1 Powtórka - równania i nierównosci wielomianowe

1
Powtórka - równania i nierówności wielomianowe
1. Naszkicować wykres funkcji
12 − 3x
a) f (x) = 3x − 2, b) f (x) = 12 x − 3, c) y = −2x + 1, d) y =
, e) 6x + 2y + 5 = 0,
6
1
2 − x, |x| ≥ −2
k (x − k) . x ∈ [k, k + 1) , k ∈ Z− {0} .
f)∗ f (x) =
, g)∗ f (x) =
2 − |x| , |x| < 2
0
x ∈ [0, 1)
2
2. Rozwia̧zać
równania a) |x − 2| = 3,
b) x − 16 = 9,
c) |x + 1| = |2x| ,
d)∗ |x + 4| = x.
a − x2 .
e)∗ |x + 1| =
3. Rozwia̧zać nierówność
a)
x−1
2−x
>
,
2
3
b)
2x + 3
− 2x x > (2 − x) (1 + x),
2
c) |x − 2| > 3,
d) |2x − 5| ≤ 3,
e) |x| > x − 1.
2
4. Rozwia̧zać równania, wykorzystuja̧c wzory skróconego mnożenia: a2 − b2 = (a − b) (a + b) , (a ± b) = a2 ± 2ab + b2 .
2
a) x2 + 4x + 4 = 0, b) x2 − 9 = 0, c) x2 + 2x + 1 = 4, d) (2x + 1) − 4 = 0,
5. Rozwia̧zać równania, wykorzystuja̧c wzory na pierwiastki równania kwadratowego
a) 5x + 2x2 − 3 = 0, b) x2 + x − 6 = 0, c) x2 − x − 72 = 0, d) 6x2 − 19x + 10 = 0,
e) −2x2 + 7x − 3 = 0, f) −6x2 − x + 1 = 0, g) x2 + 2x + 4 = 0, h) 4x2 + 12x + 9 = 0.
6. Rozwia̧zać równania wykorzystuja̧c spostrzeżenia, że a + b + c = 0 lub a − b + c = 0
a) 2x2 − 3x + 1 = 0, b) 6x2 − 19x + 13 = 0, √c) −4x2 − 3x√+ 1 = 0, d) 3x2 + 4x
√+1=
√0,
e) 2x − 7x + 5 = 0, f) 41 x2 + 34 x − 1 = 0, g) 3x2 + 2x − 3 − 2, h) −4x2 + 2x + 2 + 4
7. Naszkicować wykres funkcji
a) f (x) = x2 − 3x + 2,
e) f (x) = x2 + 2x + 3,
b) f (x) = 13x2 − 19x + 6, c) f (x) = x2 − 3x − 4, d) f (x) = x2 + 4x + 3.
f) f (x) = 3x2 − 6x + 7, g) f (x) = x2 − 3x − 4, h) f (x) = x2 + 4x + 3.
8. Rozwia̧zać równania: a) x2 − 4x = 0, b) x3 + 5x2 + 6x = 0, c) 4x4 − x2 = 0, d) x4 − 5x2 + 4 = 0.
9. Wykorzystuja̧c schemat Hornera wykonać dzielenie (bez reszty) wielominów
x3 − 7x − 6
x3 − 7x − 6
, b)
,
x+1
x−3
6x4 + 25x3 + 12x2 − 25x + 6
e)∗
,
(x + 2) (2x − 1)
a)
−x3 + 3x − 2
−4x3 + 12x2 − 5x − 6
, d)
,
x+2
x−2
x3 − 3x2 − 3x + 9
x5 + 6x4 + 14x3 + 16x2 + 9x + 2
√
, i)
.
f)∗
3
x− 3
(x + 1)
c)
10. Wykorzystuja̧c schemat Hornera wykonać dzielenie (z reszta̧) wielominów:
a)
x3 − 7x − 6
x3 − 7x − 6
, b)
,
x−1
x+3
c)
−x3 + 3x − 2
,
x−2
d)
−4x3 + 12x2 − 5x − 6
.
x+1
11. Wykorzystuja̧c schemat Hornera sprawdźić, która z liczb x ∈ {±1, ±2, ±4, ±8} jest pierwiastkiem wielomianu:
a) w (x) = x3 + 3x2 − 6x − 8,
b) w (x) = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x − 16 = 0, c) w (x) = x4 + x3 − 7x2 − 13x − 6
12. Rozlożyć na czynniki wielomiany:
a) w (x) = 2x2 − 5x − 3, b) w (x) = 26x − 5x2 − 5, c) w (x) = 6x3 + 11x + 19x2 − 6, d) w (x) = x4 − 5x2 − 36,
e) w (x) = x3 + 3x2 + 4x + 4, f) w (x) = 24x3 − 10x2 − 3x + 1,
h) w (x) = 3x3 + x2 + 3x + 1, i) w (x) = x3 + 3x2 − 3x − 9,
k)∗ w (x) = x5 + 6x4 + 14x3 + 16x2 + 9x + 2,
m)∗∗ w (x) = x4 − 6x2 + 25,
g) w (x) = x4 − 2x3 + 2x − 1,
j)∗ w (x) = 6x4 + 25x3 + 12x2 − 25x + 6,
l)∗ w (x) = x6 + 4x4 − 3x2 − 18,
n)∗∗ w (x) = x5 − 13x4 + 2x3 − 26x2 + x − 13.
13. Rozwia̧zać nierówność:
a) 4x2 − 9 > 0, b) 2x2 − 3x + 1 ≥ 0, c) x + 3x2 − 4 ≥ 0, d) x2 − 2x − 3 ≤ 0, e)
x+1
1
1
2x + 3
f)
> 0, g)
≤ , h)
− x > (2 − x) (1 − x) .
−x
x−2
x
2
1
2
3
> − x,
x
x
14. Rozwia̧zać nierówność:
a) x3 − 4x > 0,
b) x3 + 6x2 + 9x ≥ 0,
e) −x3 + 3x2 − 4x + 4 ≤ 0,
h) 3x3 + x2 + 3x + 1 ≥ 0,
c) x3 − 2x2 − 5x + 6 < 0, d) x6 − 2x3 + 1 ≤ 0,
f) 24x3 + 10x2 − 3x − 1 ≥ 0,
g) w (x) = 1 − 2x + 2x3 − x4 < 0,
j)∗ 6x4 − 25x3 + 12x2 + 25x + 6 > 0.
i) −x3 + 3x2 + 3x − 9 < 0,
15. Rozwia̧zać nierówność
1
2
2x
−3
3x − 1
2
a)
≤ , b)
+
> 0, c) 2
>
,
x−2
x
x−1 x+2
x −4
x+2
2
(x + 1) (x − 3) x2 − 9
1
x + 27
e)
≤ 0, f)
+4>
,
x2 − 4
x+2
x + x2 + 2
2
d)
x−3
4x
>
.
x
x−3
g)
48x + 82
70
+
2 ≥ 0.
x2 − 4
(x − 2)
Funkcje trygonometryczne, cyklometryczne, wykladnicze i logarytmiczne
1. Wyznaczyć wartości funkcji sin x, cos x, tg x, ctg x dla
−π
3
5
13
29
π
, c) x = π, d) x = π,
e) x =
π, f) x = − π,
a) x = , b) x =
3
4
2
6
4
6
2. Podać wartości wyrażeń
g)∗ x =
11
12 π,
π
h)∗ x = − .
8
√
√
1
1
3
c) arcsin −
− arccos , d) arcsin
− arctg 3,
2
2
2
arctan √13
arcsin −1
2 √ = 1.
= 2, g)
= − 14 , h)
arccos −1
arccot 3
2
a) arcsin 1 − arccos (−1) , b) arctg 1 + arcctg 1,
√
arctan 3
1 2
1
√
e) arcsin (−1) arccos 2 = − 6 π , f)
arccot 3
3. Naszkicować wykresy funkcji
a) f (x) = sin x + 1, b) f (x) = |cosx| , c) f (x) = |tg x| − 1, d) f (x) = sin x − 21 , e) y = |tg |x|| ,
π
f) y f (x) = 3 sin 2x, g) f (x) = sin |x| +
,
4
sin x
h)∗ f (x) = x sin x, i)∗ f (x) =
, j)∗ f (x) = sin2 x,
x+1
4. Rozwia̧zać równanie w zbiorze [−π, 2π]
x
1
, b) |cos 2x| = 1, c) tg = 1,
4
2
sin 3x = sin 4x, h)∗ cos x + sin x = 1.
a) sin2 x =
d) sin (x + π/2) = 0,
e) tg2
x
2
= 3, f) sin (x) cos x = 0,
5. Wykonać dzialania
−2
a) 33 (2 · 9)
√
270,5 3,
b)
2
−3
23 : 34 · 3−4 · 25
(33 :
3
26 )
· (2−3 ·
−2
34 )
√
8 · 64−1/3
c) √ 3 √
,
2 2 · 32 · 64−1
,
6. Rozwia̧zać równanie lub nierówność
√
a) 2x = 8, b) 32x−1 = 3, c) 4x − 17 · 2x + 16 < 0,
f) 4 · 2x−3 < 0.125 · 4x+3 ,
j)
ex − 7
< 3ex ,
ex − 3
g) 5x + 53−x < 30,
d)
d)∗
1
1
<
,
2x − 1
1 − 2x−1
h) 6x · 8x < 4 · 3x ,
n−6 −n+2
4
1
/
2
3
2−n n−1 .
2
5
33 ·
·
3
3
5−1 ·
e) 2x−4 =
i) e2x − 4ex − 12 < 0,
2x−5
f)∗ 23x · 7x−2 < 4x+1 , g)∗ (3 − x) 3−x < 1.
7. Naszkicować wykres funkcji
a) f (x) = 2x+1 , b) f (x) = −e1−x ,
8. Wykonać dzialania
√
a) log2 8 + log3 3 − log2 14 ,
b) ln 3 + ln 27 + 4 ln 13 , c) ln2 2 + ln2
d) 10 · 100 2 log 3−log 2 , e) 2log 3 25
1
c) f (x) = e−|x| , d) y = e2x , e) y = 1 − e1−x .
√
√
5
, f)∗
log26 3 + log6 16
.
log6 3 · log6 48 + log26 4
1
+ ln 2 · ln 12 ,
2
9. Naszkicować wykres funkcji
a) f (x) = log2 (x + 1) , b) f (x) = ln (1 − x) , c) f (x) = ln |x| , d) f (x) = |ln x| ,
e)∗ f (x) = ln 2x4 , f)∗ f (x) = |2 + ln (1 − |x|)| .
2
2
1 4−x
2
,
g)∗
10. Rozwia̧zać równanie lub nierówności
a) log2 x = 3, b) |log3 (x + 2)| = 9, c) ln x = 2 ln 3,
d) ln2 x < 1,
< −1.
e)∗ ln x2 + 5x > ln 6, f)∗ log1/2 2 log3 1 + log2 1 + log1/2 x
3
3
Funkcje, wlasności, skladanie, odwracanie
1. Zbadać wlasności funkcji, takie jak: parzystość, nieparzystość:
x+1
a) f (x) = x x2 + 2 ; b) f (x) =
; c) f (x) = sin4 x + ctg 2x · tg x;
x−1
ex − e−x
.
e) f (x) = x
e + e−x
d) f (x) =
1
2
(ex + e−x ) ;
2. Zbadać okresowość funkcji
a) f (x) = sin2 x;
b) f (x) = tan x2 ,
sin 2x
;
d) f (x) = tan 6x + cot 3x,
cos 3x
1
g) f (x) =
;
2x − [x]
e) f (x) = arccos x.
c) f (x) =
f) m (x) = x − [x] , gdzie [x] - calość z liczby;
3. Zbadać monotoniczność i różnowartościowość funkcji:
2−x
a) f (x) = 2−x+3 , b) f (x) = arctan x1 , c) f (x) =
,
2x + 1
−x
f) f (x) = ln (e + 1) .
4. Wyznaczyć dziedzinȩ funkcji:
x−1
x+1
,
a) f (x) = √
; b) f (x) = ln
x−1
x2 − 9 − 4
ln x
e) f (x) = 2
.
ln x − 4
d) f (x) = x3 − x,
arcsin 6x
c) f (x) = √
,
x2 − 4
5. Utworzyć funkcje zlożone h = f ◦ g, k = g√◦ f ◦ f dla funkcji:
a) f (x) = x2 + 1, g (x) = x1 , b) f (x) = x + 1, g (x) = ln x,
d) f (x) = 2x + 1, g (x) = sin (2x + 1) .
e) f (x) =
√
3
√
d) f (x) =
4−x
;
x ln x
c) f (x) = 1 − |x| , g (x) = |x + 1| ,
6. Podać przyk
√lady funkcji fw i fz , takich, że f = fz ◦ fw i
a) f (x) = x2 + 3 − 2; b) f (x) = ln x2 + 1 , c) f (x) = ln3 x,
√
x
f) f (x) = √
.
x+1
d) f (x) = e2x
2
+x+1
√
,
e) f (x) =
7. Wyznaczyć funkcje odwrotne do funkcji
c) f (x) = 2x+1 ,
d) f (x) = tan x − π4 , x ∈
a) f (x) = 3x + 5,
b) f (x) = x21+4 , x ≥ 0
√
2
e) f (x) = ln (2x − 3) + 1,
f) f (x) = (x − 4) − 9, x ≤ 4,
g) f (x) = 5 + x + 1;
4
x,
π 3π
4, 4
sin3 x,
,
4
Liczby i wielomiany zespolone
1. Wykonać dzialania na liczbach zespolonych.
2
2
2 − 4i 1 − i
2i − 3
, d)
·
,
3 + 2i
1+i 2+i
1+i
1−i
3 − 2i
2+i
h)∗ 2
+5
+5
+2
.
2−i
3−i
1 + 3i
1 + 2i
a) 2i+ 3−(2 − 3i) (i − 4)−(1 − 3i) , b) (1 − 2i) −(3 + i) (3 − 2i) , c)
2
f) (2 − i) −
1−i
2,
(1 + i)
g)∗ 1 −
√ 4
√ 4
3i − 1 + 3i ,
√
2. Podać modul i argument liczby tan π8 = 2 − 1
√
√
√
√
a) 3, b) −2, c) − 3i, d) 1 − i, e) 1 − i 3, f) − 2 − i 6,
g) −2 + 2i,
e)
1 + 2i 1 − i
−
i−2 2+i
p
p
√
√
√
h) 3 + i 3, i)* 2 + 2 + i 2 − 2.
3. Przedstawić liczby w potsaci: trygonometrycznej, wykladniczej i kartezjańskiej.
√ 10
107
∗ 5πi/12
a) (1 + i) − (1 − i) 3 (1 − i) ,
b) (i − 1) , c) cos 107
: eπi/12 ,
6 πi + i sin
6 π , d) e
f)∗
1+i
√ .
1+i 3
z+1
4. Wyznaczyć Re z, Im z, |z| , Re z1 , Im z1 , Re z−1
, Im z 2 − 2z + 1 , dla liczb
a) z =
1−i
2+i
1−i
. b) z = 2
−5
i.
2+i
i
3−i
5. Wyznaczyć pierwisatki kwadratowe liczb zespolonych:
p
√
√
√
√
√
√
√
√
a) 2i, b) −1. c) −9. d). −3 + 4i, e) −5 + 12i, f) 7 − 24i, g) 1 − i 3, h)∗ 1 − i.
√
√
√
√
√
6. Wyznaczyć pierwiastki różnych stopni z liczb zespolonych: a)∗ 3 1. b)∗ 3 −1. c)∗ 4 1. d)∗ 4 −i. e)∗ . 3 i.
7. Wyznaczyć pierwiastki zespolone trójmianów kwadratowych:
a) w (z) = z 2 + 5iz − 4 = 0,
b) w (z) = z 2 + (4 − 2i) z + 3 − 2i,
c) w (z) = z 2 − (2 − 3i) z − 6i,
d) w (z) = z 2 − (3 + 3i) z + 9i, e) w (z) = iz 2 + (1 + i) z + 1, f) w (z) = 2iz 2 + (3 − i) z + 2i − 2.
8. Wyznaczyć pierwiastki wielomianów zespolonych o wspólczynnikach rzeczywistych
a) w (z) = z 2 − 2z + 5. b) w (z) = z 4 + 5z 2 + 4. c) w (z) = z 3 − z 2 + z − 1. d). w (z) = z 4 − 6z 2 + 25.
9. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianów zespolonych
