ(X1 , X2 )| = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby
rzeczywiste a, b takie, że P(X2 = aX1 + b) = 1.
Jeśli ρ(X1 , X2 ) = 0, to mówimy również, że zmienne X1 , X2 są
nieskorelowane.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Przykład
Wyznaczymy współczynnik korelacji zmiennych X1 , X2 , gdy
zmienna (X1 , X2 ) ma rozkład określony tabelką
X1
−1 0
2
X2
0
1
Jacek Kłopotowski
4
12
3
12
0
1
12
Wykład 4
3
12
1
12
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Przykład
Wyznaczymy współczynnik korelacji zmiennych X1 , X2 , gdy
zmienna (X1 , X2 ) ma rozkład absolutnie ciągły o funkcji gęstości
(
1
2 dla (x1 , x2 ) ∈ D,
f (x1 , x2 ) =
0 dla (x1 , x2 ) ∈
/ D.
gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach A(0, 0), B(2, 0), C (0, 2).
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Macierzą kowariancji (lub macierzą wariancji i kowariancji)
dwuwymiarowej zmiennej losowej X = (X1 , X2 ) nazywamy macierz
kwadratową
D 2 X1
cov (X1 , X2 )
.
cov (X1 , X2 )
D 2 X2
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Definicja
Macierzą kowariancji (lub macierzą wariancji i kowariancji)
dwuwymiarowej zmiennej losowej X = (X1 , X2 ) nazywamy macierz
kwadratową
D 2 X1
cov (X1 , X2 )
.
cov (X1 , X2 )
D 2 X2
Twierdzenie
Macierz kowariancji jest nieujemnie określona.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Uwaga
Jeśli σ1 > 0 i σ2 > 0, to macierz kowariancji zmiennej X = (X1 , X2 )
możemy zapisać również w postaci
σ12
σ1 σ2 ρ
,
σ1 σ2 ρ
σ22
gdzie σ12 = D 2 X1 , σ22 = D 2 X2 , σ1 = DX1 , σ2 = DX2 ,
ρ = ρ (X1 , X2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Przykład
Funkcję gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej X = (X1 , X2 ) o
rozkładzie normalnym można zapisać w postaci
1
√
exp − 12 (x − m)T A−1 (x − m) ,
2π det A
m1
EX1
x1
gdzie A jest macierzą kowariancji, x =
,m=
=
.
x2
m2
EX2
f (x1 , x2 ) =
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Twierdzenie
Niech f będzie funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa
skoncentrowanego na zbiorze normalnym D dwuwymiarowej
zmiennej losowej X = (X1 , X2 ). Jeśli odwzorowanie H : D → H(D)
jest różnowartościowe i różniczkowalne w sposób ciągły,
det H 0 (x1 , x2 ) 6= 0 dla (x1 , x2 ) ∈ D, to dwuwymiarowa zmienna
losowa Y = H(X) ma rozkład o funkcji gęstości
g (y1 , y2 ) =
f (H −1 (y1 , y2 )) det(H −1 )0 (y1 , y2 ) dla (y1 , y2 ) ∈ H(D),
=
0
dla (y1 , y2 ) ∈
/ H(D),
gdzie H −1 oznacza odwzorowanie odwrotne do odwzorowania H.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Przykład
Zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład normalny o funkcji
gęstości określonej wzorem
1
exp − 21 (x12 + x22 ) .
f (x1 , x2 ) = 2π
Wyznaczymy rozkład zmiennej Y = (X1 + X2 , X1 − X2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Niech h będzie funkcją dwóch zmiennych przyjmującą wartości
rzeczywiste. Rozkład jednowymiarowej zmiennej Y = h(X1 , X2 )
możemy wyznaczyć następująco. Określamy odwzorowanie
H : R2 → R2 wzorem H(x1 , x2 ) = (h(x1 , x2 ), x2 ). Wyznaczamy
rozkład zmiennej
(Y1 , Y2 ) = H(X1 , X2 ) = (h(x1 , x2 ), x2 ),
a następnie rozkład brzegowy zmiennej Y1 = h(X1 , X2 ).
Przykład
X1
, gdzie X1 , X2 są
X2
niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
normalnym N(0, 1).
Wyznaczymy rozkład zmiennej Y =
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Ważnym w zastosowaniach przypadkiem jest rozkład sumy
Y = X1 + X2 dwóch niezależnych zmiennych losowych. Niech f1 , f2
będą funkcjami gęstości odpowiednio zmiennych X1 , X2 . Zmienna
X = (X1 , X2 ) ma rozkład o funkcji gęstości f (x1 , x2 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ).
Odwzorowanie H określamy wzorem H (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x2 ).
−1
Mamy zatem
0 H (y1 , y2 ) = (y1 − y2 , y2 ) oraz
−1
(y1 , y2 )| = 1. Stąd otrzymujemy, że zmienna
| det H
Y1 = X1 + X2 ma rozkład o funkcji gęstości
ˆ ∞
g1 (y1 ) =
f1 (y1 − y2 )f2 (y2 )dy2 .
−∞
Określoną powyższym wzorem funkcję g1 nazywamy splotem
funkcji f1 i f2 . Splot funkcji oznaczamy symbolicznie przez f1 ∗ f2 .
Można wykazać, że splot jest działaniem łącznym i przemiennym.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Przykład
Wyznaczymy rozkład sumy X1 + X2 dwóch niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym z parametrem
λ > 0.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4
Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej
Rozkład funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej
Przykład
Wyznaczymy rozkład sumy X1 + X2 dwóch niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym z parametrem
λ > 0.
Przykład
Wyznaczymy rozkład sumy X1 + X2 dwóch niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym w przedziale h0, 1i.
Jacek Kłopotowski
Wykład 4