Teoria Grafów – Wydział Matematyki

Teoria Grafów – Wydział Matematyki
8.11.2016
Lista 3. Grafy planarne.
1. Zbadaj planarność poniższych grafów:
r
r
r
r
r
r
r
r
r
b
r
"
b "" @
r
r @r
b
"
" bb
br
r
"
r
r
@
@r
r
@
@r
r
r
r
2. Narysuj dwa nieizomorficzne grafy o tej samej liczbie wierzchołków, które są maksymalnie planarne,
tzn. dorysowanie w nich jakiejkolwiek krawędzi zepsuje ich planarność.
3. Czy każdy minimalnie nieplanarny graf posiada krawędź, po usunięciu której staje się maksymalnie
planarnym?
4. Niech n > 3. Korzystając ze wzoru Eulera, wykaż, że graf planarny o n wierzchołkach ma co najwyżej:
a) 2n − 4 ścian, b) 3n − 6 krawędzi,
c) 2n − 4 krawędzi, jeżeli żadna ściana nie jest trójkątem.
5. Czy można 10 miast połączyć nieprzecinającymi się drogami, tak aby z każdego miasta wychodziło 5
dróg prowadzących do 5 innych miast?
6. Dla jakich n graf kostki n-wymiarowej Qn jest planarny?.
7. Nie korzystając z tw. Kuratowskiego, uzasadnij, że graf Petersena nie jest planarny.
8. Wierzchołkami grafu G są wierzchołki ośmiokąta foremnego, a krawędziami są boki tego ośmiokąta i
cztery przekątne, łączące przeciwległe wierzchołki. Uzasadnij na dwa sposoby (z tw. Kuratowskiego i
bez tego tw.), że G nie jest planarny.
9. Uzasadnij, że każdy graf planarny o minimum 3 wierzchołkach:
a) posiada 3 wierzchołki stopnia co najwyżej 5;
b) nie zawierający trójkątów, posiada 3 wierzchołki stopnia co najwyżej 3.
10. Pokaż, że grafy K5 oraz K3,3 można planarnie narysować na powierzchni torusa i na wstędze Möbiusa.
11. Pokaż, że na torusie można planarnie narysować grafy K4,4 , K6 oraz Q4 .
12. Jaka jest najmniejsza liczba krawędzi, które trzeba usunąć z grafu Kn , aby otrzymać graf planarny?
13. Jaką największą liczbę krawędzi można dodać do drzewa o 15 wierzchołkach, aby otrzymany w ten
sposób graf o tym samym zbiorze wierzchołków był nadal planarny?
14. Wielościan wypukły ma ściany kwadratowe i sześciokątne, a w każdym wierzchołku stykają się trzy
ściany. Ile ma ścian kwadratowych? Podaj trzy różne przykłady takich grafów?
15. Planarny i dwudzielny graf G jest regularny stopnia r. Uzasadnij, że r 6 3. Czy istnieją takie grafy
dla r = 3?
16. Czy istnieje płaski graf jednorodny stopnia 3, w którym jest tyle samo trójkątów, czworokątów i
pięciokątów?
17. Korzystając z twierdzenia Kuratowskiego, uzasadnij, że poniższe grafy nie są planarne.
t
s
s
s
s
s s
s
s
s
s
graf Petersena
t
t t t
t t
t
t
t
t
graf Grötzscha
t
t
@t
t
@
@
t @t
@
t
@t
s
s
s
@s
s
s
@
@s s
s s
s @s
@s
s
s
@s
Q4 – kostka 4D
18. Zmodyfikuj dowód twierdzenia o grafach platońskich tak, aby pokazać, że jedynymi wielokątami planarnymi, jakimi da się pokryć całą płaszczyznę są trójkąty, kwadraty i sześciokąty.
1/1