I Rok ZIP, LISTA 3 Pochodna funkcji 1. Obliczyc pochodne funkcji: 1

I Rok ZIP, LISTA 3
Pochodna funkcji
1. Obliczyć pochodne funkcji:
√
x2 + 1
,
1) y = x cos x+2, 2) y = (x −1) cos x, 3) y = (1+e )(sin x+ x), 4) y = 2
x −1
√
√
3
sin x − x cos x
x3
sinh x
x− 4x
5) y =
, 6) y =
, 7) y = x3 ln x − , 8) y =
,
x+1
cos x + x sin x
3
cosh x
√
arcsin x
arctg2x
5
3
√
9) y =
,
12)
y
=
x
·
arctg
x,
,
10)
y
=
(x
−
5x)
,
11)
y
=
ex
x
q
√
e2x
13) y = 3 sin( 3x + 5), 14) y = 1 + 2tgx, 15) y =
, 16) y = e2x ,
sin x
√
e2x
17) y = e x+1 , 18) y = sin2 (cos 3x), 19) y = ln(cosh x), 20) y =
.
1 + sinh2 x
3
3
x
2. Wyznaczyć pochodna, n-tego rzedu
funkcji (wyznaczyć wzór):
,
a) y = x7 ,
b) y = ln x,
c) y = sin x,
d) y = e2x
e) y = xex .
3. Napisać równania stycznych i normalnych do wykresów wskazanych funkcji we
wskazanych punktach. Wykonać rysunek.
a) f (x) = 4 − x2 , (−1, f (−1)); b) f (x) = ln 2x,
c) f (x) =
√
3
x, (−1, f (−1)); d) f (x) = sin 2x,
1
, f (1) .
2
π
π
,f
6
6
.
4. Wyznaczyć punkt, w którym styczna do paraboli f (x) = x2 jest
a) równolegla do prostej y = −4x − 5,
b) prostopadla do prostej 2x − y + 5 = 0.
5. Wykorzystujac
różniczki zupelnej obliczyć przybliżona, wartość wyrażeń:
, pojecie
,
a)
q
3
8, 02, b) e0,15 ; c) ln 1, 015.
6. Wyznaczyć ekstrema i przedzialy monotoniczności danych funkcji:
x2
,
1−x
x2
8
d) f (x) =
+ 2
2
x
ln x
g) f (x) = √ .
x
a) f (x) =
4x
1 − x + x2
,
c)
f
(x)
=
,
x2 + 4
1 + x + x2
√
e) f (x) = −x2 x2 + 2, f ) f (x) = x − ln(1 + x2 ),
b) f (x) =
7. Wyznaczyć najwieksz
a, i najmniejsza, wartość funkcji na przedziale:
,
√
a) f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x − 8, h−3; 6i,
b) f (x) = x − x, h0; 5i
√
1
c) f (x) = 1 − 2x, h−4; 0i d) f (x) = x2 e x h1, 2i.
8. Wyznaczyć przedzialy wypuklości i wkles
wykresów
, lości oraz punkty przegiecia
,
nastepuj
acych
funkcji:
,
,
a) y = ln(x2 − 4),
e) y =
x
,
ln x
1
b) y = 3x5 − 10x4 − 30x3 − 2x, c) y = xe x ,
d) y =
x
,
4 − x2
f ) y = ln2 x + ln x.
9. Stosujac
, regule, de l’Hospitala obliczyć granice funkcji:
1) x→∞
lim
ln (ex + 1)
,
x
5) lim+ x2 ln x,
x→0
2) lim
x→0
x − sin x
,
x + sin x
1
6) lim x(e x − 1),
x→∞
3) lim
x→0
1 − cos x
,
+ e−x − 2
ex
1
7) lim x2 e x2 ,
x→0
tgx
,
x→ 2 tg3x
1
1
−
8) lim+
.
x→0
x ex − 1
4) limπ
10. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
x3
2x3
2x − 1
,
2)
f
(x)
=
,
3)
f
(x)
=
,
(x − 1)2
3 − x2
(x − 1)2
x4
4) f (x) = 3
, 5) f (x) = x3 e−x ,
6) f (x) = x − ln(x + 1),
x −1
√
√
1
7) f (x) = x 1 − x2 ,
8) f (x) = xe− x
9) f (x) = ln (x + x2 + 1),
√
x
10) f (x) = (x + 1) 3 x − 1,
11) f (x) = ln cos x,
12) f (x) =
.
ln x
1) f (x) =
11. Spośród wszystkich prostokatów,
które można wpisać w trójkat
,
, równoboczny a
boku a wybrać ten, który ma najwieksze
pole.
,
12. Liczbe, 36 rozlożyć na dwa czynniki tak, aby suma ich kwadratów byla najmniejsza.