Zestaw do domu nr 1 1) Zbadac metoda przeciec wykres funkcji z

Zestaw do domu nr 1
1) Zbadać metoda̧ przeciȩć wykres funkcji z = xy. Co przedstawiaja̧
przekroje pÃlaszczyznami x =const, y =const, z =const.
2) Znajdź najwiȩkszy podzbiór R2 , dla którego poniższa funkcja jest poprawnie
określona
1
1
z(x, y) := √
+√
.
x+y
x−y
3) W kulȩ o promieniu R wpisany jest ostrosÃlup o podstawie prostoka̧tnej;
rzut wierzchoÃlka ostrosÃlupa znajduje siȩ w punkcie przeciȩcia przeka̧tnych
podstawy. Objȩtość v ostrosÃlupa jest funkcja̧ boków x i y jego podstawy. Czy funkcja ta jest jednoznaczna? Znaleźć analityczne wyrażenie
tej funkcji, zbadać w jakim obszarze funkcja ma sens.
4) Znaleźć granicȩ:
−1
e x2 +y2
lim
.
(x,y)→(0,0) x4 + y 4
5) Znajdź najwiȩkszy podzbiór R2 , dla którego poniższa funkcja jest poprawnie
określona
1
z(x, y) :=
.
x−y
Wyznacz punkty jej niecia̧gÃlośći i czy mozna ja̧ przedÃlużyć w sposób
cia̧gÃly w niektórych punktach.
6) Zbadać cia̧gÃlość funkcji:
(
f (x, y) :=
x4 −y 4
x4 +y 4
0
dla (x, y) 6= (0, 0)
dla (x, y) = (0, 0).
7) Znaleźć powierzchnie warstwicowe (tj. powierzchnie na których funkcja
jest staÃla) funkcji:
p
1 + x2 + y 2 + z 2
p
.
u(x, y, z) := ln
1 − x2 + y 2 + z 2
1
8) Czy istnieje granica
lim
(x + y) sin
(x,y)→(0,0)
1
1
sin ?
x
y
Czy istnieja̧ granice iterowane:
µ
µ
¶
¶
1
1
1
1
lim lim (x + y) sin sin
, lim lim (x + y) sin sin
?
x→0 y→0
x
y y→0 x→0
x
y
2