Pytania egzaminacyjne Algebra I r. astron. (2008)

Pytania egzaminacyjne Algebra I r. astron. (2008)
1. Równo±¢ zbiorów a równo±¢ ukªadów uporz¡dkowanych.
2. Dziaªanie wewn¦trzne denicja, przykªady. Czy iloczyn skalarny oraz
warto±¢ bezwzgl¦dna s¡ dziaªaniami wewn¦trznymi ?
3. Grupy, podgrupy, grupy przemienne denicja i przykªady.
4. Pier±cie«, pier±cie« przemienny, pier±cie« z jedynk¡ denicja i przykªady.
5. Denicja i przykªady ciaªa.
6. Izomorzm grup i pier±cieni.
7. Denicja macierzy.
8. Transpozycja i sprz¦»enie hermitowskie macierzy i iloczynu macierzy.
9. Macierze symetryczne, antysymetryczne, hermitowskie i antyhermitowskie
denicja i przykªady.
10. Udowodnij, »e (Mm,n (K), +) jest grup¡.
11. Mno»enie macierzy denicja i wªasno±ci.
12. Udowodnij, »e (Mn,n (K), +, ·) jest pier±cieniem.
13. Rekurencyjna denicja wyznacznika i jej zastosowanie do macierzy trzeciego stopnia.
14. Denicja aksjomatyczna wyznacznika.
15. Kiedy wyznacznik macierzy jest równy zero ?
16. Wyznacznik macierzy transponowanej, macierzy sprz¦»onej hermitowsko
i iloczynu macierzy.
17. Operacje elementarne i ich macierze.
18. Redukcja macierzy do postaci trójk¡tnej jako sposób obliczania wyznacznika.
19. Denicja i warunek istnienia macierzy odwrotnej.
20. Macierze odwrotne do elementarnych.
21. Podaj i udowodnij wzór dla odwrotno±ci iloczynu macierzy.
22. Wymie« sposoby obliczania macierzy odwrotnej.
1
23. Posta¢ zredukowana i posta¢ caªkowicie zredukowana macierzy. Rz¡d macierzy.
24. Zdeniuj ukªady Cramera i wyprowad¹ wzór na ich rozwi¡zania.
25. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
26. Jak¡ struktur¦ algebraiczn¡ tworzy zbiór wielomianów nad ciaªem K z
dodawaniem i mno»eniem ?
27. Dzielenie wielomianów.
28. Zasadnicze twierdzenie algebry.
29. Reguªa Kartezjusza.
30. Podaj denicj¦ i kilka przykªadów przestrzeni liniowej.
31. Podprzestrze« przestrzeni liniowej denicja i przykªady.
32. Udowodnij, »e ukªad wektorów liniowo niezale»nych nie mo»e zawiera¢
wektora zerowego.
33. Warto±¢ wyznacznika Wro«skiego jako kryterium niezale»no±ci liniowej.
34. Denicja bazy i jej zwi¡zek z wymiarem przestrzeni liniowej.
35. Co to jest forma dwuliniowa.
36. Macierz formy dwuliniowej; formy symetryczne, antysymetryczne, alternuj¡ce i hermitowskie.
37. Iloczyn skalarny i norma denicja i przykªady.
38. Udowodnij, »e w n-wymiarowej przestrzeni liniowej zbiór n wzajemnie
ortogonalnych wektorów jest liniowo niezale»ny.
2