Ćwiczenia z analizy numerycznej

Ćwiczenia z analizy numerycznej
dla II roku informatyki magisterskiej
lista 9 - 18 grudnia 2003
Temat: Aproksymacja średniokwadratowa oraz zadania powtórkowe
Zadania powtórkowe
1. Niech a = rd(a) > 0, b = rd(b) > 0. Z jakim błędem względnym w zmiennopozycyjnej
arytmetyce f l są obliczone wyrażenia c = a − b, d = (a − b)(a + b), e = a2 − b2 ? Co
będzie jeśli a i b są bliskie?
2. Niech ã = a(1 + α) i niech b̃ = b(1 + β). Wyrazić błędy względne
f l(ã − b̃)
,
a−b
f l(ã2 − b̃2 )
a2 − b2
za pomocą α, β i błędów powstałych w trakcie wykonywania obliczeń w arytmetyce f l
i ocenić ich wielkość. Co będzie jeśli a i b są bliskie? Podobną analizę przeprowadzić dla
pozostałego wyrażenia z poprzedniego zadania.
3. Ile cyfr binarnych ma mantysa liczby typu single w standardzie IEEE? Jak reprezentowane są w tym typie dodatnie liczby zdenormalizowane (subnormalne) i gdzie one leżą
na osi Ox?
4. Napisać schemat algorytmu rozwiązywania za pomocą eliminacji Gaussa układu równań
liniowych o macierzy układu trójprzekątniowej.
5. Promień spektralny ρ(A) macierzy kwadratowej A jest zdefiniowany jako największy
moduł jej wartości własnych λj . Czy prawdą jest, że ρ(A) ¬ ||A||∞ i ρ(A) ¬ ||A||2 ?
6. Co wystarczy założyć o normie macierzy A, żeby istniała macierz odwrotna (I + A)−1 ?
Udowodnić, że wówczas
1
1
¬ ||(I + A)−1 || ¬
.
1 + ||A||
1 − ||A||
Niech istnieje macierz odwrotna (I + A)−1 . Czy macierz A może mieć zerową wartość
własną?
7. Wyznaczyć wskaźniki uwarunkowania macierzy o elementach a11 = 1, a12 = 2, a21 =
3, a22 = 7 we względu na normy macierzy indukowane przez normy wektora l1 , l2 i l∞ .
8. Udowodnić, że ciąg
xk+2 =
xk
1 + x2k
jest zbieżny dla dowolnego x0 . Co jest granicą tego ciągu? Jak szybka jest ta zbieźność?
9. Czy istnieje wielomian w(x) stopnia ¬ 3 przyjmujący wartości
w(a) = f (a), w′′ (a) = f ′′ (a),
w(b) = f (b), w′′ (b) = f ′′ (b),
gdzie wartości funkcji f i jej drugiej pochodnej są dane na końcach przedziału [a, b].
Jeśli taki wielomian istnieje, to czy jest jednoznaczny?
1
10. Niech wielomian w(x) stopnia ¬ 2 interpoluje dunkcję sinus na końcach przedziału
[0, π/6] i w środku tego przedziału. Oszacować resztę. To samo wykonać dla przedzialu
[π/6, π/2].
11. Funkcję f (x) = sin (πx/2) interpolujemy na przedziale [0, 1] wielomianem interpolacyjnym Hermite’a w(x) stopnia ¬ 3 z dwoma (podwójnymi) węzłami interpolacji x0 = 0 i
x1 = 1 (zadane są wartości funkcji i pierwszej pochodnej w tych węzłach). Oszacować
max f (x) − w(x)
x∈[a,b]
na podprzedziałach [a, b]: [0, 1/4], [1/4, 3/4],
padku reszta wyraża się następującym wzorem
[3/4, 1]. Przypomienie. W tym przy-
f (4) (ξx )
(x − x0 )2 (x − x1 )2 .
4!
Aproksymacja średniokwadratowa
1. Wyznaczyć trzy pierwsze wielomiany ortogonalne p0 , p1 , p2 na zbiorze punktów S =
{−1, 0, 1}, czyli ortogonalne względem iloczynu skalarnego
< f, g >= f (−1)g(−1) + f (0)g(0) + f (1)g(1).