a)∗ w (z) = z 4 − (3 − 5i) z 2 − 3i − 4. b)∗ w (z) = z 3 − z 2 + (3 − i) z − 2 − 2i. c)∗ z 4 − (1 + i) z 3 + iz − i + 1.
10. Rozlóż na czynniki liniowe wielomiany zespolone
a) w (z) = 2iz 2 − 2z + 4i,
d) w (z) = z 4 + 4,
b) w (z) = −iz 2 − (1 + 4i) z − (2 + 4i) , c) w (z) = z 4 − 16,
e) w (z) = z 4 − 5z 2 − 36, f) w (z) = z 4 + 7z 2 + 12, g)∗ w (z) = z 3 + z − 10,
h)∗ w (z) = z 3 − (3 + 4i) z 2 − (4 − 12i) z + 12,
i)∗ w (z) = z 4 − (2 − 2i) z 3 − 4iz 2 + (2 + 2i) z − 1,
j)∗∗ w (z) = z 3 − (1 − i) z 2 + 8z − (8 − 8i) , k)∗∗ w (z) = z 3 + 2iz 2 + 5z + 6i, l)∗∗ w (z) = z 3 + 2iz + 4z + 8i,
m)∗∗ w (z) = z 4 − 2z 3 + 4z 2 − 4z + 4,
n)∗∗ w (z) = z 4 + 4z 3 + 8z 2 + 12z + 15
11. Na plaszczyżnie C zaznaczyć zbiory A ∪ B, jeżeli:
a) A = {z : |z − 2i| < 2} , B = {|z + 2| ≤ 2} ,
n o
(2+4i)(2+i)
, B = {z : Im (z + 3)} ,
≤
Re
b) A = z : z − (2+4i)(2+i)
3+i
3+i
c) A = {z : 1 ≤ |z| ≤ 4} , B = z : |arg z| ≤ π3 ,
d)∗ A = {z : |z − 1| + |z + 1| ≤ 4} , B = {z : |z − 1| − |z + 1| ≤ 4} ,
e)∗ A = {z : 2 ≤ |z − i| < 4} , B = {z : |z| < |z − 2i|} ,
z + 1
z+1
> 1 , B = z : Im z + 1 < 1 .
f)∗ A = z : Re
< 1 i z−1
z − 1
z−1
5
5
6
Odpowiedzi:
6.1
Powtórka - równania i nierówności wielomianowe
√
√ 1
2. a) x ∈ {5,
−1}
,
b)
x
∈
5,
−5,
, d) x ∈ ∅, e) x = −1, x = 2, x = 0.
7,
−
7
,
c)
x
∈
1,
−
3
7
3. a) 5 , ∞ , b) (4, ∞), c) (−∞, −1) ∪ (5, ∞), d) [1, 4] , e) R.
4. a) x = −2, b) x = 3, x = −3, c) x = −3, x = 1, d) x = 12 , x − 32 .
5. a) x = −3, x = 21 , b) x = −3, x = 2, c)x = −8, x = 9, d) x = 32 , x = 52 ,e) x = 12 , x = 3, f) − 12 , 13 , g) x ∈ ∅, h) c = − 32 .
√
1
1
2
6. a) x = 21 , x = 1, b) x = 1, x = 13
6 , c) x = −1, x = 4 , d) x = −1, x − 3 ,e) x = 1, f) x = −4, x = 1, g) x = 1, x = − 3 3 − 1,
√
h) x = −1, x = 41 2 + 1.
7. Rys.
8. a) x = 0, x = 4, b) x = −2, x = 0, x = −3, c) x = − 12 , x = 0, x = 12 , d) x = −1, x = −2, x = 1, x = 2.
9. a) x2 − x − 6, b) x2 + 3x + 2, c) −x2 + 2x√
− 1, d) −4x2√
+ 4x + 3.
∗
2
∗ 2
2
3−3 x−3 3
e) 3x + 8x − 3, f) x + 3x + 2, i) x +
12
4
15
12
, b) x2 − 3x − 2 − x+3
, c) −2x − x2 − 1 − x−2
, d) 16x − 4x2 − 21 + x+1
.
10. a) x + x2 − 6 − x−1
11. a) 2, −1, −4, b) 2, −4, c) 2, 3, −1.
12. a) w (x) = (2x + 1) (x − 3) , b)
w (x) = − (5x − 1) (x −5) , c) w (x) = (2x + 3) (3x − 1) (x + 2) ,
d) w (x) = (x + 3) (x − 3) x2 + 4 , e) w (x) = x2 + x + 2 (x + 2) , f) w (x) = (2x − 1) (3x + 1) (4x − 1) ,
3
g) w (x) = (x − 1) (x + 1) , h) w (x) = x2 + 1 (3x + 1) , i) w (x) = x2 − 3 (x + 3) ,
2 2
4
j)∗ w (x) = (x + 2) (x + 3) (2x − 1) (3x − 1) , k)∗ (x + 1) (x + 2) , l)∗ w (x) = x2 + 3
x −2 ,
2
m)∗∗ w (x) = x2 − 4x + 5 x2 + 4x + 5 , n)∗∗ w (x) = x2 + 1 (x − 13) .
13. a) −∞, − 23 ∪ 32 , ∞ , b) 12 , 4 , c) [1, ∞) ∪ −∞, 12 , d) (−1, 0) ∪ (1, ∞) , e) [1, ∞) ∪ −∞, − 34 , f) (−1, 0) , g) [−1, 3] ,
h) (0, 2) .
14. a) (−2, 0) ∪ (2, ∞) , b) [0, ∞) , c) (1, 3) ∪ (−∞, −2) , d) x ∈ ∅, e) (2, ∞) , f) − 21 , − 14 ∪ 13 , ∞ ,
√ √ 1
g) (−∞, −1) ∪ (1, ∞) , h) − 3 , ∞ , i) − 3, 3 ∪ (3, ∞) , j)∗ −∞, − 21 ∪ − 13 , 2 ∪ (3, ∞) ,
15 a) (0, 2) ∪ [4, ∞) , b) (1, ∞) ∪ (−∞, −2), c) √
(−3,
,
√∪ (2,∞), d) (−3, 0)3∪ (1, 3)
−2)
e) (−∞, −3] ∪ (−2, 2) , f) (−∞, −3) ∪ −2, − 3 ∪
3, ∞ , g) −2, − 2 ∪ 13 , 2 ∪ (2, ∞),
6.2
Funkcje trygonometryczne, cyklometryczne, wykladnicze i logarytmiczne
√
√
√
√
√
√
√
√
3, 21 , 3, 13 3, b) − 12 2, 12 2, −1, −1, c) −1, 0, nie istnieje, 0, d) 21 , − 21 3, − 31 3, − 3,
p
√
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
e) − 12 2, − 12 2, 1, 1, f) − 12 , − 12 3, 13 3, 3, g)∗ 42
3 − 1 , 42 − 3 − 1 , 3 − 2, − 3 − 2, h)∗ − 12 2 − 2,
p√
√
√
1
2 + 2, 1 − 2, − 2 − 1.
2
2. a) 12 π − π, b) 14 π + 14 π, c) − 16 π − 13 π, d) 13 π − 13 π, e) − 61 π 2 , f) 2, g) − 41 , h) 1.
1
5
7
11
1
1
3
1
1
3
1
1
3
2
2
4
4. a) − 56 π, −1
6 π, 6 π, 6 π, 6 π, 6 π, b) −π, − 2 π, 0, 2 π, π, 2 π, 2π, c) − 2 π, 2 π, 2 π, d) − 2 π, 2 π, 2 π, e) − 3 π, 3 π, 3 π, f)
π
π
3π
− 2 , 0, 2 , π, 2 , 2π,
−4
−2
2
4
6
8
10
12
1
1
3
∗
g)∗ 0, 2π, −6
7 π, 7 π, 7 π, 7π, 7 π, 7 π, 7 π, 7 π, 7 π, h) − 2 π, 0, 2 π, 2 π, 2π.
3
4 n
3
3
5. a) 4 , b) 2 · 3 = 216, c) 15 .
6. 3, b) 34 , c) (0, 4) d) (−∞, 0) ∪ (2 − log2 3, 1) , e) 0, 1, f)
(−4, ∞) , g) (1, 2) , h) (−∞, 1/2) , i) (−∞, ln 6)
j) (−∞, 0) ∪ ln 37 , ∞ , f)∗ (−∞, 2) , g)∗ (−∞, 2) ∪ 52 , 3 .
√
8. a) 3 + 21 + 2 = 5.5, b) 1, c) − ln2 2, d) 7.5, e) 4 8, f)∗ 1.
10. a) 8, b) 39 − 2, 3−9 − 2, c) 9, d) e, 1/e, e) (−∞, −6) ∪ (1, ∞) , f)∗ 0, 18 .
1. a)
1
2
7
Funkcje, wlasności, skladanie, odwracanie
1. a) nieparzysta; b) brak parzystyości i nieparzystaości; c) parzysta; d) parzysta; e) nieparzysta.
2. a) T = π; b) T = 2π; c) T = π ; d) T = π/3; e) brak okresowości, f) T = 1; g) funcja nieokresowa.
3. a) maleja̧ca, różnowartościowa, b) maleja̧ca przedzialami w (−∞, 0) i (0, ∞), różnowartościowa c) maleja̧ca przedzialami
w (−∞, −1/2) i (1/2, ∞), różnowartościowa d) niemonotoniczna i nieróżnowartościowa; e) rosna̧ca i róznowartościowa; f)
maleja̧ca i różnowartościowa.
4. a) Df = (−∞, −3i ∪ h3, ∞) − {−5, 5} ; b) Df = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ; c) Df = h−6, −4) ∪ (4, 6i ; d) 0, e−2 ∪ e2 , ∞ .
p√
√
1
5. a) h (x) = x12 + 1, k (x) = (x2 +1)
; b) h (x) = ln x + 1, k (x) = ln
x + 1 + 1; c) h (x) = 1 − |x + 1| , k (x) =
2
+1
|2 − |1 − |x||| ,
d) h (x) = sin (8x + 7) , k (x) =√2 sin (2x + 1) + 1.
6. a) fw (x) = x2 + 3, fz (x) = x − 2, b) fw (x) = x2 + 1, fz (x) = ln x; c) fw (x) = ln x, fz (x) = x3 ; d) fw (x) = 2x2 + x + 1,
fz (x) = ex ;
√
√
x
e) fw (x) = x3 , fz (x) = sin x, f) fz =
, g (x) = x.
x +q1
1
1
−1
7. a) f −1 (x) = 13 x − 35 , b) f −1 (x) =
(x) = log2 x − 1, d) f −1 (x) = π4 + arctan x, e)
x − 4, x ∈ 0, 4 , c) f
f −1 (x) = 12 ex−1 + 3 ,
√
2
f) f −1 (x) = 4 − 9 + x, x ≥ −9, g) f −1 (x) = (x − 5) − 1, x ≥ 5.
6
7.1
Liczby i wielomiany zespolone
√
5
1. a) 16 − 6i, b) −14 − i, c) − 13
+ 12
i, d) −2, e) − 15 − 25 i, f) 72 − 27 i, g)∗ 16i 3, h)∗ 52 − 13
13
2 i.
√
√
√
√
√
2. a) 3, 0, b) −2, π, c) 3, 32 π, d) 2, 34 π, e) 2, − 13 π, f) 2 2, 43 π, g) 8, 34 π, h) 2 3, 16 π i)* 2, 81 π.
√
√
π
11π
3. a) 2i 3+2 = 4e 3 i = 4 cos π3 + i sin π3 , b) −32i = 32eπi = 32 (cos π + i sin π) , c) 21 3− 12 i = e 6 = cos 11π
+i sin 11π
,
6
6
√
√
√
√ 1 √ −π
1
1
1
1
π
π
−π
−π
∗ 13 iπ
∗ 1
= 2 i 3 + 2 = cos 3 + i sin 3 , f) 4
d) e
3 + 1 + 4 i 1 − 3 = 2 2e 12 = 2 2 cos 12 + i sin 12 .
√
√
24
1
3
3
1
3
1
1
z+1
= − , Im z 2 − 2z + 1 =
2 5, Re z = , Im z1 = , Re z−1
4. a)∗ Re z = , Im z = − , |z| =
.
5
5
5
2
2
5
25
√
1
6
z+1
b)∗ Re z = 1, Im z = −6, |z| = 37, Re z1 =
, Im z1 =
, Re z−1
= 1 Im z 2 − 2z + 1 = 0.
37
37
√
√
√
√
√
±3i, d) −3 + 4i = ± (1 + 2i) , e) −5 + 12i = ± (2 + 3i) ,
5. a) 2i = ± (1 + i) , b) −1 = ±i, c) −9 = √
p
√
√
√
√
2 √
1 p√
1 p
∗
f) 7 − 24i = ± (4 − 3i) , g) 1 − i 3 = ±
3 − i , h)
1−i=±
2+2− i 2− 2 .
2
2
2n
o
√
√
√
√
√
√
√
√
1
1
∗ 3
∗ 4
∗ 4
∗ 3
1 = 1, 2 −1 ± i 3 , b)
−1 = 1, 2 1 ± i 3 . c)
1 = {±1, ±i} . d)
−i = 22 (1 ± i) , 22 (±1 + i) ,
6. a)
√
√
e)∗ 3 i = 21 ± 3 + i , −i .
7. a) ∆ = −9, z1 = i, z2 = 4i, b) ∆ = −8i, z1 = 1, z2 = 3 − 2i, c) ∆ = −5 + 12i, z1 = −3i, z2 = 2,
d) ∆ = −18i, z1 = 3i, z2 = 3, e) ∆ = −2i, z1 = i, z1 = 1, f) ∆ = 24 + 10i, z1 = − 21 + 12 i, z1 = −2i.
8. a) w (z) = z 2 − 2z + 5, ∆ = −16, z1,2 = 1 ± 2i, b) z1,2 = ±i, z3,4 = ±2i, c) z1 = 1, z2,3 = ±i, d) z1,2 = 2 ± i, z3,4 = −2 ± i.
9. a)∗ w (z) = z 4 − (3 − 5i) z 2 − 3i − 4. b)∗ w (z) = z 3 − z 2 + (3 − i) z − 2 − 2i. c)∗ z 4 − (1 + i) z 3 + iz − i + 1.
10. a) w (z) = 2i (z − i) (z + 2i) = 2iz 2 − 2z + 4i
b) w (z) = −i (z + 2) (z + 2 − i) = − (1 + 4i) z − iz 2 − (2 + 4i)
c) w (z) = z 4 − 16 = (z − 2) (z + 2) (z − 2i) (z + 2i)
d) w (z) = z 4 + 4 = (z − 1 − i) (z − 1 + i) (z + 1 + i) (z + 1 − i)
e) w (z) = (z − 3) (z + 3) (z − 2i) (z + 2i) = z 4 − 5z 2 − 36
√ √ f) w (z) = z 2 + 4 z 2 + 3 = z 4 + 7z 2 + 12 = (z − 2i) (z + 2i) z − i 3 z + i 3
g)∗ w (z) = (z − 2) (z + 1 − 2i) (z + 1 + 2i) = z 3 + z − 10
2
h)∗ w (z) = (z − 2i) (z − 3) = z 3 − (3 + 4i) z 2 − (4 − 12i) z + 12
2
2
2
3
4
i)∗ w (z) = (z + i) (z − 1) = (2
+ 2i) z − 4iz −2 (2 −3 2i) z + z − 1
∗∗
2
j) w (z) = (z − 1 + i) z + 8 = 8z − (1 − i) z + z − (8 − 8i)
k)∗∗ w (z) = (z + i) (z − 2i) (z + 3i) = 5z + 2iz 2 + z 3 + 6i
2
l)∗∗ w (z) = z 3 + 2iz + 4z + 8i = (z + 2i) (z − 2i) ,
∗∗
4
3
2
m) w (z) = z − 2z + 4z − 4z + 4 = (z − 1 + i) (z − 1 − i) z 2 + 2
√ √
n)∗∗ w (z) = z 4 + 4z 3 + 8z 2 + 12z + 15 = (z + 2 − i) (z + 2 + i) z + 3i z − 3i
11. a) A = K (2i, 2) , B = K (−2, 2) . b) A = K (−1 + 3i, 1) , B - pólplaszczyzna y < −3,
c) A - pierścień pomiȩdzy okrȩgami o środku w punkcie (0, 0) i promieniami 1, 4, B - ka̧t o wierzcholku w punkcie (0, 0) i
rozwartości 2π
3 ,
√
∗
d) A - elipsa o ogniskach w punktach 1, −1 oraz pólosiach a = 2, b = 3, B - obszar pomiȩdzy ramionami hiperboli o
ogniskach w punktach 1, −1
e)∗ A - pierścień o środku w punkcie (0, 1) i promieniach: 1, 4, B - pólplaszczyzna y < 1,
f)∗ A- czȩść wspólna pólplaszczyzn: x < 1 i x > 0, B- kolo o śrdku w punkcie (1, 1) i promieniu 1.
7
8
Macierze, wyznaczniki
1. Wykonać dzialania na macierzach




