Algebra liniowa, WNE, 2016/2017 kolokwium 1. poprawkowe

Algebra liniowa, WNE, 2016/2017
kolokwium 1. poprawkowe – rozwiązania
6 luty 2017
Zadanie 1
Alojzy udał się do sklepu i kupił jeden ananas, 2 banany, cytrynę oraz 3 drożdżówki. Następny w kolejce,
Bonifacy zakupił 2 ananasy, 3 banany oraz 4 cytryny. Natomiast zakupy Cezarego, to ananas, banan, 4 cytryny
oraz 3 drożdżówki. Stojący za nimi w kolejce do kasy łakomczuch Doroteusz ma w koszyku 2 ananasy, banana,
15 cytryn i aż 30 drożdżówek. Doroteusz nie zapamiętał cen poszczególnych produktów, ale widzi, że Alozjy,
Bonifacy i Cezary za swoje zakupy zapłacili odpowiednio 18, 29 i 18 PLN. Nudząc się w kolejce, próbuje obliczyć,
ile dokładnie pieniędzy zapłaci za swoje zakupy. Czy jest w stanie to wyliczyć? Jeśli tak, to jaką kwotę musi
przygotować? Zadanie rozwiąż sprawdzając, czy odpowiedni układ równań nie jest sprzeczny – sprawdź, czy
odpowiedni wektor jest kombinacją liniową pozostałych.
Zatem rozmawiamy o następujących wektorach odpowiadającym zakupom poszczególnych osób:
α = (1, 2, 1, 3), β = (2, 3, 4, 0), γ = (1, 1, 4, 3) oraz δ = (2, 1, 15, 30). Doroteusz będzie w stanie policzyć wartość
swoich zakupów, jeśli δ jest kombinacją liniową wektorów α, β, γ. Zatem układ równań to:




1 2
1
2
1 2 1 2
 2 3 1 1 



 2 − 2w1 , w3 − w1 , w4 − 3w1  0 −1 −1 −3  w2 · (−1)
 1 4 4 15  w

 −−−−−−→
0
2
3
13
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
3 0 3 30
0 −6 0
24

1
 0

 0
0
2
1
2
−6


1 2 1
1 2
 0 1 1
1 3 
 w3 − 2w2 , w4 + 6w2 
3 13  −−
−−−−−−−−−−−−→  0 0 1
0 24
0 0 6



1 2 0 −5
1
 0 1 0 −4 
 0

 1 − 2w2 
 0 0 1 7 w
−−−−−−→  0
0 0 6 42
0

2
3 
 w1 − w3 , w2 − w3 , w4 − 6w1
7  −−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
42

0 0 3
1 0 −4 
.
0 1 7 
0 6 42
A zatem rzeczywiście δ jest taką kombinacją liniową α, β, γ. Oraz:
δ = 3α − 4β + 7γ.
Zatem Doroteusz zapłaci 3 · 18 − 4 · 29 + 7 · 18 = 64 PLN.
Zadanie 2.
Zbadać dla jakich wartości s, t ∈ R następujący układ równań:


x + y + z = 1
3 + (2 − t)y + 7z = s + 3


−2x − 3y = −3
jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla jakich sprzeczny. W przypadku, gdy s = −1, t = 0 podać jego
rozwiązanie. Podać przykład takiej bazy przestrzeni R3 , że wektor ten ma w niej współrzędne 1, 1, 0.
1
Rozwiązuję zadany układ równań (zapisuje zmienne w kolejności x, z, y):




1
1
1 1
1
1 1
1
 3 7 −t + 2 s + 3  w2 − 3w1 , w3 + 2w1  0 4 −t − 1 s  w2 ↔ w3
−−−−−−→
−−−−−−−−−−−−−−→ 0 2
−3
−1
−2 0
−3
−1




1
1
1 1
1
1 1
1
 0 2
−1
−1  w3 − 2w2  0 2
−1
−1  .
−−−−−−→
0 4 −t − 1 s
0 0 −t + 1 s + 2
I mamy postać schodkową, z której widać, że:
• układ jest sprzeczny, jeśli t = 1, s 6= −2,
• układ jest oznaczony, jeśli t 6= 1,
• układ jest nieoznaczony, jeśli t = 1 oraz s = −2.
Pracujemy dalej dla s = −1, t = 0:


