pobierz

WYKŁAD 2
1.2. Macierze. Układy równań algebraicznych
1.2.1.
Macierze – podstawowe określenia. Działania na macierzach.
Układy równań liniowych. Równania macierzowe. Macierze
odwracalne i ich znaczenie dla rozwiązywania układów równań
1A42 (Definicja: macierz rzeczywista i zespolona). Macierzą rzeczywistą
(zespoloną) A wymiaru m  n , gdzie m, n , nazywamy prostokątną tablicę
złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i
n kolumnach:
 a11 a12

 a21 a22

A 
 ai1 ai 2


a
 m1 am 2
a1 j
a1n 
a2 j
a2n 



ain   i  ty wiersz


amn 
aij
amj

j-ta kolumna
co zapisujemy A mn (odpowiednio A mn ) .
Uwaga. Macierze będziemy oznaczali dużymi literami alfabetu: A ,B, X itp.
Element macierzy A stojący w i-tym wierszu oraz w j-tej kolumnie oznaczamy
przez a i j . Wtedy macierz A można także zapisać w postaci [ai j ]mn lub [ai j ] ,
gdy znany jest jej wymiar. Rozważa się także macierze, których elementami są
funkcje rzeczywiste lub zespolone i na odwrót funkcje, których argumentami są
macierze.
1A+B43 (Przykłady):
0 0 0 
 23 ,
43.1) 

0 0 0 
1 j 
 22 ,
43.2) 

 j 1
an ] 
43.3) [a1 a2
1n
, jeżeli a j  , j  1,..., n,
 b1 
43.4)   
 
bm 
m1
def

m
, jeżeli b1,..., bm  ,
cos x  sin x 
43.5) 
 jest macierzą wymiaru 2x2
 sin x cos x 
itd.
Tutaj macierze 43.1), 43.3), 43.4) są rzeczywiste, macierz 43.2) jest zespolona, a
43.5) jest macierzą funkcyjną (rzeczywistą).
1A44 (Definicja: rodzaje macierzy):
44.1) macierz zerowa: macierz wymiaru mxn, której wszystkie elementy są
rowne 0, nazywamy macierzą zerową wymiaru m  n i oznaczamy przez 0mn
0 0 0 
(lub przez 0, gdy znamy jej wymiar), na przykład 
  023 jest
0
0
0


macierzą zerową wymiaru 2  3 ;
44.2) macierz kwadratowa jest to taka macierz, która ma tyle samo kolumn
co wierszy: m  n . W tym przypadku mówimy, że macierz jest stopnia n,
1
j
w szczególności 
 jest macierzą kwadratową (zespoloną) stopnia 2;
 j 1
elementy macierzy kwadratowej, które mają ten sam numer wiersza, co
kolumny, tworzą główną przekątną macierzy:
 druga przekątna
a1n 
 a11 a12
a
a22
a2 n 
 21





ann   glówna przekątna
 an1 an 2
44.3) macierz trójkątna górna jest to taka macierz kwadratowa, która pod
główną przekątną ma elementy zerowe:
a1n 
 a11 a12 a13
0 a
a23
a2 n 
22

0
0 a33
a3n 




 0
0
0
ann 
(podobnie określa się macierz trójkątną dolną);
przykłady:
1 1 1 1 0 0  0 0 0 
0 1 1 , 1 2 0  , 0 1 0  ;

 
 

0 0 1 1 2 3 0 0 0 
44.4) macierz diagonalna jest to taka macierz kwadratowa, która nad główną
przekątną i pod główną przekątną ma elementy zerowe:
0 
 a11 0
1 0 0 0 
0 0 0  
0 a


0
22

 ; przykłady: 0 1 0  , 0 1 0 0  ;

 0 0 1 0 


0 0 2  



0
an n 
0 0 0 1 
0
44.5) macierz jednostkowa stopnia n jest to taka macierz diagonalna wymiaru
n  n , której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1, co
oznaczamy przez I n lub przez I , gdy znany jest stopień macierzy;
przykłady:
1
0

0

0
0 0 0
1 0 0
1 0
= I4 , 
 = I2 ;
0 1 0
0 1 

0 0 1
44.6) macierz blokowa jest to macierz postaci
A1n 
 A11 A12
A
A22
A2n 
 21
,




