TGR - Z6. Planarność i kolorowanie map. Ćw. 10 czerwca 1

TGR - Z6. Planarność i kolorowanie map.
Ćw. 10 czerwca
1. Uzasadnij, że wszystkie grafy na 5 wierzchołkach, oprócz K5 , są planarne (proszę nie korzystać z tw.
Kuratowskiego).
2. Zbadaj, czy graf Petersena jest planarny. Jeśli tak – narysuj go płasko, jeśli nie – znajdź w nim T K3,3
lub T K5 .
3. Czy istnieje graf planarny o minimalnym stopniu 6?
4. Czy to prawda, że jeśli e(G) ≤ 3v(G) − 6, to G jest planarny ?
5. Wyprowadź odpowiednik wzoru Eulera dla grafu płaskiego o t składowych.
6. Udowodnij, że każdy graf planarny można narysować a) w ℜ3
b) na płaszczyźnie tak, aby krawędzie
były odcinkami.
7. Czy w płaskim grafie dwuspójnym o minimalnym stopniu δ ≥ 2 może istnieć ściana, która nie jest
cyklem?
8. Załóżmy, że G jest grafem planarnym i nie zawiera trójkątów. Udowodnij, że e(G) ≤ 2v(G) − 4.
9. K3,3 nie jest planarny (nie korzystając z tw. Kuratowskiego).
10. Dane jest n ≥ 3 punktów na płaszczyźnie, a odległość między dowolnymi dwoma wynosi co najmniej
1. Pokaż, że jest najwyżej 3n − 6 par punktów, między którymi odległość wynosi dokładnie 1.
....................................................................................................
11. Wskaż wartości k, dla których k-kostka jest grafem planarnym.
12. Udowodnij, że każda ściana S grafu płaskiego „może przejść na zewnątrz", tzn. możemy odpowiadający
graf planarny narysować tak, aby brzeg S stał się brzegiem ściany zewnętrznej.
13. Znajdź graf na na 6 wierzchołkach różny od K3,3 , który jest minimalny nieplanarny, tzn. że dowolny
jego podgraf właściwy jest planarny.
14. Czy dopełnienie triangulacji może być triangulacją ?
15. Wyznacz wszystkie wartości k, dla których istnieje k-regularna triangulacja.
16. Narysuj
a) płaski graf 2-spójny o minimalnym stopniu większym niż 2, dla którego G∗ ma krawędzie wielokrotne.
b) 2-spójne grafy płaskie G1 i G2 , które są izomorficzne (w sensie grafowym), ale G∗1 i G∗2 nie są
izomorficzne.
c) 2-spójne grafy płaskie G1 i G2 , które nie są izomorficzne (w sensie grafowym), ale G∗1 i G∗2 są
izomorficzne.
17. Czy istnieje mapa, na której każdy obszar graniczy z co najmniej sześcioma różnymi obszarami ? Punkt
nie jest granicą.
18. Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma graf dualny do triangulacji na n wierzchołkach ?
19. Dla każdej figury platońskiej znajdź najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania jej ścian.
20. Załóżmy, że G jest minimalnym w sensie inkluzji grafem planarnym o liczbie chromatycznej 4
(tzn. wszystkie jego właściwe podgrafy mają χ < 4). Czy możliwe jest, że a) δ(G) ≤ 3 ? b) κ(G) = 1 ?
21. Czy to prawda, że jeżeli χ(G) = 4, to G jest planarny ?
22. Załóżmy, że każde państwo ma po jednej kolonii na ksieżycu. Chcemy obie mapy pomalować minimalną
liczbą kolorów tak, by każdy kraj miał ten sam kolor co jego kolonia i oba kolorowania były właściwe.
Niech kmin oznacza najmniejszą liczbę kolorów, jaką możemy to osiągnąć niezależnie od wyglądu obu
map. Pokaż, że 8 ≤ kmin ≤ 12.
23. Rozważmy minimalny w sensie inkluzji graf planarny o liczbie chromatycznej 4. Jakie wartości może
przyjąć δ takiego grafu ? Dla każdego przypadku podaj przykład odpowiedniego grafu.
24. Podaj przyklad planarnego grafu 3-regularnego G, dla którego χ′ = 4.
25. Załóżmy, że każde ziemskie państwo ma po jednej kolonii na Ksieżycu i po jednej na Marsie. Chcemy
wszystkie trzy mapy pomalować minimalną liczbą kolorów tak, by każdy kraj miał ten sam kolor co jego
kolonie i wszystkie trzy kolorowania były właściwe. Niech kmin oznacza najmniejszą liczbę kolorów,
jaką możemy to osiągnąć niezależnie od wyglądu map Ziemi, Marsa i Księżyca. Oszacuj jak najlepiej
z dołu i z góry kmin . (Gdyby to zadanie było na kolokwium, to maksimum punktów uzyskalibyście
Państwo, jeśli oszacowania górne i dolne różniłyby się o mniej niż 10).