1 1 1
1
1 1 0
 0 2 −1 −1  w1 − w3 , w2 + w3  0 2 0
−−−−−−−−−−−−→ 0 0 1
0 0 1
1



0
1 1 0
0  w2 · 1/2  0 1 0
1 −−−−−→ 0 0 1


0
1
0  w1 − w2  0
−−−−−→
1
0
0
1
0
0
0
1

0
0 .
1
A zatem szukane rozwiązanie to (0, 1, 0).
Przykładowa baza R3 , w której ten wektor ma współrzędne 1, 1, 0, to na przykład
(1, 2, 0), (−1, −1, 0), (0, 0, 1)
bo oczywiście te wektory są liniowoniezależne oraz (0, 1, 0) = (1, 2, 0) + (−1, −1, 0).
Zadanie 3.
Dane są w przestrzeni R4 podprzestrzeń Vt rozwiązań układu równań:
(
x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0
2x1 − 2x2 + 2x3 + tx4 = 0
oraz Ws = lin((1, 2, 1, 0), (1, 2s − 2, −1, s2 − 1)).
• znajdź bazę i wymiar podprzestrzeni Vt w zależności od t ∈ R.
• uzupełnij znalezioną bazę dla t = 1 do bazy całej przestrzeni R4 .
• oblicz w znalezionej bazie R4 współrzędne wektora (2, 0, 1, 7)
• dla jakich wartości s, t ∈ R, Ws ⊆ Vt (każdy wektor przestrzeni Ws jest w przestrzeni Vt )?
• a dla jakich wartości s, t ∈ R, Ws = Vt ?
A zatem zaczynamy od rozwiązania układu równań na Vt :
1
1 −1 1 2 0
w2 − 2w1
2 −2 2 t 0 −−−−−−→ 0
−1
0
1
2
0 t−4
0
0
A zatem w drugim wierszu mamy schodek tylko gdy t 6= 4. Czyli mam dwa przypadki:
• t = 4, to dim Vt = 3 i baza to (1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−2, 0, 0, 1)
• t 6= 4, to dim Vt = 2 i baza to (−1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0).
Widać, że dodając do tej bazy wektory (1, 0, 0, 0) oraz (0, 0, 0, 1) dostajemy bazę R4 . Zapisując wektory
(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) bardzo łatwo sprowadzić ją do postaci schodkowej i nie będzie tam
wiersza zerowego.
Bardzo łatwo też wyliczyć odpowiednie współrzędne, więc: (2, 0, 1, 7) = 3 · (1, 0, 0, 0) + 0 · (1, 1, 0, 0) + 1 ·
(−1, 0, 1, 0) + 7 · (0, 0, 0, 1) – czyli szukane współrzędne to 3, 0, 1, 7.
Aby Vt ⊆ Ws , wektory Ws muszą spełniać równania na Vt . Z pierwszym wektorem nie ma problemu. Jeśli
t = 4, to mamy tylko jedno równanie, z którego otrzymujemy, że 2s(s − 1) = 0. Zatem w tym przypadku s = 0
lub s = 1. Jeśli t 6= 4, to dodatkowo s2 − 1 = 0, czyli jedyna opcja to s ∈ {−1, 1} ∩ {0, 1}, czyli s = 1.
Aby Vt = Ws , dodatkowo muszą się jeszcze zgadzać wymiary, co ma miejsce, wtedy i tylko wtedy gdy
t 6= 4 ∧ s = 1, bo wtedy dim Vt = dim Ws = 2.
2
Zadanie 4.
Znaleźć bazę i wymiar podprzestrzeni przestrzeni R3 rozpiętej na wektorach (1, 2, −1, 2, −1), (2, 5, −2, 5, 3) oraz
(3, 7, −3, 7, 2). Następnie znaleźć układ równań jednorodnych opisujący tę podprzestrzeń.
Znajdujemy bazę:






1 2 −1 2 −1
1 2 −1 2 −1
1 2 −1 2 −1
 2 5 −2 5 3  w2 − 2w1 , w3 − 3w1  0 1 0 1 5  w3 − w2  0 1 0 1 5 
−−−−−→
−−−−−−−−−−−−−−→ 0 1 0 1 5
3 7 −3 7 2
0 0 0 0 0
A zatem baza to (1, 2, −1, 2, −1), (0, 1, 0, 1, 5), a wymiar badanej podprzestrzeni to 2. Kontynuujemy tym
razem rozwiązywanie układu równań na współczynniki szukanego układu równań:
1 2 −1 2 −1
1 0 −1 0 −11
w1 − 2w2
.
0 1 0 1 5
5
−−−−−−→ 0 1 0 1
A zatem baza przestrzeni współczynników to (1, 0, 1, 0, 0), (0, −1, 0, 1, 0), (11, −5, 0, 0, 1) a zatem odpowiadający jej szukany układ równań to:


x1 + x3 = 0
−x2 + x4 = 0


11x1 − 5x2 + x5 = 0
3