Przy rozpatrywaniu zagadnienia Cauchy`ego dla układu (2) tak jak w

Przy rozpatrywaniu zagadnienia Cauchy’ego dla układu (2) tak jak w przypadku jednego równania różniczkowego wyłaniają się kwestie istnienia i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego, a także sprawy własności rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego jako funkcji zmiennej niezależnej i jako funkcji danych początkowych.
Sprawami tymi zajmujemy się w rozdziale V. Okazuje się, że dla istnienia różniczkowalnego w sposób ciągły rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego dla układu (2) wystarczy
założyć, że prawe strony tego układu są ciągłe w otoczeniu danych początkowych (twierdzenie Peano).
106. Warunki wystarczającte istnienią i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego W rozdziale V dowiedziemy, że jeśli prawe strony układu (2)
spełniają w otoczeniu danych początkowych pewne warunki, to istnieje jednoznaczne rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego z tymi danymi początkowymi, określone w pewnym
otoczeniu wartości początkowej zmiennej niezależnej i że własności rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego są w pełni określone przez własności prawych stron układu (2) i przez
dane początkowe. Teraz przytoczymy bez dowodu podstawowe twierdzenie o istnieniu i
jednoznaczności (twierdzenie Picarda) dla układu (2) w uproszczonym sformułowaniu.
Twierdzenie. Niech będzie dany układ normalny (2)
dy1
= f1 (x, y1 , y2 , ... , yn ) ,
dx
dy2
= f2 (x, y1 , y2 , ... , yn ) ,
dx
........................
dyn
= fn (x, y1 , y2 , ... , yn ) .
dx
i niech postawione będą warunki początkowe (22),
(0)
y1 = y1
,
(0)
y2 = y2
,
... ,
yn = yn(0)
dla x = x0 .
Załóżmy, że funkcje występujące w prawych stronach układu (2) są określone w pewnym
domkniętym i ograniczonym obszarze R
|x − x0 | ¬ a ,
(0)
(0)
(0)
|y − y0 | ¬ b
(k = 1, 2, ... , n)
(0)
z punktem (x (0) , y1 , y2 , ... , yn ) leżącym wewnątrz niego (a i b są danymi liczbami dodatnimi) i spełniają w tym obszarze dwa następujące warunki:
I. Funkcje fk (x, y1 , y2 , ... , yn )(k = 1, 2, ... , n) są ciągłe względem wszystkich argumentów, a więc są ograniczone, tj
(27)
|fk (x, y1 , y2 , ... , yn )| ¬ M
(k = 1, 2, ... , n) ,
gdzie M jest stałą liczbą dodatnią, a (x, y1 , y2 , ... , yn ) jest dowolnym punktem obszaru R
II. Funkcje fk (x, y1 , y2 , ... , ym ) mają ograniczone pochodne cząstkowe względem argumentów y1 , y2 , ... yn , tj.
∂fk (x, y1 , y2 , ... , yn ) ¬K
(28)
(k, l = 1, 2, ... , n) .
∂yl
176
gdzie K jest stałą liczbą dodatnią, a (x, y1 , y2 , ... , yn ) dowolnym punktem obszaru R.
Przy tych założeniach układ (2) ma jednoznaczne rozwiązanie (20)
y1 = y1 (x) ,
y2 = y2 (x) ,
... ,
yn = y( x) ,
spełniające warunki początkowe (22). Rozwiązanie to jest na pewno określone i różniczkowalne w sposób ciągły(1) w przedziale
(29)
|x − x0 | ¬ h ,
gdzie
b
h = min a ,
.
M
(30)
Z twierdzenia tego wynika, że jeżeli prawe strony układu (2) są wielomianami względem swoich argumentów, to przy wszelkich danych początkowych istnieje jednoznaczne
rozwiązanie układu (2) z tymi danymi początkowymi.
107. Rozwiązanie ogólne(2). Rodzinę rozwiązań układu (2) zależną od n stałych
dowolnych C1 , C2 , ... , Cn
y1 = ϕ1 (x, C1 , C2 , ... , Cn ) ,
y2 = ϕ2 (x, C1 , C2 , ... , Cn ) ,
(31)
.........................
yn = ϕn (x, C1 , C2 , ... , Cn ) .
nazywa się zwykle rozwiązaniem ogólnym tego układu. Geometrycznie jest to rodzina krzywych całkowych w (n + 1)-wymiarowej przestrzeni x, y1 , y2 , ... , yn , zależna od
n parametrów C1 , C2 , ... , Cn , przy czym równania tej rodziny rozwiązane są względem
y1 , y2 , ... , yn .
Niżej podajemy określenie rozwiązania ogólnego układu (2) w obszarze D zmienności
zmiennych x, y1 , y2 , ... , yn .
Jako obszar D będzie4my rozpatrywali obszar w przestrzeni xy1 y2 ... yn , w każdym
punkcie którego istnieje i jest jednoznaczne rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego dla układu (2).
Zbiór n funkcji
y1 = ϕ1 (x, C1 , C2 , ... , Cn ) ,
y2 = ϕ2 (x, C1 , C2 , ... , Cn ) ,
(32)
.........................
yn = ϕn (x, C1 , C2 , ... , Cn ) .
(1) Tj.
wszystkie funkcje y1 (x), y2 (x), ... , yn (x) mają ciągłe pochodne.
ustęp 8.
(2) Porównaj
177