Amn 
 Am1 Am 2
gdzie macierze Ai1,..., Ain stojące w jednym wierszu muszą mieć te same liczby
wierszy, a macierze A1 j ,..., Amj stojące w jednej kolumnie muszą mieć te same
liczby kolumn.
1A45 (Działania na macierzach). Niech A  [ai j ]mn , B  [bi j ]lk . Wtedy
45.1) dodawanie i odejmowanie macierzy określamy wzorem:
def
A  B  [aij ]mn  [bij ]mn  [aij  bij ]mn , gdzie l  m, k  n ,
A+B jest sumą i A-B jest różnicą macierzy A i B, tzn. dodajemy i odejmujemy
tylko macierze tych samych wymiarów (reguła: przy dodawaniu (odejmowaniu)
macierzy dodajemy (odejmujemy) odpowiednie elementy);
przykład:
1 1  0  1 1 0
1 1   1 0   0 1;

 
 

45.2) mnożenie macierzy przez liczbę jest określone wzorem ( 
):
 A  [aij ]mn  [ aij ]mn – iloczyn macierzy A przez liczbę  (reguła: przy
mnożeniu macierzy przez liczbę wszystkie elementy macierzy mnożymy przez
liczbę); przykład:
1 2 2 4
2 

;
3 4 6 8
45.3) mnożenie macierzy jest określone wzorem ( n  l ):
AB  [ai j ]mn  [bi j ]n k  [ai1 b1 j  ai 2b2 j  ...  ainbn j ]mk
(iloczynem macierzy A wymiaru m  n i macierzy B wymiaru n  k nazywamy
macierz C  [ci j ]mk wymiaru m  k, której elementy określone są wzorem:
def
ci j  ai1b1 j  ai 2 b2 j  ...  ain bn j dla 1  i  m oraz 1  j  k .
Piszemy wtedy C=AB.
Uwaga. Element ci j iloczynu C=AB otrzymujemy sumując iloczyny
odpowiadających sobie elementów i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny
macierzy B. Iloczyn macierzy A i B istnieje tylko, jeżeli liczba kolumn macierzy
A równa się liczbie wierszy macierzy B; przykłady:
1  (3)  2 1
1  3  2  (1) 
 1 2 1 3 3   1 1  2  0

1) AB  

 
,
 2 3 0 1 1  2 1  3  0 (2)  (3)  3 1 (2)  3  3  (1) 
BA nie istnieje;
2)
 b1 j 
 b1 j ai1
b1 j ain 
 


 ai1 ai 2
ain     ai1 b1 j  ai 2 b2 j  ...  ain bn j , BA  
,
bn j 
bn j ai1
bnj ain 
 

AB  BA ;
Ćwiczenia:
0 1
 0 1 1  
0 0



1)  0 0 1  , 2) 


0 0
 0 0 0 





1 0
45.4) transpozycja macierzy:
macierz B  [b j i ]nm nazywamy
1999
0
1
0
0
0
0

1

0
2000
;
macierzą transponowaną do macierzy
def
A  [ai j ]mn , jeżeli b j i  ai j dla i  1,..., m oraz j  1,..., n ; oznaczenie: B  AT ;
przykłady:
 a1 
1 4 
1 2 3


T
T
1) A  
 A  2 5 , 2) A  [a1 ... an ]  A     n ;

 