1 −2
2 3
2
a)  2 1  + 2  1 4  , b)
1
3 3
2 0

0
e)  2
3
2
−1
0
 
−1
3
0 · 2
−1
3
−2
0
1
−3
2


3
0
 1
0  , f) 
 2
3
−2

T
−2
1  ,
4


0 1
1
3 2 
· 2
1 1 
1
1 3
2. Wyznaczyć
2 −3
a) 1 3
3
g) 2
3
wartość wyznacznika stopnia 2-go i 3-go:
1
−2i 1 + 3i 2 3 , d) 2
, c) , b) 4−i
1 4 −6 3
−2i 1 −1i
2 1 5 −2 6 4i
2
−4 7 , h) 1 2 1 , i)∗ 1
8i
−2 1 2 2
5i
1 3 3. Wyznaczyć wartość wyznacznika stopnia 4-go:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 −2 3 2 3 −2 3 a) , b) 3 0 0 2 , c)
3 0 0 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1
2
0
0
4. Wyznaczyć wartość wyznacznika stopnia 5-go:a)∗ 5. Wyznaczyć rza̧d macierzy
2 3 −1
2
a) rz
, b) rz
4 6 −2
3

1
f) rz  3
0

1
k) rz  4
0
2
2
4
3
2
2

−2
5 ,
−11
−1
1
−1
−1
1
4
6

0
g) rz  1
3
2
3
2

0
2 4
 1
3 1  , l) rz 
 3
1 3
2

1
1
4
0
1
2
0
0
2
0
2
3
0
0
1
2
2
0
2
3
0
1
c)  3
5
2
−1
2
,
0
2
3
0
0
2
, c) rz  −3
1

3
−2  ,
1


2
2
6  , h) rz  2
4
2
1
3
−3
2
3
2
−3



1 2


1 6 
 , m) rz 


4 4

2 −4

k
−k
0
0
3
1
2
0
3
1
2
3
3
1
2
0
3
1
2
3
0
e) ,
1
2
3
0
3
2
3
0
3
1
3
0
3
1
2
2
3
1
0
.
0
2
2
2
3
0
0
2
1
0
3
1
,
,
.



