III. Macierze. Reprezentacja odwzorowania liniowego

Algebra liniowa
1
III. Macierze
Macierz – definicja i zapis
Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę

a11
 .
A=
 ..
am1

. . . a1n
..
.. 

.
. 
. . . amn
złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też
czasem mówili, że „A jest macierzą m na n/m×n” lub „A jest wymiaru m×n”.1 Takie macierze oznaczamy
przez (aij )mn lub skrótowo (aij ). Liczby aij nazywamy współczynnikami macierzy. Zbiór macierzy wymiaru
m × n o współczynnikach rzeczywistych oznaczamy przez M (m, n). Przez przekątną główną macierzy
rozumiemy elementy (aii ). Dwie macierze są równe, gdy są tego samego wymiaru oraz ich współczynniki
są sobie równe, tzn. (aij ) = (bij ) wtw., gdy ∀i∈{1,...,m},j∈{1,...,n} aij = bij .
2
Przegląd macierzy
• macierze m × 1 — wektory(kolumnowe),
np.

1




 2 
1
h
i





A = 1 , B =  2 , C = 
 3 ;


3
 4 
5
• macierze kwadratowe (gdy m = n),
"
#
1
h
i
1 2

A = −3 , B =
,C= 4
3 4
7
np. 
2 3
5 6 
;
8 9
• macierze diagonalne — macierze kwadratowe, których jedyne niezerowe elementy
znajdują się na



−2
0
0 0
"
#
−2 0 0


h
i
1 0

 0 0 0 0 

głównej przekątnej, np. A = −3 , B =
, C =  0 5 0 , D = 
;
 0 0 4 0 
0 4
0 0 4
0 0 0 3
• macierze jednostkowe (identyczności) – macierze diagonalne, które na przekątnej mają same




1 0 0 0
"
#
1 0 0
0 1 0 0
h
i
1 0



2
1
jedynki: I1 =
, I2 =
, I3 =  0 1 0 , I4 = 
;
0 0 1 0
0 1
0 0 1
0 0 0 1
• macierzą zerową (ozn. ją przez 0 (0 ∈ M (m, n)), z kontekstu wnosząc jaki jest jej wymiar) jest
(dowolna) macierz złożona z samych zer.
• macierze górnie trójkątne to macierze, które poniżej głównej przekątnej mają same zera "(dualnie:
#
1 3
,
dolnie trójkątne to takie, które powyżej głównej przekątnej mają same zera), np. B =
0 4


−2 0 0

C=
 1 5 0 .
1 0 4
1
Aby uprościć notację i zawęzić na razie naszą uwagę, wszystkie definicje i twierdzenia formułujemy dla macierzy o współczynnikach rzeczywistych, ale analogiczne definicje i twierdzenia zachodzą dla macierzy o współczynników zespolonych.
2
W obliczeniach zazwyczaj będziemy opuszczać indeksy pisząc I, wymiar macierzy wnioskując z kontekstu.
c
FF
str. 1 z 5
Algebra liniowa
3
III. Macierze
Działania na macierzach
3.1
Dodawanie macierzy
Możemy dodawać jedynie macierze posiadające tę samą liczbę kolumn i wierszy. Dla A, B ∈ M (m, n),
A = (aij ), B = (bij ) mamy
A + B = (aij + bij ).
Podobnie
A − B = (aij − bij ).
Łatwo można sprawdzić, że
• 0 + A = A + 0 = A (mówimy, że 0 ∈ M (m, n) jest elementem neutralnym dodawania w M (m, n)),
• A + B = B + A (dodawanie macierzy jest przemienne),
• (A + B) + C = A + (B + C) (dodawanie macierzy jest łączne)
3.2
Mnożenie przez skalar
Jeśli α ∈ R, A = (aij ), to
α · A = (αaij ).
3.3
Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy (na pierwszy rzut oka) nie jest tak intuicyjne jak ich dodawanie. Taka a nie inna jego
postać wynika z zależności pomiędzy odwzorowaniami liniowymi i ich macierzami (zależności te omówione
są nieco dalej w tekście, patrz pkt 4.3). Należy pamiętać, że dla dowolnych macierzy A, B:
A · B istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn A odpowiada liczbie wierszy B
Wtedy jeśli A ∈ M (m, n), B ∈ M (n, p) (czyli liczba kolumn pierwszej macierzy równa jest drugiej), to
C = A · B istnieje, oraz C = (cij ) ∈ M (m, p), gdzie
cij =
n
X
aik bkj .
k=1
Aby łatwiej było zapamietać jak mnoży się macierze warto zauważyć, że w i-tym wierszu, j-tej kolumnie
macierzy C = A · B mamy wartość iloczynu skalarnego i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy
B (traktowanych jako wektory z Rn ).
Własności mnożenia macierzy
• Dla dowolnych macierzy A, B, C, które można przemnożyć, mamy A(BC) = (AB)C;
• mnożenie macierzy nie jest przemienne (nawet w przypadku mnożenia macierzy kwadratowych);
• jeśli A jest macierzą kwadratową, to AI = IA = A.
c
FF
str. 2 z 5
Algebra liniowa
3.4
III. Macierze
Transponowanie macierzy
Niech A ∈ M (m, n). Macierz transponowana AT (transpozycja macierzy
A),
to macierz, która powstaje


