Ćwiczenia do §8

Ćwiczenia do § 8
8.1
Oblicz gru bość, liczbę p rzecięć, stop ień n iep lan arn ości oraz gen u s d la n astęp u jący ch grafów :
(a) K4 ;
(b) L(K4 );
(c) Q4 ;
(d) L(Q3 ).
8.2
Oblicz gru bość, liczbę p rzecięć, stop ień n iep lan arn ości oraz gen u s d la n astęp u jący ch grafów :
(a) K2,4 ;
(b) L(K2,4 );
(c) W5 ;
(d) L(W5 ).
(a)
(b)
(c)
(d)
K2,4 ;
L(K2,4 );
W5 ;
L(W5 ).
8.5
Ustal, k tóre z p on iższy ch grafów m ożn a n ary sow ać
bez p rzecięć n a p łaszczy źn ie w tak i sp osób, że w szy stk ie
w ierzch ołk i zn ajd ą się n a zew n ętrzn ej ścian ie.
r
r
r
r
(a)
r (b)
r
r
8.3
Ustal, k tóre z p on iższy ch grafów są p lan arn e.
Następ n ie n ary su j je, zazn aczając n a ry su n k u p od graf
h om eom orfi czn y z K3,3 lu b K5 (o ile tak i istn ieje).
(a)
(b)
(c)
(d)
K6 bez trzech tw orzący ch trójk ąt k raw ęd zi;
L(K2,4 );
d w a grafy Q3 p ołączon e m ostem ;
L(W5 ).
8.4
Ustal, k tóre z p on iższy ch grafów są p lan arn e.
Następ n ie n ary su j je, zazn aczając n a ry su n k u p od graf
h om eom orfi czn y z K3,3 lu b K5 (o ile tak i istn ieje).
Teo ria G ra fó w i Sieci
r
r
r
r
r
8.6
Ustal, k tóre z p on iższy ch grafów m ożn a n ary sow ać
bez p rzecięć n a p łaszczy źn ie w tak i sp osób, że w szy stk ie
w ierzch ołk i zn ajd ą się n a zew n ętrzn ej ścian ie.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(b)
(a)
r
r
r
r
r
r
85
Zadania do §8
8.7
Dla jakich liczb naturalnych r, s i t grafy Kr,s i
Kr,s,t są planarne?
8.8
C zy istnieje 3-regularny graf planarny bez trójkątów? Dla jakich r ∈ N istnieje chociaż jeden r-regularny
graf planarny?
8.9
Dla jakich n ∈ N istnieje chociaż jeden nwierzchołkowy graf planarny o m = 3n − 6 krawędziach?
8.10 Dla każdego n ≤ 8 skonstruuj n-wierzchołkowy
graf planarny, którego dopełnienie jest planarne.
8.11e Dla jakich r ∈ N istnieje chociaż jeden r-regularny
dwudzielny graf planarny?
8.12e C zy istnieje graf, który jest nieeulerowski, niehamiltonowski, spójny, nieplanarny i na dodatek nie zawiera
trójkątów?
8.15 Niech k ≥ 6 oraz n ≥ 3 będą liczbami naturalnymi. W ykaż, że każdy spójny n-wierzchołkowy graf plak−6
12
narny G ma co najmniej k−1
n+ k−1
wierzchołków stopnia
mniejszego niż k.
8.16 Niech n ≥ 4 będzie liczbą naturalną. W ykaż, że
każdy n-wierzchołkowy graf planarny posiada co najmniej
4 wierzchołki stopnia mniejszego niż 6.
8.17 Niech n ≥ 3 będzie liczbą naturalną. W ykaż, że
każdy n-wierzchołkowy graf planarny bez trójkątów posiada co najmniej 3 wierzchołki stopnia mniejszego niż 4.
8.18 Niech Gi będzie ni -wierzchołkowym grafem stopnia ∆i o mi krawędziach dla i = 1 , 2. W ykaż, że jeżeli
grafy G1 , G2 są homeomorficzne, to
(a) m1 − n1 = m2 − n2 ;
(b) graf G1 jest eulerowski, wtedy i tylko wtedy, gdy graf
G2 jest eulerowski;
(c) jeżeli ani G1 , ani G2 nie jest ścieżką, to ∆1 = ∆2 .
8.13 W ykaż, że dopełnienie spójnego grafu planarnego
jest grafem posiadającym co najwyżej 4 składowe spójności, z których co najwyżej jedna ma więcej niż 2 wierzchołki. C zy implikacja odwrotna jest prawdziwa?
8.19 W ykaż, że każdy graf jest homeomorficzny z
pewnym grafem dwudzielnym.
8.14 Niech n ≥ 3 będzie liczbą naturalną. W ykaż, że jeżeli G jest spójnym n-wierzchołkowym grafem planarnym
o m krawędziach i obwodzie równym r, to m ≤ r n−2
r−2 .
8.20 Ustal, czy istnieje taki graf planarny, w którym
każdy wierzchołek ma stopień większy lub równy 5 i żadne
dwa wierzchołki stopnia 5 nie sąsiadują z sobą.
Teoria Grafów i Sieci
86