4
−6
10
9 ,
8  , e) rz  −6
8 −12
12




1
1 1 0
 0
 0 1 1 


 , i) rz 
 1 0 1 , j) rz  −1
0
1 1 1



1
1 1 0 0 1
 1 0 0 0 1 
1 





0 
, n) rz  0 0 0 1 0 .
 0 0 1 1 0 
0 
1
1 1 0 0 0
15
d) rz  12
18
2 −2
1 −5
4 4
1
1
0
0
1
3
4
4
1 2 1 3 −1
−1 3 , e) 2 3 −2 , f) −5 −1 3
0
−1 0 2 1
1
−1 2 1 a 1+i
2
1
3−i
−2 , k)∗ 1 2 1 ,
j)∗ 2i
−a 1 2 −1
0
2 + 3i 1 2
, d) 2 0
0 3
3 1
2 3 3 0 0 0 , b)∗ 0 1 1 2 2
0
0
1
6. Wyznacz rza̧d macierzy w zależności od parametru k ∈R
0
4 2 3
1 −1 1
∗
∗
∗

k
a) rz
, b) rz
,
c)
rz
8 k 6
k2 k k2
k
8.1
T 



2
1
1 −2
2
4  ·  2  , d)  2 1  ·
1
6
3
3 3

T 


4 −7
1
4
−2 1 −2
 9 −4   −1 −4 
 

0 2 2  , g) 
 5 −5   −3 0 
−1 2 1
3 1
2
3

1
· 2
3
1
1
0
0
1
1
3
−3
0
0
1
1
0

k
0 ,
k
0
0
1
1
0

1
d)∗ rz  2k
1
k
2
1

2 0
2 1 
,
0 1 
4 2

−1
−2 .
−k
Odpowiedzi: Macierze, wyznaczniki

4 −7 5 −5
5 4
0 −5
1 −1 −3
 9 −4 11 6 
8 1 −6
22
−14 −11








1. a) 4 9 , b)
, c)
, d) 5 10 , e) 4 −4 0
, f) 
, g)
.
−3 4 11
28
5 −5 6 −1 
14
−9
7 3
9 21
6 −7 −3
3 1
6
9
2. a) 9, b) 5, c) −7 + i, d) 10, e) 5, f) 4, g) −3, h) 27, i) 25i, g)∗ 21 + 7i, k)∗ 2a2 + 4.
3. a) 4, b) 4, c) −15, d) 48, e) −74.
4. a)∗ 275, b)∗ 99.
5. a) 1, b) 2, c) 2, d) 1, e) 1, f) 2, g) 3, h) 2, i) 3, j) 2, k) 2, l) 3, m) 2, n) 5.
6. a)∗ 2 dla k 6= 4, 1 dla k = 4, b)∗ 2 dla k 6= −1, 1 dla k = −1,
c)∗ 3 dla k 6= 0 i k 6= 1, 2 dla k = 1, 0 dla k = 0, d)∗ 3 dla k 6= 1 i k 6= −2, 2 dla k = −2, 1 dla k = 1.




8



9
Badanie i rozwia̧zywanie ukladów równań liniowych
1. Rozwia̧zać uklad równań dwóch niewiadomych
2x + y = 3
2x + 3y = 10
2x + 3y = 3
2x − 4y = 6
8x + 13 = 16,
a)
, b)
, c)
, d)
, e)
,
x−y =3
3x + 2y = 5
4x + 6y = 3
−3x + 6y = −9
3x − 12y = 13




 x + 2y = 3
 3x − 2y = 3
 x−y =3
 x−y =3
7x − 11y = 16,
−x + y = 3 , f)
6x + y = 3 , g)
−x + y = −3 , h)
−x + y = −3 .
i)
,
e)
13x + 22y = 13




x+y =1
x+y =1
2x + 2y = 6
2x − 2y = 6
2. Rozwia̧zać uklad równań trzech niewiadomych


 x + 2y + z = 4
 x + 2y + z = 2
−x + y + z = 4 , b)
2x + y + 3z = −5 ,
a)


x+y+z =2
3x + 2y + z = 4

 3x − 2y + 2z = 1
−x + 2y + z = 1 ,
c)

2x − 4y + 2z = 1

 2x + y + z = 4
3x + y + z = 5 ,
d)

x + 2y + 2z = 5

 x + 2y = 3
x − 3z = 6 .
e)

3y − z = 1
3. Wyznaczyć wskazana̧ niewiadoma̧ z ukladu równań




x + 2y + w = 5
x+y−z =4
x + 2y + w = 8






 2x + y − 3z = −3



2x + 3z + w = 1
2x + y + 2w = 7
x − 3z − w = 8
x − y + 2z = 6
a)
, y =?, b)
, y =?, c)
, z =?, d)
,
3y
+
z
+
2w
=
8
y
+
3z
−
w
=
−7
2x
+ −2y − z = 0







x+y−z =1



3x + y + 2z = 2
x+y−w =0
y − 2z + w = 7
w =?.
4. Określ czy uklad równań jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny



x + 2y + w = 3


 x−z =1
 2x + y − z = 0

x − 3z − w = 6
x + y − 5z = 2,
y − z = 2 , c)
2x − y + z = −1 , d)
,
a)
, b)
2x − 3y + 5z = 1


 2x + 3y − z = 1

x−y =3
x − 3y + 3z = 2

x + y − 2z + w = 11




2x + 3y − z + 3t = 7,
2x − y + z = 5,





 2x + y − 3z − w = 0

 x − 2y + 3z − 4w = 2
−3x + 2y + 3z − t = 5,
x − 3y + 2z = 2,
x + 2y − z − w = −1 ,
2x + y − z + w = 1
.
, g)
j)
e)
, f)
3x + y + z + 2t = 3,
3x + y − z = 5,






x + 3y + z + w = 0
3x + 4y − 5z + 6w = 0


2x + 6y + 3z + 4t = 15.
x + 2y − 2z = 1
9.1
Odpowiedzi: Badanie i rozwia̧zywanie ukladów równań liniowych
95
, i) x = 35 , y = − 13
1. a) x = 2, y = −1, b) x = −1, y = 4, c) brak rozwia̧zań, d) x = 2y + 3, e) x = 83 , y = − 96
33 ,
∗
e) x = −1, y = 2, f) brak rozwia̧zań, g) x = 3, y = 0, h) x = y + 3, y ∈ R.
1
, z = 43 , d) x = 1, y = 2 − z, e) x = 3, y = 0, z = −1.
2. a) x = −1, y = 2, z = 1, b) x = 1, y = 2, z = −3, c) x = − 81 , y = 16
3. a) x = 2, y = 2, z = 3, b) w = 1, x = 0, y = 2, z = 0, c) w = 2, x = 1, y = 1, z = −2, d) w = 0, x = 2, y = 3, z = −2.
7
25
4. a) nieoznaczony x = 2z + 57 , y = 3z + 35 , b) sprzeczny, c) sprzeczny, d) nieoznaczony, w = 21 z + 13
2 , x = 2 z + 2 , y = −2z − 8,
e) nieoznaczony, y = w − 7x + 5, z = 2w − 5x + 4, f) sprzeczny, g) nieoznaczony x = 2 − 2w, y = 45 w − 1, z = 1 − 57 w,
h) nieoznaczony w = 4x + 5z, y = 6x + 8z + 1, i) nieoznaczony, x = 2t − z, y = z − 2,
11
7
23
25
25
j) nieoznaczony t = 43
8 z − 8 , x = 8 − 8 z, y = 8 − 8 z.
9
10
Cia̧gi i ich granice, granice i cia̧glość funkcji
A. Podać piȩć pierwszych wyrazów cia̧gu, zbadać monotoniczność i ograniczoność cia̧gów, wskazać (o ile to możliwe) granicȩ
g tego cia̧gu.
n
n−1
1
2
; 4. an = n (n − 5) ; 5. an = − 23 ; 6. an =
;
1. an = 2n ; 2. an = (n − 1) ; 3. an =
2n
n+1
√
√
a1 = 2,
a1 = 0, a2 = 1,
a1 = 2, a2 = 1
7.∗ an = n + 1 − n; 8.
9.∗
; 10.∗
;
+1 ;
an+1 = aann −1
an+2 = an+1 − an
an = n1 (a1 + a2 + · · · + an−1 )
B. Wyznacz granice cia̧gów:
√
n 1
1
√
; 3. lim
; 4. lim
n3 + 1 − 2n2 ; 5. lim
;
1. lim 2 − 3n2 ; 2. lim 2n + 21
2
2
n→∞ n + 3
n→∞
n→∞
n→∞ n −
n→∞
n5 + 1
4
8
(n − 1) + 2n2 − 2
1 + 2n + n3
n2 + 2n − 3
2 − 3n4
∗
; 8. lim
; 9. lim
6. lim
; 7. lim
;
2
n→∞ 1 − 2n − n2
n→∞
n→∞ 3n2 − 2n + 5
n→∞ 3 + 3n3
(1 − 2n4 )
√
√
√
√
√
2n2 + n4 + 2n − 3
4n2 + 2n − 1 + 3 1 − n3
√
10. lim
; 11. lim
n−2− n+3 ;
; 12. lim
2
2
n→∞
n→∞
n→∞
n+3
n n − 2 − 3n
√
√
√
√
13. lim n n4 − n − n2 ; 14. lim
n2 + 2n + 3 − n + 1 ;
15. lim
n2 + 2n + 3 − 2n2 + 1 ;
n→∞
n→∞
n→∞
√
2
√
√
2n+3 − 3n
2n − 4n + 3
; 17.∗ lim n2 − 3 1 + 3n4 + n6 ; 18.∗ lim n + 3 1 + 2n2 − n3 ; 19. lim n
;
16. lim √
n→∞
n→∞
n→∞ 3 + 4n+1
n→∞
9n2 + 3 − 3n
n
1 2n−1
+ 3 · 34
22n + 3 · 4n
32n + 9n
en + e−n
2
;
20. lim n+1
;
21.
lim
;
22.
lim
;
23.
lim
n→∞ 3
n→∞ 3n − 9n+2
n→∞ en − e−n
n→∞ 2 · 1 n − 3 · 4 1−n
+ 22n−1
4
3
r
q 4
p
√
n
2
n 3n + 3n − 2
n
n
n
1 n
2
n + en + (0.5)n ;
24. lim
;
26.
lim
2n + n; 25. lim
2
27.
lim
+ 43 + 43 ;
2
3
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n −4
28. lim
n→∞
∗
32.
n+1
n−1
n
;
29. lim
n→∞
n+1
lim 1 +
n→∞
1 n 3
3
;
33.∗
n2 +3
2
n
2
n2n+2
n2 + 1
n −n
n − 2n + 3
∗
;
;
30. lim
; 31.
lim
n→∞
n→∞
n2 − 1
n2 − 1
n2 − 1
n+3
√
; 34.∗ lim n n3 + 3n ; 35∗ . lim n!−(n−2)!
lim 1 + √n12 +1
(n+2)!−n! ;
n→∞
n→∞
n→∞
C. Wyznacz granice funkcji
x2 + 6x + 8
;
x→1 x2 + 5x + 4
x2 − 6x + 8
x4 − 16
8x3 − 27
−x3 + x2 + 3x − 4
;
3.
lim
;
4.
lim
;
5.
lim
;
x→−∞
x→4 x2 − 5x + 4
x→−2 x3 − 8
2x3 + 1
x→3/2 2x − 3
√
√
√
x+4−2
x+4−2
x2 − 7 − 3
−x3 + x2 + 3x − 4
x+2
∗
∗
√
√
√
;
6. lim
;
7.
lim
;
8.
lim
;
9
.
lim
;
8
.
lim
x→−∞
x→0
x→−2
x→0
x→4
2x2 + 1
x
7−x−3
x+9−3
x2 + 9 − 5
√
3
√
√
√
√
x+1−1
3
; 10. lim 3 1 + x3 ; 11. lim
9∗ . lim
1 + x + x2 + x ; 12.∗ lim
1+x+231−x .
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x→0
x
1
sin 3x
cos 4x
tan 3x
x
sin2 3x
13. lim
; 14. lim
; 15. lim
; 16. lim
; 17. lim
; 18. lim (1 + 3x) x .
2
x→0 sin 5x
x→0 cos 3x
x→0 tan x
x→0 cos x
x→0 sin 4x
x→0
1
√
1
1
2x
x
x
2−x
19. lim (x − 1)
; 20. lim (1 + sin x) ; 21. lim (1 + sin x) ; 22. lim+ 1 + x; 23. lim x 1−x .
1. lim
x→2
2. lim
x→0
x→0
x→0
x→1
E. Wyznacz granice jednostrronne funkcji
1
1
1
1
1
1
∗
|x−1|
2−x
; 3. lim± exp
1. lim± 2
; 4. lim± e
; 3. lim± exp
1. lim± 2−x ; 2. lim±
4x2 − 5x − x3 + 2
4x2 − 5x − x3 +
x→2
x→1 |x − 1|
x→1
x→2
x→1
x→1
1
x−4
21/x − 2−1/x
√
4.∗ lim exp
29.
lim
.
30.
lim
.
4x2 − 5x − x3 + 2
x→2±
x→4+
x→0± 21/x + 2−1/x
x2 − 16x + 16
1
1
1
x2 − 3 |x| + 2
x2 − 4 |x − 2| − 4
1 1−x
x−2
x−1
31. lim±
. 32. lim± (x − 1)
. 33. lim+ 2
+ 2
. 34. lim± 2
x−2
|x + 3x − 10|
x→2
x→2
x→1
x→2
D. Zbadaj cia̧glość funkcji

