Diagonalizacja macierzy

Algebra - zestaw 11 - 11-13 I 2017
Diagonalizacja i potęgowanie macierzy
Zadanie 1. Zdiagonalizować (przedstawić w postaci 𝑃 𝐷Λ 𝑃 −1 , gdzie 𝐷Λ jest macierzą
przekątniową)
macierze:
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
[
]
[
]
1 −1 1
2 0 1
3 4 −5
3 5
−3 2
a) ⎣−1 −1 2⎦, b)
, c) ⎣0 3 1⎦, d)
, e) ⎣8 7 −2⎦,
4 2
2 0
3
0 1
0 6 2
2 −1 8
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
[
]
[
]
0 1 0
1 −1 −1
1 −3 1
−7 1
0 −1
0 ⎦, i)
f) ⎣0 0 1⎦, g)
, h) ⎣1 1
, j) ⎣−3 1 −1⎦,
2 −5
5 4
0 −1 0
3 0
1
1 −1 5
Zadanie 2. Za pomocą [diagonalizacji
obliczyć
czwarte
potęgi
macierzy
z zadania 1.
]
4 3
Zadanie 3. Niech 𝐴 =
. Wyznaczyć 𝐴100 .
1 2
Zadanie 4. Niech 𝐴 bedzie górnie trójkatną macierzą, która na przekątnej ma liczby
1; 2; 9. Jak można uzasadnić fakt, że 𝐴 jest diagonalizowalna? Jak wyglada 𝐷Λ dla
macierzy 𝐴?
[ ]
1
Zadanie 5. Znaleźć macierz, której wartości własne to 1 i 4, a wektory własne to
i
3
[ ]
1
.
2
Zadanie 6. Niech 𝐴 będzie takie, że 𝐴2 = 𝐼.
a) Jakie wartości własne może posiadać 𝐴?
b) Zakładając, że 𝐴 jest macierzą 2 × 2 oraz 𝐴 ∕=
jej ślad i wyznacznik.
[ ±𝐼 znaleźć
]
3
−1
c) Jeśli pierwszy wiersz macierzy 𝐴 jest
postaci
,
wyznaczyć
𝐴.
[
]
√
5 4
Zadanie 7. Obliczyć 𝐴, jeśli 𝐴 =
.
4 5
Zadanie 8. Znormalizować kolumny poniższej macierzy do długości 1, a następnie
sprawdzić, czy tak zmodyfikowana
macierz
⎤ jest⎡macierzą ortogonalną:
⎤
⎡
[
]
[
]
1 1 −2
1 −1 3
1 2
5 −9
a)
,b)
,c)⎣ 1 1 2 ⎦, d) ⎣0 2 4⎦.
2 −1
12 4
−1 2 0
1 1 0
Zadanie 9. Poniższe macierze symetryczne 𝑃 𝐷Λ 𝑃 𝑇 , gdzie 𝑃 jest macierzą ortogonalną,
a 𝐷Λ jest postacią diagonalną macierzy. Następnie obliczyć setne potęgi tych macierzy
(w rozwiązaniu mogą się pojawić liczby typu 𝑥100 - nie trzeba wykonywać potęgowania,
jednak proszę o wykonanie wszystkich
pozostałych
⎤
⎡ mnożeń).
⎤
⎡
[
]
[
]
1 −3 1
3 0 0
1 2
1 −1
a)
, b)
c) ⎣−3 1 −1⎦, d) ⎣0 0 1⎦.
2 −1
−1 1
1 −1 5
0 1 0
Zadanie 10. Niech 𝐴 ∈ 𝑀 (3, 3), zaś jej wartości własne to −1, 0, 2. Które stwierdzenia
są prawdziwe? a) Macierz 𝐴𝑇 − 4𝐼 jest określona ujemnie, b) Suma wartości własnych
macierzy 𝐴𝑇 𝐴 wynosi 5, c) det(𝐴(𝐴𝑇 + 𝐼)) = 1, d) Jeśli 𝐴 jest symetryczna, to wartości
własne macierzy 𝐴𝑇 𝐴 to 0, 1, 4.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski
1