"
#
1 4
1 2 3


poprzez zamianę wierszy z kolumnami. Np. A =
, AT =  2 5 
4 5 6
3 6
Własności transponowania. Zakładając, że A, B są takie, że odpowiednie działania można wykonać,
mamy
• (A + B)T = AT + B T ,
• jeśli A ∈ M (m, n), to AT ∈ M (n, m),
• AT
T
• (AB)T = B T AT .
= A,
Warto też zauważyć, że dla dowolnych x, y ∈ Rn mamy
hx, yi = xT y.
3.5
Ślad macierzy
Ślad macierzy A to suma współczynników znajdujących się na głównej przekątnej:
tr A =
m
X
aii .
i=1
4
Macierz odwzorowania liniowego
4.1
Reprezentacja odwzorowania liniowego
Niech A ∈ M (m, n), v ∈ Rn , czyli

a11
 .

A =  ..
am1



v1
. . . a1n


..
.. 
 , v =  ..  .
 . 
.
. 
vn
. . . amn
Wtedy
Av =
 P
n
a v
 i=1 1i i


..

.

 P
n
ami vi




.


i=1
Przypomnijmy, że odwzorowanie (przekształcenie) T : Rn 7→ Rm jest liniowe, jeśli dla dowolnych x, y ∈ Rn
i α ∈ R zachodzą równości:
T (x + y) = T (x) + T (y) i T (αx) = αT (x).
Kluczowy dla nas jest następujący fakt:
Uwaga 1. Odwzorowanie liniowe T może być utożsamiane z macierzą MT wymiaru m × n, gdzie
T (x) = MT · x.
c
FF
str. 3 z 5
Algebra liniowa
III. Macierze
Uzasadnienie Uwagi 1 — wyprowadzenie.
Niech
h
iT
h
iT
h
iT
e1 = 1 0 . . . 0 , e2 = 0 1 0 . . . 0 , . . . , en = 0 0 . . . 0 1 ∈ Rn
oraz
iT
h
f1 = 1 0 . . . 0
iT
h
, f2 = 0 1 0 . . . 0
h
, . . . , fm = 0 0 . . . 0 1
iT
∈ Rm .
Niech T : Rn 7→ Rm będzie przekształceniem liniowym. Wtedy
T (ej ) = a1j f 1 + ... + amj f m =
m
X
aij f i ,
i=1
n
dla a1j , ..., amj ∈ R, j = 1, . . . , n. Stąd dla dowolnego x ∈ R mamy:
x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en , x = (x1 , ..., xn ),
m
X
y = T (x) =

n
X

i=1

aij xj  f i .
j=1
Widzimy, że odwzorowanie T jest jednoznacznie wyznaczone przez współczynniki aij . Co więcej, łatwo
zauważyć, że


m
X
n
X
aij xj  f i = MT · x,

i=1
j=1
gdzie

a11
a21
..
.

a12
a22
..
.
. . . α1n



. . . a2n 


MT = 
..
.. 

.
. 


am1 am2 . . . amn
jest macierzą odwzorowania T . Kolumny macierzy MT tworzą wektory, które są obrazami wektorów
e1 , . . . , en poprzez przekształcenie liniowe T :
MT = [T (e1 ) T (e2 ) ... T (en )].
Ostatecznie mamy
T (x) = MT · x.
Oznacza to, że zamiast badać odwzorowanie liniowe T : Rn 7→ Rm , możemy badać jego macierz MT ∈
M (m, n).
4.2
Przekształcenia płaszczyzny
• identyczność:
"
x1
x2
T
#!
"
#
"
1 0
MT =
;
0 1
#
#
"
a 0
0 b
x
= 1 ,
x2
• „rozciąganie i ściąganie”:
"
x1
x2
T
#!
"
ax1
=
,
bx2
MT =
#
;
• Symetria względem prostej y = x:
"
T
x1
x2
#!
"
#
"
x
= 2 ,
x1
MT =
0 1
1 0
#
;
• Obrót o kąt α ∈ [0, 2π):
"
T
c
FF
x1
x2
#!
"
#
cos αx1 − sin αx2
=
,
sin αx1 + cos αx2
"
Rα =
cos α − sin α
sin α cos α
#
.
str. 4 z 5
Algebra liniowa
4.3
III. Macierze
Sumowanie i mnożenie macierzy a odwzorowania liniowe
To w jaki sposób (i kiedy) dodajemy i mnożymy macierze jest ściśle związane ze związkami macierzy
z odwzorowaniami liniowymi. Dokładniej,
1. jeśli S, T : Rm 7→ Rn , ich macierze to MS , MT ∈ M (n, m), to MS+T = MS + MT , gdzie MS+T jest
macierzą odwzorowania S + T ,
2. jeśli S : Rp 7→ Rm , T : Rm 7→ Rn ich macierze to MS ∈ M (m, p), MT ∈ M (n, m), to MT ◦S = MT · MS ,
gdzie MT ◦S jest macierzą odwzorowania T ◦ S.
Ważne pojęcia i zagadnienia: macierz, współczynniki macierzy, rodzaje macierzy, dodawanie, mnożenie,
transpozycja macierzy i własności tych działań, reprezentacja odwzorowania liniowego, macierz odwzorowania liniowego macierze wybranych przekształceń płaszczyzny, zastosowania ekonomiczne macierzy.
c
FF
str. 5 z 5