Pytania egzaminacyjne Algebra I r. astron. (2004)

Pytania egzaminacyjne Algebra I r. astron. (2004)
1. Równo±¢ zbiorów a równo±¢ ukªadów uporz¡dkowanych.
2. Dziaªanie wewn¦trzne i zewn¦trzne denicja i przykªady.
3. Grupy, podgrupy, grupy przemienne denicja i przykªady.
4. Pier±cie«, pier±cie« przemienny, pier±cie« z jedynk¡ denicja i przykªady.
5. Denicja i przykªady ciaªa.
6. Izomorzm grup i pier±cieni.
7. Denicja macierzy.
8. Transpozycja i sprz¦»enie hermitowskie macierzy i iloczynu macierzy.
9. Macierze symetryczne, antysymetryczne, hermitowskie i antyhermitowskie
denicja i przykªady.
10. Udowodnij, »e (Mm,n (K), +) jest grup¡.
11. Mno»enie macierzy denicja i wªasno±ci.
12. Udowodnij, »e (Mn,n (K), +, ·) jest pier±cieniem.
13. Rekurencyjna denicja wyznacznika i jej zastosowanie do macierzy trzeciego stopnia.
14. Denicja aksjomatyczna wyznacznika.
15. Kiedy wyznacznik macierzy jest równy zero ?
16. Wyznacznik iloczynu macierzy, macierzy transponowanej i macierzy sprz¦»onej hermitowsko.
17. Operacje elementarne i ich macierze.
18. Redukcja macierzy do postaci trójk¡tnej jako sposób obliczania wyznacznika.
19. Denicja i warunek istnienia macierzy odwrotnej.
20. Podaj i udowodnij wzór dla odwrotno±ci iloczynu macierzy.
21. Krótki opis sposobów oblicznania macierzy odwrotnej.
22. Posta¢ zredukowana i posta¢ caªkowicie zredukowana macierzy. Rz¡d macierzy.
1
23. Zdeniuj ukªady Cramera i wyprowad¹ wzór na ich rozwi¡zania.
24. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
25. Udowodnij, »e wielomiany nad ciaªem K tworz¡ pier±cie«.
26. Dzielenie wielomianów.
27. Zasadnicze twierdzenie algebry.
28. Reguªa Kartezjusza.
29. Kiedy wielomian jest podzielny przez dwumian ? Podaj dowód.
30. Ró»nice mi¦dzy faktoryzacj¡ wielomianów nad ciaªami liczb rzeczywistych
i zespolonych.
31. Denicja i zastosowanie rugownika.
32. Podaj denicj¦ i kilka przykªadów przestrzeni liniowej.
33. Podprzestrze« przestrzeni liniowej denicja i przykªady.
34. Udowodnij, »e ukªad wektorów liniowo niezale»nych nie mo»e zawiera¢
wektora zerowego.
35. Warto±¢ wyznacznika Wro«skiego jako kryterium niezale»no±ci liniowej.
36. Denicja bazy i jej zwi¡zek z wymiarem przestrzeni liniowej.
37. Co to jest forma dwuliniowa.
38. Macierz formy dwuliniowej; formy symetryczne, antysymetryczne, alternuj¡ce i hermitowskie.
39. Iloczyn skalarny i norma denicja i przykªady.
40. Co to jest baza ortonormalna i jak j¡ otrzymujemy z bazy dowolnej.
41. Co to jest przeksztaªcenie liniowe i kiedy nazywamy je automorzmem ?
42. Co to s¡ macierze ortogonalne i na czym polega ró»nica mi¦dzy grup¡
O(n) a SO(n) ?
43. Zagadnienie wªasne macierzy.
2