 √

 x2 + 3x − 4, dla x ≥ 1
 x−1
 4 − x2
, dla x < −2
,
dla
x
>
1
1. f (x) =
; 2. f (x) =
;
3. f (x) =
;
2x2 + x − 1
|x + 2|

 1xx2−+1 2x − 2, dla x ≤ 1

, dla x < 1
x
−
2,
dla
x
≥
−2
x+1
2

|x − 1|


, dla x ≤ 0
x+1
4. f (x) =
;
x−1


, dla x > 0
|x + 1|
4 − x2
lim
= −4
x→−2 − (x + 2)
10
Odp. 1. Niecia̧gla dla x0 = 1; 2. Cia̧gla dla x ≥ 0; 3. cia̧gla dla x ∈ R; 4. niecia̧gla dla x0 = 0.
E.∗ Dla jakich wartości parametrów a, b, c funkcja jest cia̧gla:

x2 − 4




√
, dla x > 2
8
+
x
1/x


a
+
2
,
dla
x
<
0
 a+

 x+a−1
, dla x ≤ 0
2
x + 3x − 3
b
1.∗ f (x) =
;
2.∗ f (x) =
;
3.∗ f (x) =
b
sin x



1/x


, dla x > 0
x2 − 4 |x − 2| − c

(1 + x) , dla x ≥ 0

sin ax
, dla x <
x−2
Odp. 1. a = −1/3 lub a = 3; 2. a = e, b = e; 3. a = −1, b = 8, c = 4.
Odpowiedzi: Cia̧gi i ich granice, granice funkcji cz.1.
A. Podać piȩć pierwszych . . .
1. (2, 4, 8, 16, 32, . . . ), cia̧g rosna̧cy, m = 2, M nie istnieje;
2. (0, 1, 4, 9, 16, . . . ) , cia̧g rosna̧cy, m = 0; M nie istnieje, g = ∞;
1
, . . . cia̧g maleja̧cy, m = 0, M = 12 , g = 0;
3. 12 , 14 , 16 , 18 , 10
4. (−4, −6, −6, −4, 0, 6, . . . ) cia̧g niemonotoniczny, m = −6; M nie istnieje, g = ∞;
8 16
32
5. − 32 , 49 , − 27
, 81 , − 243
, . . . cia̧g niemonotoniczny, m = − 23 , M = 94 , g = 0;
6. 0, 13 , 24 , 35 , 64 , . . . cia̧g rosna̧cy, m = 0, M = 1, g = 1;
√
√
√
√ √
√
√
√
1 √
7.
2 − 1, 3 − 2, 2 − 3, 5 − 2, 6 − 5, . . . , an = √n+1+
, cia̧g maleja̧cy, m = 0, M = 2 − 1, g = 0;
n
8.∗ (2, 3, 2, 3, 2, . . . ) , cia̧g niemonotoniczny (co 2 element siȩ powtarza), m = 2, M = 3, g nie istnieje;
9.∗ (2, 1, −1, −2, −1, 1, 2, 1, −1, −2, −1, 1 . . . ) cia̧g niemonotoniczny (co 6 element siȩ powtarza), m = −2, M = 2, g nie
istnieje;
10.∗ 0, 1, 21 , 12 , 12 , . . . , cia̧g staly dla n > 3, m = 0, M = 1, g = 12 ;
B. Wyznacz granicȩ cia̧gów
3
1
1. −∞; 2. ∞; 3. 0; 4. −∞; 5. 0; 6. 13 ; 7. −∞; 8. −∞; 9. 17
4 ; 10. − 2 ; 11. 1; 12. 0; 13. − 2 ; 14. 2;
15. −∞; 16. − 23 ; 17.∗ −1; 18.∗ 23 ; 19. 0; 20. ; 21. −2; 22. 1; 23.
e−2 ; 32.∗ e3 ; 33.∗ e; 34.∗ 3; 35∗ . 0.
1
4;
24. 1; 25. 1; 26. e; 27.
3
4;
C. Wyznacz granice funkcj
1. 23 ; 2. 23 ; 3. 0; 4. 27; 5. − 12 ; 6. ∞; 7. 14 ; 8. −6; 9. 32 ; 8. 53 ; 9. 13 ; 10. −∞; 11. − 12 ; 12. +∞;
9
13. 35 ; 14. 1; 15. 3; 16. 0; 17. 16
; 18. e3 ; 19. e−1 ; 20. e; 21. 1; 22. e; 23. e−1 .
D. Zbadaj ciaglość funkcji
1. Niecia̧gla dla x0 = 1; 2. Cia̧gla dla x ≥ 0; 3. cia̧gla dla x ∈ R; 4. niecia̧gla dla x0 = 0.
E. Dla jakich wartości parametrów a, b, c funkcja jest cia̧gla:
1. a = −1/3 lub a = 3; 2. a = e, b = e; 3. a = −1, b = 8, c = 4.
11
28. e2 ; 29. e2 ; 30. e−1 ; 31.
Pochodne i ich zastosowania
Wyznacz pochodne funkcji
1. f (x) = 3x5 +
x2
2
−3+
1
x
+
4
2x2 .
2. f (x) = 7x4 +
√
√
1
x − 2 3 x + √ . 3. f (x) = 3 sin x + 5 cos x.
x
√
4. f (x) = x3 − x ex . 5. f (x) = x2 ln x. 6. f (x) = (x + 1) x. 7. f (x) =
8.f (x) =
2
x+1
+
.
x+1
2
x2 + 1
2 sin x + 1
3x3 + 2x2
ex − e−x
. 11. f (x) =
.
9.
f
(x)
=
2
.
10.
f
(x)
=
.
x2 − 1
x4 − 1
ex + e−x
2 cos x − 1
13. f (x) =
12
2
tg x
4
. 14. f (x) = x2 + 5x . 15. f (x) = (3x − 2) x2 + 1 .
x
(x − 2)3
3x
1
. 17. f (x) =
. 18.f (x) = √
. 19. f (x) = sin 3x cos2 x.
(x + 4)5
+x+3
1 − 2x2
√
√
20. f (x) = ln (1 + cos x) . 21. f (x) = ln x2 + 3. 22. f (x) = x2 arcsin x. 23. f (x) = arcsin 1 − x2 .
3
−x
3
6
+ arctg x. 26. f (x) = 32x2 x2 − 1 . 27 f (x) = (x − 2) (x + 5) .
24. f (x) = esin 3x . 25. f (x) = 2
x −1
2
x2
x
(x − 1)
− 2
1
28. f (x) = xe
.
30.
f
(x)
=
. 29. f (x) = exp
3 . 31. f (x) = ln 1 + x .
x2 − 1
(x + 1)
16. f (x) = √
x2
32. f (x) = x3 ln3 x. 33. f (x) = ln3 x − ln x3 . 34. f (x) = 64x4 ln
1
.
2x
Wyznacz i uporza̧dkuj pochodne funkcji
√
2x − 1
− ln (x + 1) ; 2. f (x) = 12 arcsin 2x −
arctan √
1 − 4x2 2x2 + 1 .
3
r
1 − cos x
1+x
x
√
;
f (x) = ln
; 4. f (x) = arctan
; 5. f (x) = arctan
2
cos x + 1
1−x
1
+
1
+
x
√
3 2x
4
f (x) = ln x + 1 + x2 − x; 7. f (x) = e2x + 1
e −1
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funcji równoleglej do prostej y1 = x, y2 = −x
x+3
f (x) = −x2 + 2x; 2. f (x) = ex ; 3. f (x) =
; 4. f (x) = ln (x) ;
x−2
Wyznacz ka̧t przeciȩcia siȩ wykresów funkcji
f (x) = sin x, g (x) = cos x; 2. f (x) = 2x , g (x) = 2−x ; 3. f (x) = tg x, g (x) = ctg x, 4. f (x) = 4 − x2 , g (x) = x2 − 4.
Wyznacz√przybliżona̧
przy użyciu kalkulatora oceń popelniony bla̧d.
√
√ wartość wyrażenia,
10
20
10; 2. 80; 3. 0, 9; 4. (1.1) ,
5. (0, 02) ; 6. sin (0.1) ; 7. log2 5
Dokladne wartości
1. 3. 162 3; 2.8. 944 3; 3. 0.948 68; 4. 2. 593 7,
5. 1.048 6 × 10−34 ; 6. 0, 09983 3; 7. 2. 321 9;
Przybliżone wartości
1. f (x) =
3.
6.
1.
1.
1.
√2
3
1.
Wyznacz przedzialy monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji:
7
6
1. f (x) = 3x5 − 5x3 + 15. 2. f (x) = (x + 3) (x − 2) . 3. f (x) = x4 − 14x2 + 24x − 11.
4
2
4
x−3
x2 + 1
x −3
2
.
5.
f
(x)
=
4. f (x) =
.
6.
f
(x)
=
. 7 f (x) = x2 e3−x .
2
x+2
x+2
(x + 1)
ln x
3 3
2 −x
. 11. f (x) = 4x5 − 5x4 + 80x2 − 160x.
8. f (x) = x ln x. 9. f (x) = x e . 10. f (x) =
x
x2 − 2x − 12
12. f (x) = 7 ln |x − 2| +
.
x−2
Wyznacz asymptoty funkcji:
x2 − 8x + 4
x3 + 1
x3 − x2 − 2x
1. f (x) = 2
. 2. f (x) = 3
. 3. f (x) = 2
. 4. f (x) = x ln x,
x +x−6
x −1
x + 3x + 2
√
5. f (x) = xe−x+1 . 6. f (x) = x − ln x. 7. f (x) = x arctg x. 8. f (x) = x2 + 1.
1
1
9. f (x) = 2
. 10. f (x) = 2x + 2
.
x +1
x +
R 1
Oceń ile pierwiastków ma funkcja 6 ((x − 2) (x + 1)) dx = 2x3 − 3x2 − 12x Candidate(s) for extrema: {−20, 7} , at
{[x = −1] , [x = 2]}
12
10.1
Odpowiedzi
A. Podać piȩć pierwszych . . .
1. (2, 4, 8, 16, 32, . . . ), cia̧g rosna̧cy, m = 2, M nie istnieje;
2. (0, 1, 4, 9, 16, . . . ) , cia̧g rosna̧cy, m = 0; M nie istnieje, g = ∞;
1
3. 12 , 14 , 16 , 18 , 10
, . . . cia̧g maleja̧cy, m = 0, M = 12 , g = 0;
4. (−4, −6, −6, −4, 0, 6, . . . ) cia̧g niemonotoniczny, m = −6; M nie istnieje, g = ∞;
8 16
32
, 81 , − 243
, . . . cia̧g niemonotoniczny, m = − 23 , M = 94 , g = 0;
5. − 32 , 49 , − 27
1 2 3 4
6. 0, 3 , 4 , 5 , 6 , . . . cia̧g rosna̧cy, m = 0, M = 1, g = 1;
√
√
√
√ √
√
√
√
1 √
7.
2 − 1, 3 − 2, 2 − 3, 5 − 2, 6 − 5, . . . , an = √n+1+
, cia̧g maleja̧cy, m = 0, M = 2 − 1, g = 0;
n
8.∗ (2, 3, 2, 3, 2, . . . ) , cia̧g niemonotoniczny (co 2 element siȩ powtarza), m = 2, M = 3, g nie istnieje;
9.∗ (2, 1, −1, −2, −1, 1, 2, 1, −1, −2, −1, 1 . . . ) cia̧g niemonotoniczny (co 6 element siȩ powtarza), m = −2, M = 2, g nie
istnieje;
10.∗ 0, 1, 21 , 12 , 12 , . . . , cia̧g staly dla n > 3, m = 0, M = 1, g = 12 ;
B. Wyznacz granicȩ cia̧gów
3
1
1. −∞; 2. ∞; 3. 0; 4. −∞; 5. 0; 6. 13 ; 7. −∞; 8. −∞; 9. 17
4 ; 10. − 2 ; 11. 1; 12. 0; 13. − 2 ; 14. 2;
15. −∞; 16. ; 17. −2; 18. 1; 19.
1
4;
20. 1; 21. 1; 22. e; 23.
3
4;
24. e2 ; 25. e2 ; 26. e−1 ; 27. e−2 .
C. Wyznacz granice funkcj
1. 32 ; 2. 23 ; 3. 0; 4. 27; 5. − 12 ; 6. ∞; 7. 14 ; 8. −6; 9. 32 ; 8. 53 ; 9. 13 ; 10. −∞;
11. − 12 ; 12. +∞; 13. e3 ; 14. e−1 ; 15. e; 16. 1; 17. e; 18. e−1 . 19. 23 ; 20. 3; 21. 0.
13
11
Geometria analityczna na plaszczyźnie (przypomnienie)
1. Wykonaj dzialania na wektorach ū = AB, v̄ = AC, w̄ = CD, gdzie A = (−1, −2) , B = (2, −3) , C = (3, 5) , D = (0, 6)
a) ū − 2v̄ + 3w̄, b) 2ū − 3 (w̄ − v) , c) ū ◦ v̄, d) (2ū − v̄) ◦ (ū + w̄) , e) |ū| · ū ◦ ū, f) (v̄ ◦ w̄) (v̄ + w̄) ,
g) ||w̄| − |v̄|| .
2. Dla trójka̧ta ∆ABC,gdzie A = (−1, −2) , B = (2, −3) , C = (3, 5)