2. Wyznaczyć najlepszą aproksymację w sensie najmniejszych kwadratów funkcji f o wartościach f (−1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1 na zbiorze punktów {−1, 0, 1} za pomocą wielomianów stopnia ¬ 1 dwoma metodami (układ normalny, wielomiany ortogonalne).
3. Wyznaczyć najlepszą aproksymację g ∗ (x) = α∗ x2 + β ∗ w sensie najmniejszych kwadratów funkcji f takiej, że f (−1) = 0, f (0) = 1, f (1) = 2, na zbiorze punktów {−1, 0, 1}
za pomocą funkcji postaci g(x) = αx2 + β, tzn. rozwiązać następujący problem:
2
min f (−1) − g(−1)
α,β
2
+ f (0) − g(0)
2
+ f (1) − g(1)
Sformułować to zadanie w postaci macierzowej, tzn. wyznaczyć macierz A i wektor b
takie, że powyższe zadanie jest równoważne zadaniu
min ||Au − b||2 = ||Au∗ − b||2 .
u
gdzie u = [α, β]T i u∗ = [α∗ , β ∗ ]T . Uwaga. Rozwiązanie ostatniego problemu nazywamy rozwiązaniem w sensie najmniejszych kwadratów nadokreślonego układu równań
liniowych Au = b.
4. Wzorując się na końcowej części poprzedniego zadania, rozwiązać w sensie najmniejszych kwadratów nadokreślony układ równań liniowych
2x + 3y = 1,
x − 4y = −9,
2x − y = −1.
5. Wyznaczyć trzy pierwsze wielomiany ortogonalne (Legendre’a) względem iloczynu skalarnego
Z
1
< f, g >=
f (x)g(x)dx.
−1
2
6. Wyznaczyć najlepszą aproksymacje średniokwadratową funkcji ex na przedziale [0, 1] za
pomocą wielomianów stopnia ¬ 2 względem normy związanej z iloczynem skalarnym
< f, g >=
Z
1
f (x)g(x)dx.
0
Do obliczenia odpowiednich całek zastosować całkowanie przez części. Sprawdzić, że
całka nieoznaczona z funkcji x2 ex jest równa (x2 − 2x + 2)ex , a z funkcji xex jest równa
xex − ex .
7. (Powell) Niech f (x) = x2 i niech w∗ (x) = c∗0 +c∗1 x będzie wielomianem minimalizującym
całkę
Z
1
0
[f (x) − w(x)]2 dx,
w − wielomian stop ¬ 1.
Sprawdzić, że współczynniki c∗0 i c∗1 spełniają odpowiedni układ normalny i ||f ||2 =
||w∗ ||2 + ||f − w∗ ||2 .
8. (Powell, zadanie nadobowiązkowe) Funkcję f (x) = 2x − 1 na przedziale [0, 1] aproksymujemy za pomocą funkcji
g(x) =
n
X
ck cos (kπx),
k=0
x ∈ [0, 1].
Wyznaczyć najlepszą aproksymację średniokwadratową h∗ dla n = 1 (iloczyn skalarny:
całka na przedziale [0, 1] bez wagi). Zaproponować sposób wyboru n tak, by spełniony
był warunek
Z
1
0
[f (x) − h∗ (x)]2 dx < δ
na przykład dla δ = 10−4 ? Wskazówka. Rozważyć następujące zależności:
||f ||2 = ||h∗ ||2 + ||f − h∗ ||2 ,
||h∗ ||2 ­ ||f ||2 − δ 2 .
√
√
R
Uwaga. x cos x dx = cos x + x sin x. Wiadomo, że układ {T0 / 2, T1 , . . . , Tn−1 , Tn / 2}
jest ortonormalny względem iloczynu skalarnego
< f, g >=
n
2X
”f (xi )g(xi ),
n i=0
xi = cos
iπ
.
n
Uwaga. Symbol ” oznacza, że połowimy pierwszy i ostatni składnik. Czemu równa się
< Tn , Tn >? Pokazać, że wielomian, który najlepiej aproksymuje, w sensie dyskretnej
aproksymacji śedniokwadrtowej¡ funkcję f na zbiorze punktów {x0 , . . . , xn } jest równy
P
a0 /2 +
n−1
X
ak Tk ,
gdzie
ak =
n
X
”f (xi )Tk (xi ).
i=0
k=1
Niech n = 2. Wyznaczyć ten wielomian dla funkcji f (x) = x2 .
Krystyna Ziętak
3