4 5 6
 an 
 3 6 
45.5) równość macierzy:
macierze A i B są równe, gdy mają te same wymiary m  n oraz aij  bij dla
i  1,..., m i j  1,..., n .
1A+B46 (Własności działań na macierzach):
46.1) suma (różnica) macierzy, mnożenie macierzy przez liczbę
(niech A, B, C  mn oraz ,  ):
1) A  B  B  A,
2) A  ( B  C)  ( A  B)  C,
3) A  0mn  A,
4) A  ( A)  0mn ,
5)  ( A  B)  A  B,
6) (   ) A  A  A,
7) 1 A  A,
8) (   ) A    (A)  (A)   ;
46.2) iloczyn macierzy ( A, A1  mn ; B, B1  n k ; C  k  p oraz  ):
1) AB  BA (w ogólnym przypadku),
2) ( AB)C  A( BC ),
3) A( B  B1)  AB  AB1,
4) ( A  A1) B  AB  A1B,
5) (A) B  ( AB)  ( AB)  A(B),
6) AI n  I m A  A;
46.3) macierz transponowana
(własności transpozycji macierzy: A  mn , B  nm , C  nk ,  ):
1) ( A  B)T  AT  BT ,
2) (A)T  AT ,
3) ( AT )T  A,
4) ( AC )T  CT AT ;
Dowód (np. dla 4): mamy D  AC  [di j ]  [ai1c1 j  ...  ai ncn j ] ; wtedy DT 
[diTj ]  [a j 1c1i  ...  a j ncn i ]  [c1i a j1  ...cni a jn ]  [ciT1a1Tj  ...  cinT anT j ]  CT AT . 
Uwaga. Własności podane w 46.2 w punktach 3), 4) nazywamy rozdzielnością
dodawania względem mnożenia, a własność podana w 46.2 w punkcie 2)
nazywamy łącznością mnożenia.
1A47 (Potęgowanie macierzy). Niech A  [ai j ]nn 
nn
będzie macierzą
kwadratową. Wtedy zamiast A  ...  A (k czynników) będziemy pisali A k . Z
definicji A 0 I n .
Ćwiczenie ( A  B) : znaleźć wartości wielomianów
def
( A)  I3  2 A  A oraz ( A)  ( I3  A)
2
2
1 1 1
jeżeli A  0 1 1 .
0 0 1
1A48 (Definicja: macierz symetryczna i antysymetryczna). Macierz kwadratową
A nazywamy macierzą symetryczną, jeżeli A=AT. Macierz kwadratową B
nazywamy macierzą antysymetryczną, jeżeli B T   B .
Przykłady:
1 2 3 
1) 2 0  1 – macierz symetryczna,
3  1  1
 0 1 2
2)   1 0  1 – macierz antysymetryczna.
 2 1 0 
1A+B49 (Własności macierzy symetrycznych i antysymetrycznych).
49.1. Dla dowolnej macierzy A macierze AAT i ATA są symetryczne.
49.2. Dla macierzy kwadratowej A macierz A+AT jest symetryczna,
natomiast macierz A-AT jest antysymetryczna. Wtedy macierz A można
jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i
antysymetrycznej:
1
1
A  ( A  AT )  ( A  AT ).
2
2
1A50 (Układy równań liniowych. Równania macierzowe).
Układ równań liniowych z n niewiadomymi x1 ,..., xn (i m równaniami) jest to
układ
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2
(1)


am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm ,
gdzie a11 ,..., a1n ,..., am1,..., amn są to liczby rzeczywisty (lub zespolone).
Rozwiązaniem układu (1) nazywamy każdy ciąg ( x1 ,..., xn ) liczb rzeczywistych
(lub zespolonych) spełniających ten układ. Układ równań, który nie ma
rozwiązania nazywamy układem sprzecznym.
Układ (1) równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej:
a1n   x1   b1 
 a11 a12
a
a22
a2 n   x2   b2 
 21
      lub AX  B .
(2)

   

   
amn   xn  bm 
 am1 am 2
Jeżeli zamiast X weźmiemy macierz
x1k 
 x11 x12
x
x22
x2 k 
21


X




xnk 
 xn1 xn 2
i zamiast B weźmiemy macierz
b1k 
 b11 b12
b
b22
b2 k 
21

,
B




bmk 
bm1 bm 2
to otrzymamy ogólną postać równania macierzowego: AX=B, gdzie niewiadomą
jest macierz X.
1A51 (Definicja: macierz odwrotna). Macierzą odwrotną do macierzy
kwadratowej A  nn nazywamy taką macierz A1 która spełnia warunek:
A  A1  A1  A  I  I n .
Jeżeli A1 istnieje, to mówimy że macierz A jest odwracalna (nieosobliwa).
Uwaga. Macierz odwrotna A1 jest rozwiązaniem równania macierzowego
AX  XA  I n . Macierz odwrotna jest określona jednoznacznie (A+B –
udowodnić).
1A+B52 (Zastosowanie macierzy odwrotnej do rozwiązania równań
macierzowych). Rozważmy równanie macierzowe
(2)
AX  B ,
1
1
1
które mnożymy przez A z lewej strony (o ile istnieje). Wtedy A AX  A B
lub I n X  A1 B i X  A1 B jest rozwiązaniem tego równania.
Załóżmy, że
(3)
XA  B
1
i mnożymy przez A z prawej strony:
XAA1  BA1  XI  BA1  X  BA1 jest rozwiązaniem równania (3).
Uwaga. Jeżeli A1 istnieje, to równanie (2) (lub (3)) ma, dokładnie jedno
rozwiązanie.
Przykład:
cos   sin    x11 x12  1 0 

 sin  cos    x


  21 x22  0 1 
 x11 x12 
 cos  sin  
 A1I 2  A1  
x

.
x

sin

cos



 21 22 