a) wznacz pole ∆ABC; b) wyznacz wysokość spuszczona̧ z wierzcholka A;
c) wyznacz punkt bȩda̧cy środkiem ciȩżkości ∆ABC (punkt przeciȩcia środkowych)
3. Podaj postać kierunkowa̧, odcinkowa̧ i parametryczna̧ prostej o równaniu ogólnym
a) 3x − 2y + 3 = 0, b) x − 3y + 5 = 0.
4. Podaj postać ogólna̧, odcinkowa̧ i parametryczna̧ prostej o równaniu kierunkowym
a) y = 2x − 3, b) y = −1
3 x, c) y = −5x + 7.
5. Podaj postać ogólna̧, kierunkowa̧ i parametryczna̧ prostej o równaniu odcinkowym
x
x
y
x
y
a)
+ y = 1, b) +
= 1, c)
+
= 1.
−2
3 −5
2/3 −1/3
6. Podaj
postać ogólna̧, kierunkowa̧
i odcinkowa̧ prostej orównaniu parametrycznym
x = −2 − t
x = 2 + 3t
x = 3t
,t ∈ R .
a)
, t ∈ R , b)
, t ∈ R , c)
y = −1 − 2t
y=0
y = 1 + 12 t
7. Podaj postać parametryczna̧ prostej
a) o równaniu kierunkowym: y = 3x − 2,
x y
b) o równaniu odcinkowym − = 1,
2
4
c) o równaniu ogólnym 3x − 5y + 6 = 0
d) przechodza̧cej przez punkt M = (1, 2) o wektorze kierunkowym k̄ = [1, 2] ,
e) przechodza̧cej przez punkty
A = (2, −3) , B = (−2, 1) ,
x = 2 + 3t
f) równoleglej do prostej l :
, t ∈ R przechodza̧cej przez punkt A = (2, 3) ,
y = −1 − 2t
x = 1 + 3t
g) prostopadlej do prostej l :
, t ∈ R przechodza̧cej przez punkt A = (−2, 0) ,
y = −1
h) równoleglej do prostej l : y = 2x − 1 przechodza̧cej przez punkt A = (2, 1) ,
i) prostopadlej do prostej l : y = −3x + 2 przechodza̧cej przez punkt A = (1, 2) , x = 2 + 3t
x = 1 + 3t
j) równoodleglej od dwóch prostych równoleglych: l1 :
, t ∈ R , l2
,t ∈ R ,
y=
−1
−
2t
y=
2 − 2t
x=2+t
x = 1 + 2t
k) bȩda̧cej dwusieczna̧ ka̧ta wyznaczonego przez proste l1 :
, t ∈ R i l1 :
,t ∈ R ,
y = −1 − 2t
y=t
8. Zbadaj wzajemne polożenie prostych:
a) l : 2x
3 = 0; b) l : 2x − 4y − 2 = 0, k : x − 2y − 2 = 0; c) l : y= 31 x + 2, k : y = 3x − 2;
+ y − 3 = 0, k : x − 2y +
x = 2t + 1
x = 3t + 1
x=t+1
x = −t + 1
d) l :
, t ∈ R, k :
, t ∈ R; e) l :
, t ∈ R, k :
, t ∈ R;
y = −3t − 1
y = −2t − 1
y = −t + 2
y=t
Odpowiedzi: Geometria
1. ū = 3 3 −1 , v̄ = 4 7 , w̄ = −3
√
√
−5 1 8 , g) 65 − 10.
1
, a)
−14 −12
, b)
27
y
x
2. a) 3x − 2y + 3 = 0, y = 32 x + 32 , − −1
+ 3/2
= 1, x = 23 t − 1, y = t , t ∈ R;
y
x
+ 5/3
= 1, x = t, y = 31 t + 53 , t ∈ R.
b) x − 3y + 5 = 0, y = 31 x + 53 , −5
y
x
3. a) y = 2x − 3, 2x − y − 3 = 0, 3/2
+ −3
= 1, {x = t, y = 2t − 3 , t ∈ R;
−1
b) y = 3 x, x + 3y = 0, nie ma postaci odcinkowej, x = t, y = − 31 t , t ∈ R;
x
c) y = −5x + 7, 5x + y − 7 = 0, 7/5
+ y7 = 1, {x = t, y = −5t + 7 , t ∈ R.
4. Podaj postać ogólna̧, kierunkowa̧ i parametryczna̧ prostej o równaniu odcinkowym
x
a)
+ y = 1, x − 2y + 2 = 0, y = 12 x + 1,
−2
x
y
x
y
5. b) +
= 1, c)
+
= 1.
3 −5
2/3 −1/3
6. Podaj
postać ogólna̧, kierunkowa̧
i odcinkowa̧ prostej orównaniu parametrycznym
x = −2 − t
x = 2 + 3t
x = 3t
a)
, t ∈ R , b)
, t ∈ R , c)
,t ∈ R .
y = −1 − 2t
y=0
y = 1 + 12 t
14
16
,
√
c) 5, d) 0, e) 10 10,
f)
7. Podaj postać parametryczna̧ prostej
a) o równaniu kierunkowym: y = 3x − 2,
x y
b) o równaniu odcinkowym − = 1,
2
4
c) o równaniu ogólnym 3x − 5y + 6 = 0
d) przechodza̧cej przez punkt M = (1, 2) o wektorze kierunkowym k̄ = [1, 2] ,
e) przechodza̧cej przez punkty
A = (2, −3) , B = (−2, 1) ,
x = 2 + 3t
f) równoleglej do prostej l :
, t ∈ R przechodza̧cej przez punkt A = (2, 3) ,
y = −1 − 2t
x = 1 + 3t
g) prostopadlej do prostej l :
, t ∈ R przechodza̧cej przez punkt A = (−2, 0) ,
y = −1
h) równoleglej do prostej l : y = 2x − 1 przechodza̧cej przez punkt A = (2, 1) ,
i) prostopadlej do prostej l : y = −3x + 2 przechodza̧cej przez punkt A = (1, 2) , x = 2 + 3t
x = 1 + 3t
j) równoodleglej od dwóch prostych równoleglych: l1 :
, t ∈ R , l2
,t ∈ R ,
y=
−1
−
2t
y=
2 − 2t
x=2+t
x = 1 + 2t
k) bȩda̧cej dwusieczna̧ ka̧ta wyznaczonego przez proste l1 :
, t ∈ R i l1 :
,t ∈ R ,
y = −1 − 2t
y=t
8. Zbadaj wzajemne polożenie prostych
9. 1 −4 ◦ 5 2 = 5 − 8 = −3
10. (−5, −2) + (4, 6) = −3 −1 4 = 3
−12
15
12
Geometria analityczna w przestrzeni
1. Niech dane bȩda̧ punkty A = (−2, 3, −1) , B = (1, −2, 3) , C = (0, 1, 2) , wyznaczyć:
a) wektory ū = AB, v̄ = CB, w̄ = 2ū − v̄, b) iloczyny skalarne ū ◦ v̄, w̄ ◦ (ū + v̄) ,
v̄ × (w̄ × ū) , d) środki odcinkow AB i BC.
c) iloczyny wektorowe: ū × v̄,
2. Niech dane bȩda̧ punkty A = (1, −2, −3) , B = (0, 1, 2) , C = (2, 1, −2) , D = (2, 3, 0), wyznaczyć wektory ū = AB,
v̄ = AC, w̄ = CD, nastepnie wykonać dzialania:
a) ū − 2v̄ + 3w̄, b) 2ū − 3 (w̄ − v) , c) ū ◦ v̄, d) (2ū − v̄) ◦ (ū + w̄) , e) ū × v̄,
f) (v̄ + w̄) × (v̄ − w̄) , g) |w̄| · v̄;
3. Spośród danych wektorów znaleźć pary wektorów równoleglych i prostopadlych:
a) ū = [2, 3, −1] , v̄ = [4, −1, 5] , w = [1, −2, 3] , ū − v̄
b) ū1 = [−1, 3, 2] , ū2 = [1, 1, −1] , ū3 = [−2, −2, 2] , ū4 = [2, 6, 4] , ū5 = [1, 2, 3] , ū6 = [−2, 6, 4] , ū7 = [1, −1, 1] ,
4. Dla trójka̧ta ∆ABC,gdzie A = (−1, −2, 1) , B = (2, −3, −1) , C = (3, 5, 0) wyznacz:
a) pole ∆ABC; b) wysokość spuszczona̧ z wierzcholka A;
c) punkt bȩda̧cy środkiem ciȩżkości ∆ABC (punkt przeciȩcia środkowych);
d) pole trójka̧ta ∆A0 B 0 C 0 , gdzie punky A0 jest środkiem odcinka BC, B 0 jest środkiem odcinka AB, C 0 jet środkiem
odcinka AB.
5. Wyznacz objȩtość równoleglościanu wyznaczonego przez wektory:
a) ū = [2, −1, 3] , v̄ = [4, 0, −5] , w̄ = [1, −2, 4] ; b) ū = [2, −1, 1] , v̄ = [1, −3, 6] , w̄ = [5, −1, 0] ;
6. Wyznacz objȩtość czworościanu ABCD, jeżeli:
a) A = (0, 0, 0) , B = (4, 1, 0) , C = (4, 1, 0) , D = (1, 1, 4) ;
b) A = (1, 1, 1) , B = (3, 0, 0) , C = (0, 4, 0) , D = (0, 0, 2) ;
7. Wyznaczyć równanie prostej:
a) o wektorze kierunkowym k̄ = [−2, 1, −3] przechodza̧cej przez punkt A = (1, −2, 1) ,
b) przechodza̧cej przez dwa punkty A = (2, 0, −1) , B = (−2, 1, 3) ,
y
z
x−2
= = i przechodza̧cej przez punkt A = (0, 2, 1) .
c) równoleglej do prostej
−1
1
3
8. Podaj postać kierunkowa̧ i parametryczna̧ prostej
a) przechodza̧cej przez punkty A = (2, −1, 3) , B = (−1, −2, −3) ,
b) równoleglej do wektora k = [2, −1, 3] i przechodza̧cej przez śreodek odcinka AB (j.w.),
x−2
y+1
c) równoleglej do prostej
=
= z przechodza̧cej przez punkt (0, 0, 0) ,
3
3
x−2
y+1
x
y+1
z
d) równoodleglej od dwóch prostych równoleglych: l1 =
=
= z, l2 : =
=
.
−1
3
2
−6
−2
9. Wyznaczyć równanie plaszczyzny
a) o wektorze normalnym n̄ = [2, 0, −1] przechodza̧cej przez punkt (0, 0, 0) ,
b) o wektorze normalnym n̄ = [2, 1, −3] przechodza̧cej przez punkt A = (1, −2, 1) ,
c) równoleglej do plaszczyzny x − 2y + z − 2 = 0 i przechodza̧cej przez punkt (1, −2, 3)
d) równoleglej do plaszczyzny 2x − 3y + z − 6 = 0 i przechodza̧cej przez punkt A = (2, −5, 1) ,
e) przechodza̧cej przez trzy punkty A = (2, −3, −1) , B = (2, −1, 2) , C = (0, 1, 2) .
f) przechodza̧cej przez trzy punkty A = (−1, −2, 1) , B = (2, −3, −1) , C = (3, 5, 0) ,
g) przecinaja̧cej osie ukladu wspólrzȩdnych w punktach: x = x0 , y = y0 , z = z0 ,
h) równoleglej i równoodleglej do plaszczyzn: Q1 : x − 2y + z − 3 = 0, Q2 : 2x − 4y + 2z + 1 = 0.
10. Zbadać wzajemne polożenie prostej l i plaszczyzny Q, wyznaczyć ewentualne punkty wspólne plaszcyzny i prostej
x
y+1
z+1
x
y+1
z
a) l : =
=
, Q : 2x + y − z + 1 = 0; b) l :
=
= , Q : x − 2y − 3z + 1 = 0;
2
0
2
−1
2
3
x
y+1
z
x
y
z+1
c) l : =
= , Q : 2x − 2y + z + 1 = 0; d) l :
= =
, Q : x − y + z + 1 = 0.
2
3
2
−2
1
−2
11. Zbadaj
 wzajemne polożenie prostych l, k


