Algebra liniowa, WNE, 2016/2017 kolokwium 1. poprawkowe

Algebra liniowa, WNE, 2016/2017
kolokwium 1. poprawkowe
6 luty 2017
Ogólne informacje
Za kolokwium można dostać maksymalnie 4 punkty, ale za każde zadanie można dostać maksymalnie 1, 2 punktu, co
oznacza, że jeśli ktoś zdobędzie w sumie powyżej 4 punktów jego ostateczny wynik z kolokwium wyniesie równo 4 punkty.
Za każde zadanie można dostać następującą liczbę punktów:
• 0 – za mniej niż pół zadania,
• 0,4 – za co najmniej pół zadania
• 1 – za całe zadanie z drobnymi usterkami (np. błędami rachunkowymi)
• 1,2 – za całe zadanie
Nie wolno korzystać z urządzeń elektronicznych! Napotkane układy równań rozwiąż sprowadzając macierze do postacie schodkowej zredukowanej.
Zadanie 1
Zadanie 3.
Alojzy udał się do sklepu i kupił jeden ananas, 2 banany,
cytrynę oraz 3 drożdżówki. Następny w kolejce, Bonifacy
zakupił 2 ananasy, 3 banany oraz 4 cytryny. Natomiast zakupy Cezarego, to ananas, banan, 4 cytryny oraz 3 drożdżówki. Stojący za nimi w kolejce do kasy łakomczuch Doroteusz ma w koszyku 2 ananasy, banana, 15 cytryn i aż 30
drożdżówek. Doroteusz nie zapamiętał cen poszczególnych
produktów, ale widzi, że Alozjy, Bonifacy i Cezary za swoje
zakupy zapłacili odpowiednio 18, 29 i 18 PLN. Nudząc się
w kolejce, próbuje obliczyć, ile dokładnie pieniędzy zapłaci
za swoje zakupy. Czy jest w stanie to wyliczyć? Jeśli tak,
to jaką kwotę musi przygotować? Zadanie rozwiąż sprawdzając, czy odpowiedni układ równań nie jest sprzeczny –
sprawdź, czy odpowiedni wektor jest kombinacją liniową
pozostałych.
Dane są w przestrzeni R4 podprzestrzeń Vt rozwiązań układu równań:
x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0
2x1 − 2x2 + 2x3 + tx4 = 0
oraz Ws = lin((1, 2, 1, 0), (1, 2s − 2, −1, s2 − 1)).
• znajdź bazę i wymiar podprzestrzeni Vt w zależności
od t ∈ R.
• uzupełnij znalezioną bazę dla t = 1 do bazy całej
przestrzeni R4 .
• oblicz w znalezionej bazie R4 współrzędne wektora
(2, 0, 1, 7)
Zadanie 2.
• dla jakich wartości s, t ∈ R, Ws ⊆ Vt (każdy wektor
przestrzeni Ws jest w przestrzeni Vt )?
Zbadać dla jakich wartości s, t ∈ R następujący układ równań:

x + y + z = 1
3 + (2 − t)y + 7z = s + 3

−2x − 3y = −3
• a dla jakich wartości s, t ∈ R, Ws = Vt ?
Zadanie 4.
Znaleźć bazę i wymiar podprzestrzeni przestrzeni R3 rozpiętej na wektorach (1, 2, −1, 2, −1), (2, 5, −2, 5, 3) oraz
(3, 7, −3, 7, 2). Następnie znaleźć układ równań jednorodnych opisujący tę podprzestrzeń.
jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla jakich
sprzeczny. W przypadku, gdy s = −1, t = 0 podać jego
rozwiązanie. Podać przykład takiej bazy przestrzeni R3 , że
wektor ten ma w niej współrzędne 1, 1, 0.
1