x=t+2
 x = 2t − 3

 x=t−3
x−1
y−1
z−4
y = −t + 1 , t ∈ R, k :
y=1
y = 2t − 5 , t ∈ R,
a) l :
=
=
; b) l :
, t ∈ R, k :



4
−2
6
z = 3t − 2
z = −2t + 1
z = 2t − 1
x−4
y+2
z+1
x+1
y+1
z−2
x
y
z
x+1
y+1
z−2
c) l :
=
=
;k:
=
=
, d) l : =
= ;k:
=
=
.
3
1
−2
2
−1
2
2
−1
3
−2
2
2
12. Zbadaj
 wzajemne polożenie plaszczyzn:


 2x + y − z − 6 = 0
 2x + y − z − 3 − 0
 2x + y − z − 3 − 0
x + 3z − 2 = 0
x − y + 3z − 2 = 0 , c)
x − y + 3z − 2 = 0 ,
a)
, b)



3x + 2y − 4z − 1 = 0
x + 2y − 4z − 1 = 0
4x + 2y − 2z − 1 = 0
16
13. Wyznaczyć równanie:
a) prostej prostopadlej do plaszczyzny 2x − y + 5z − 2 = 0 przechodza̧cej przez punkt A = (1, 2, 1) ,
b) plaszczyny prostopadlej do prostej 2 − x = y = z przechodza̧cej przez punkt A = (1, 2, 1) .
14. Wyznaczyć punkt wspólny prostej l i plaszczyzny Q
x+1
y−1
z−3
a) k :
=
=
, Q : 2x − y − z + 4 = 0;
1
2
−2
b) k :
x+1
y+3
z−3
=
=
, Q : x + 2y − z = 3.
3
−2
1
15. Wyznaczyć rzut prostoka̧tny
a) punktu A = (1, 2, −1) na plaszczyznȩ Q : 2x − y + z − 3 = 0;
b) punktu A = (1, 2, −1) na plaszczyznȩ Q : x + 2y + 3z − 2 = 0;
x−1
= y − 6 = z;
c) punktu A = (1, −2, 2) na prosta̧ l :
2
x+3
y+1
d) punktu A = (1, 0, −4) na prosta̧ l :
=
= −z.
−2
4
16. Wyznaczyć punkt symetryczny
a) do punktu A = (2, −1, −2) wzglȩdem punktu S = (3, −1, 0) ;
b) do punktu A = (1, 3, 4) wzglȩdem punktu S = (1, −2, −4) ;
y+1
z−1
x−3
=
=
;
c) do punktu A = (0, 0, 0) wzglȩdem prostej
1
−2
1
x+1
y−1
z−3
d) do punktu A = (2, −1, −2) wzglȩdem prostej
=
=
;
1
2
−2
e) do punktu A = (0, 0, 0) wzglȩdem plaszczyzny x + 2y − 3z + 14 = 0;
f) do punktu A = (2, −1, −2) wzglȩdem plaszczyzny x + y + z = 0.
Odp. Geometria analityczna w przestrzeni
1. a) ū = [3, −5, 4] , v̄ = [1, −3, 1] , w̄ = [5, −7, 7] ; b) ū ◦ v̄ = 22, w̄ ◦ (ū + v̄) = 111;
c) ū × v̄ = [7, 1, 4] , v̄ × (w̄ × ū) = [11,
11, 12] ;
d) środki odcinkow: S1 = − 12 , 12 , 1 , S2 = 12 , − 12 , 52 .
2. ū = [−1, 3, 5] , v̄ = √
[1, 3, 1] , w̄ = [0, 2, 2, ] ; a) [16, −20, 23] ; b) [−6, 2, −10] ; c) 22; d) 201; e) [7, 1, 4] ;
f) [28, 4, −16] ; g) 123 [5, −7, 7] .
3. a) ū ⊥ v̄, (ū
ū3 , ū1 k ū6 , ū1 ⊥ ū2 , ū2 ⊥ ū5 , ū4 ⊥ ū7 .
√ − v̄) k w̄; b)5 ū√2 k √
4. a) P∆ = 52 35; b) h = 66
35 66; c) S = () , d) P∆0 =
5. a) V = 23; b) V = 4,
6. a) V = 5/6, b) V = 1/3.
y+2
y
y−2
z−1
x−2
z+1
x
z−1
7. x−1
−2 = 1 = −3 ; b) −4 = 1 = 4 ; c) −1 = 1 = 3 ;
y+1
z−3
8. a) x−2
2 = −1 = 3 , {x = 2t + 2, y = −t − 1, z = 3t + 3, t ∈ R} ;
y
y+1
z
x
b) 3 = 3 = z, {x = 3t, y = 3t, z = t, t ∈ R} ; c) x−1
−1 = 3 = 1 , {x = −t + 1, y = 3t − 1, z = t, t ∈ R} .
9. a) 2x − z = 0; b) 2x + y − 3z + 3 = 0; c) x − 2y + z − 4 = 0 d) 2x − 3y + z − 26 = 0; e) 3x + 3y − 2z + 1 = 0; f)
3x − y + 5z − 4 = 0; g) xy0 z0 + yx0 z0 + zx0 y0 − x0 y0 z0 = 0 lub równoważnie: xx0 + yy0 + zz0 = 1; 4x − 8y + 4z − 5 = 0.
3
9
10. a) l ∩ Q = {(−1, −1, −2)} ; b) l ⊥ Q, l ∩ Q = − 14
, − 74 , 14
; c) l k Q, d) l ∩ Q = {(0, 0, −1)} .
11. a) proste pokrywaja̧ce siȩ; b) proste przecinaja̧ce siȩ; c) prsote skośne; d) prste skośne prostopadle.
12. a) Plaszczyzny przecinaja̧ siȩ w punkcie (29, −61,
−9) ;
b) Plaszczyzny przecinaja̧ce siȩ wzdluż prostej x = 35 − 23 t, y = 73 t − 13 , z = t, t ∈ R ;
c) Plaszczyzny rozla̧czne, w tym dwie równolegle.
13. a) {x = 2t + 1, y = −t + 2, z = 5t + 1, t ∈ R} ; b) x + y + z − 4 = 0.
7
14. a) S = (0, 3,1) ; b) − 41
2 , 10, − 2 .
7 4
1
15. a) 3 , 3 , − 3 ; b) (1, 2, −1) ; c) (−1, 5, −1) ; d) (−3,−1, 0) .
16. a) 25 , −1, −1 ; b) 1, 12 , 0 ; c) 32 , 2, 2 ; d) 21 , 3, 52 ; e) 0, 12 , 72 ; f) 53 , 76 , 76 .
17
Przykladowy Zestaw 1 - 5 x 6 pkt
1. Rozwia̧zać równania: 2.3.c), 3.4.–), 3.9.–)
a) |x + 1| = |2x| ,
b) |2 cos x| = 1, w przedziale [−π/2, π/2] , d) log3 (x + 1) = 2.
2. Rozlóż wielomiany na czynniki: 2.13.d), 4.10.a)
a) w (x) = x4 − 5x2 + 36, x ∈ R
b) w (z) = 2iz 2 − 2z + 4i,
z∈C
3. Oblicz wartość wyrażenia: 3.5.–), 4.1.e) + 4.4.–)
√ −7
23 · 2
1 + 2i 1 − i
,
c) Re
−
,
a)
1 −3 1/2
i−2
2+i
2
2

1

4. Wykonaj odpowiednie dzialania i oblicz wartość wyznacznika 5.1.–) + 5.2.–) det  −3
−1
 
T 
2
−3 0

2  ·  2 2  .
3
−1 1

 x + 2y = 3
det Ay
y−z =5
.
5. Wyznacz wartość niewiadomej y z ukladu równań:
korzystaja̧c z wzorów Cramera: x =

det A
3x − z = 0
18
Przykladowy Zestaw 1 - 5 x 6 pkt
1. Rozwia̧zać nierówność 2.15.i)+2.16.e)
−x3 + 3x2 + 3x − 9
≤ 0.
x2 − 9
2. Wykonuja̧c odpowiedznie przeksztalcenia sprawdzić czy prawdziwa jest równość 3.5.a) + 3.8.a)
log2 8 + log3
√
3
4 −1
1
2 · 11
3 − log2 =
√ .
−2
4
33 (2 · 9) 270.5 3
1 + 2i
1−i
+ 3i
;
i−2
2+i
4
b) Rozwia̧zać równanie z = 81 w dziedzinie zespolonej
2 −1 2 0 −3 0 0 5 .
4. Obliczyć wartość wyznacznika 2 0 −3 1
0
0 2 2 
 3x − 2y + z = 0
4x − 3y = 4
5. Rozwia̧zać uklad równań:
.

2x + 5z = 2
3. a) Podać czȩść urojona̧ liczby z =
Przykladowy Zestaw 2 - 10 x 3 pkt
1. Rozwia̧zać nierówność: 2.4.c) |x − 2| > 3.
2. Rozwia̧zać równanie: 2.9.–), x3 − x = 0.
3. Rozwia̧zać nierówność: 2.16.d)
x−3
4x
>
.
x
x−3
4. Rozwia̧zać równanie: 3.4.–), |2 cos x| = 1, w przedziale [−π, π] .
1
1
=
.
−1
1 − 2x−1
√
6. Obliczyć wartość wyrażenia: 3.8.–), log2 2 − log3 27 + log4
5. Rozwia̧zać równanie: 3.6.d)
2x
1
16 .
7. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone z ∈ C wielomianu w (z) = z 2 + 4z + 5.
T

1i −2
2i
−3
8. Wykonać dzialania na macierzach (5.1.–), A · B T =
·  2 1i  .
1 2i
3i 4
2 1 −2 9. Obliczyć wartość wyznacznika −3 1 0 .
2 1 −1 
 x − 2y + 3z − 4w = 2,
2x + y − z + w = 1,
10. Określić czy uklad równań ma rozwia̧zanie: 6.4.d)

3x + 4y − 5z + 6w = 0.
19
Przykladowy Zestaw 3 - 5 x 6pkt
−4x3 + 12x2 − 5x − 6
, nastȩpnie wykorzystaj otrzymane wyniki do rozwia̧zania nierówności
x−2
3
2
2.10.d) −4x + 12x − 5x − 6 ≤ 0.
1. Wykonaj dzielenie wielomianów
2. Naszkicuj wykres funkcji y = |1 − 2x | i rozwia̧ż równanie 3.6.–) |1 − 2x | = 3.
7π
3. Przedstaw liczby w postaci trygonometrycznej, algebraicznej i wykladniczej 4.3.–) z1 = 1−i11 , z2 = 2 cos 7π
3 + i sin 3 ,
πi
z3 = e 2 .
2 −2 0
1 0 1 −1 −3 .
4. Oblicz wartość wyznacznika (5.3.–) det A = 1
1 1 2
2 3
0 −1 
 2x + y + z = 4
3x + y − z = 5
5. Rozwia̧ż uklad równań 6.2.d)

x + 2y + 2z = 5
Przykladowy Zestaw 4 - rozwia̧ż 10 z 12 zadań - 10 x 3 pkt
1. Narysuj prosta̧ o równaniu 2.1.e) 6x + 2y + 5 = 0.
2. Rozwia̧ż równanie: 2.9.b) 5x2 + 2x3 − 3x = 0.
2x + 3
3. Rozwia̧ż nierówność 2.14.h)
− x x ≥ (2 − x) (1 − x) 2x2 − 9x + 4 = 0
2
4. Naszkicuj wykres funkcji 3.3.e) f (x) = |cos x| .
5. Rozwia̧ż równanie w zbiorze [−π, π] 3.4.e): tg2 x = 3.
6. Rozwia̧ż równanie 3.8.a)+3.10.a): log2 x = log2 8 + 2 log3
√
3 − log2
1
8
2
7. Wykonaj dzialania, podaj czȩść urojona̧ liczby z, jeżeli 4.1.a+b) z = 2i + 3 − (2 − 3i) (i − 4) − (1 − 3i) +
8. Rozlóż wielomian zespolony na czynniki liniowe 4.10.–): w (z) = z 2 + 7iz − 12.
2 1 5 9. Oblicz wartość wyznacznika 1 2 1 −2 1 2 

1 2 0
 0 2 1 

10. Wyznacz rzda̧ macierzy 5.5.j): rz 
 −1 0 1  .
0 4 2

 x−y =3
−x + y = −3 .
11. Rozwia̧ż (o ile to możliwe) uklad równań 6.1.h)

2x − 2y = 6

 2x + y − 3z = −3
x − y + 2z = 6
12. Wyznacz niewiadoma̧ z z ukladu równań 6.3.a)
.

x+y−z =1
x2
16
+
(x−8)2
36
√
3
=
1
144
√
√
√
256 3 − 64x 3 + x2 4 3 + 9
20
2i − 3
.
3 + 2i
KOLOKWIUM LOTNICTWO
1. Rozwia̧zać nierówność
3−x
≤ x − 3.
x2 − 4
A
2. Narysować wykres funkcji f (x) , podać przeciȩcia siȩ wykresów z osia̧ OY, rozwia̧zać nierówność f (x) > 2 dla funkcji
f (x) = |e−x − 2| .
3. a) wyznacz Re z 2 + (2 + i) z + 3 dla z = 1 − i, b) Rozlożyć wielomian w (z) = z 3 + z − 10 na czynniki liniowe.


2 −2 0
2
−2 0
1
1 
0 1 −2 −3 1 −2 −3 
.
+ rz  0
4. a) Obliczyć wartość wyrażenia  −11 7
3
0 
1
7
3
0
2 3
2
3
0 −1
0 −1 —————————————————————————————————————1. Rozwia̧zać nierówność
2x − 6
< x − 3.
x2 − 1
B
2. Narysować wykres funkcji f (x) , podać przeciȩcia siȩ wykresów z osia̧ OY, rozwia̧zać nierówność f (x) > 2 dla funkcji
f (x) = ln (e + |x|) .
3. a) Wwyznacz Re z 2 + (3 − i) z + 3i dla z = 2 − i, b) Rozlożyć wielomian w (z) = z 3 + z − 10 na czynniki liniowe.


1 7 3 −2 1
7
3 −2
 −2
−2 3 0
3
0
0 
0 .
+ rz 
4. Obliczyć wartość wyrażenia  −3
0
−1 1 
−3 0 −1 1 0 1 2
0 −11 2
2
2 21
KOLOKWIUM Stalowa Wola i Transport - zaoczne
22
−x3 + 3x2 + 3x − 9
≤ 0.
x2 − 9
1
1
.
2. (3pkt) Rozwia̧zać równanie: x
=
2 −1
1 − 2x−1
√
3. (6 pkt) Sprawdzić czy prawdziwa jest równość: log2 8 + log3 3 − log2
1. (6 pkt) Rozwia̧zać nierówność
1
4
3
2
=
33 (2 ·
4 −1
11
√ .
−2
9) 270.5 3
·
4. (3 pkt) Wyznaczyć wszystkie zespolone rozwia̧zania równania: 5z 3 + 8z 2 + 5z = 0.
!
2
1 + i (2 − i)
5. (3 pkt) Wyznaczyć Im(z) dla z = 5i ·
= −3 + 14i
+
2+i
1 − 2i
T
6. (3 pkt) Wykonać dzialania na macierzach zespolonych A · B =
2
7. (3 pkt) Obliczyć wartość wyznacznika |A| = −3
1
−1
1
2
1
4
−3
2i
1
−3
2i
T
−2
4
i

1i
=
−3i 0
4

1i
· 2
3i
= −24
8. (3pkt) Określić czy uklad równań jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny
6x + 9y − 3z = 12,
.
4x + 6y − 2z = 8.
Odpowiedź uzasadnić.
————————————————————————————————
−x3 + 3x2 + 3x − 9
≤ 0.
x2 − 9
1
1
2. (3pkt) Rozwia̧zać równanie: x
=
.
2 −1
1 − 2x−1
√
3. (6 pkt) Sprawdzić czy prawdziwa jest równość: log2 8 + log3 3 − log2
1. (6 pkt) Rozwia̧zać nierówność
1
4
=
3
2
33 (2 ·
4 −1
11
√ .
−2
9) 270.5 3
·
4. (3 pkt) Wyznaczyć wszystkie zespolone rozwia̧zania równania: 5z 3 + 8z 2 + 5z = 0.
!
2
1 + i (2 − i)
5. (3 pkt) Wyznaczyć Im(z) dla z = 5i ·
+
.
2+i
1 − 2i

T
1i −2
2i −3
6. (3 pkt) Wykonać dzialania na macierzach zespolonych A · B T =
·  2 1i  .
1 2i
3i 4
2 −1 1 4 .
7. (3 pkt) Obliczyć wartość wyznacznika |A| = −3 1
1
2 −3 6x + 9y − 3z = 12,
8. (3pkt) Określić czy uklad równań jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny
.
4x + 6y − 2z = 8
Odpowiedź uzasadnić.
————————————————————————————————
−x3 + 3x2 + 3x − 9
≤ 0.
x2 − 9
1
1
2. (3pkt) Rozwia̧zać równanie: x
=
.
2 −1
1 − 2x−1
√
3. (6 pkt) Sprawdzić czy prawdziwa jest równość: log2 8 + log3 3 − log2
1. (6 pkt) Rozwia̧zać nierówność
1
4
=
3
2
33 (2 ·
4 −1
11
√ .
−2
9) 270.5 3
·
4. (3 pkt) Wyznaczyć wszystkie zespolone rozwia̧zania równania: 5z 3 + 8z 2 + 5z = 0.
!
2
1 + i (2 − i)
5. (3 pkt) Wyznaczyć Im(z) dla z = 5i ·
+
.
2+i
1 − 2i

T
1i −2
2i
−3
6. (3 pkt) Wykonać dzialania na macierzach zespolonych A · B T =
·  2 1i  .
1 2i
3i 4
2 −1 1 4 .
7. (3 pkt) Obliczyć wartość wyznacznika |A| = −3 1
1
2 −3 6x + 9y − 3z = 12,
8. (3pkt) Określić czy uklad równań jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny
.
4x + 6y − 2z = 8
Odpowiedź uzasadnić.
————————————————————
23
−18
11i
2 −2 1 0 = −54
2 1 7
2 3 −1 1 7 2 −2 : 16
−
= 2 3 1 7 2 −2 1 0 1 −3 = 26
2 3 −1 3(−1)
−1
x3 ln3 x Candidate(s)
for
extrema:
0,
−e
,
at
[x
=
0]
,
[x
=
1]
,
x
=
e
ln 1 + x2
Candidate(s) for extrema: {0} , at {[x = 0]}
2
f (x) = x2 e−x f 0 (x) = (−2) x e−x
2
(x − 1) (x + 1)
p
p
p√
p√
√
√
1
1
1
f (x) = 2e
2x − 5x2 +
= 0,
17 + 5, 12
17 + 5
1 −1
Solution is: − 2 5 − 17, 2 5 − 17, − 2
Candidate(s) for extrema:
0,
e
,
at
{[x
=
0]
,
[x
=
−1]
,
[x
=
1]}
f (x) = ln 1 + x2
−2
00
(x + 1) (x − 1)
(x) = (−2) x2 + 1
x
o
n 1
2
1
xe−x /2 Candidate(s) for extrema: e− 2 , −e− 2 , at {[x = −1] , [x = 1]}
00
−x2
4
2x + arctan x1 No candidates for extrema.
x2 − a ln x No candidates for extrema.
x
ln x Candidate(s) for extrema: {e} , at {[x = e]}
x2 +7
Candidate(s) for extrema: {−2, 14} , at {[x = −1] , [x = 7]}
x−3 3
1+x
Candidate(s) for extrema: {0} , at {[x = −1]}
1−x
1
x Candidate(s) for extrema: {−2,
2} , at {[x
1
1
=
x2 −4 Candidate(s) for extrema: −4 , at {[x
2 2
2(−1)
= −1] , [x = 1]}
0]}
, at [x = 0] , [x = 1] , x = e−1
x+
x ln x Candidate(s) for extrema: 0, e
x2 +4
1
2
x2 −4 = x2 −4 x + 4
R x2 −4
1 2
1−x dx = 3 ln (x − 1) − 2 x − x Candidate(s) for extrema: {−4, 3iπ + 3 ln 3} , at {[x = −2] , [x = 2]}
1
x+ x
x2 ln2 |x|
(3, −1, −2) ×
−18 −4
50
24
= −58 −114 −30
((3, −1, −2) × (−1, −8, −1)) × (7, 6, 3) = 165 −130 −125
(3, −1, −2) × (−1, −8, −1) × (7, 6, 3) : −18 −4 50
25