Zadania z Algebry Liniowej (lista 2) 1. Niech V = U ⊕ W oraz niech

Zadania z Algebry Liniowej (lista 2)
1. Niech V = U ⊕ W oraz niech BU = {v1 , v2 , ..., vk }, BW = {vk+1 , vk+2 , ..., vn } będą
bazami przestrzeni U i W odpowiednio. Wykazać, że przekształcenie πU : V → V dane
wzorem
πU (u + w) = u
(gdzie u ∈ U , w ∈ W )
jest liniowe i znaleźć jego macierz w bazie {v1 , v2 , ..., vk , ..., vn }.
2. Niech endomorfizm liniowy przestrzeni V ma macierz
0
 2
A=
 1
6

3 6
1 4
1 1
1 −1
3
2 

1 
7

w bazie {e1 , e2 , e3 , e4 }. Znaleźć macierz tego endomorfizmu względem bazy
a) {e3 , e2 , e4 , e1 },
b) {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , e1 + e2 + e3 + e4 }.
c) {2e1 + e2 + e3 + e4 , e1 + 2e2 + e3 + e4 , e1 + e2 + 2e3 + e4 , e1 + e2 + e3 + 2e4 }.
3.
Znaleźć z definicji macierze przekształceń liniowych ϕ w podanych bazach
(B - baza dziedziny, C - baza przeciwdziedziny):
a) ϕ : R2 → R3 , ϕ[x, y] = [x + 2y, 2x + y, x − y],
B = {[2, 1], [3, 2]}, C = {[5, 1, 1], [6, 4, 1], [0, 1, 0]};
b) ϕ : R3 → R2 , ϕ[x, y, z] = [x − z, −x + y + 2z],
B = {[2, 1, 3], [2, 0, 1], [3, 2, 6]}, C = {[−2, 3], [3, −5]};
c) ϕ : R3 [x] → R3 , ϕ(W ) = [W (0), 2W 0 (0), W 00 (1)],
2 + 2, x2 + x − 4}, C = {[2, 0, 0], [2, 1, 0], [2, 2, 1]};
B = {x2 + x + 2, 2x3 +
2, x3 + 2x
a b
d) ϕ : M2 (R) → R2 [x], ϕ
= ax2 + (b + 3c)x + 2d;
c d
3 2
1 3
2 0
1 2
B=
,
,
,
, C = {x2 + 1, x + 1, 2}.
1 2
−1 2
1 1
−2 1
4. Przekształcenie liniowe ϕ : V → W ma w bazach {v1 , v2 } przestrzeni liniowej V


2 1
i {w1 , w2 , w3 } przestrzeni liniowej W macierz  3 −2 . Znaleźć ϕ(3v1 +2v2 ) i ϕ(4v2 −3v1 ).
1 3
5. Niech V , W i U bȩda̧ przestrzeniami liniowymi, ϕ : V → W , ψ : W → U i λ : U → V
- przekształceniami liniowymi, B i B 0 - bazami przestrzeni V , C i C 0 - bazami przestrzeni
W , a D i D0 - bazami przestrzeni U . Załóżmy, że dane są macierze:
A - macierz przejścia z bazy B 0 do bazy B,
E - macierz przejścia z bazy C do bazy C 0 ,
F - macierz przejścia z bazy D do bazy D0 ,
P - macierz przekształcenia ϕ w bazach B i C 0 ,
Q - macierz przekształcenia ψ w bazach C 0 i D,
R - macierz przekształcenia λ w bazach D0 i B 0 .
Poniższe macierze zapisać za pomocą macierzy A, E, F , P , Q, R:
a) macierz przejścia z bazy B do bazy B 0 ,
b) macierz przekształcenia ϕ w bazach B i C,
c) macierz przekształcenia ϕ w bazach B 0 i C 0 ,
d) macierz przekształcenia ϕ w bazach B 0 i C,
e) macierz przekształcenia ψ ◦ ϕ w bazach B i D,
1
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
macierz
macierz
macierz
macierz
macierz
macierz
macierz
przekształcenia
przekształcenia
przekształcenia
przekształcenia
przekształcenia
przekształcenia
przekształcenia
ψ ◦ ϕ w bazach B 0 i D,
ψ ◦ ϕ w bazach B i D0 ,
ψ ◦ ϕ w bazach B 0 i D0 ,
ϕ ◦ λ ◦ ψ w bazie C 0 ,
ϕ ◦ λ ◦ ψ w bazach C 0 i C,
ϕ ◦ λ ◦ ψ w bazie C,
λ ◦ ψ ◦ ϕ ◦ λ w bazach D0 i B.
6. Wyznaczyć macierz
a b
X, względem bazy złoc d
żonej z jednostek macierzowych {E11 , E12 , E21 , E22 }.
Uwaga. Eij oznacza macierz, która ma jedynkę w pozycji (i, j), zaś pozostałe
wyrazy są zerami.
a b
przekształcenia T2 : M2 (K) → M2 (K), T2 (X) = X
, względem bazy złoc d
żonej z jednostek macierzowych.
przekształcenia T3 : M2 (K) → M2 (K), T3 (X) = X T , względem bazy złożonej z
jednostek macierzowych.
przekształcenia T4 : M2 (K) → M2 (K), T4 (X) = AXB, (gdzie A, B są danymi
macierzami) względem bazy złożonej z jednostek macierzowych.
operatora różniczkowania w przestrzeni R[x]n w bazie {1, x, x2 , . . . , xn }.
operatora różniczkowania w przestrzeni R[x]n w bazie {1, x − 1, (x − 1)2 /2, . . . ,
(x − 1)n /n!}.
(1) przekształcenia T1 : M2 (K) → M2 (K), T1 (X) =
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
7. Rozwiązać układy jednorodne i znaleźćbazy przestrzeni rozwiązań:

x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0


 x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0

2x1 − 3x2 + x3 − 2x4 = 0
3x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 0
a)
b)


3x1 + x2 + 2x3 − x4 = 0


6x1 + 5x2 + x3 + 5x4 = 0
x1 + 4x2 + x3 + x4 = 0
8. Znaleźć przekształcenie liniowe f : R3 → R2 takie, że
f ([3, 1, 1]) = [1, −1], f ([1, 3, 1]) = [2, 1], f ([1, 1, 3]) = [1, 1].
Wyznaczyć ker f oraz podać macierz przekształecenia f w bazach wektorów zero-jedynkowych.
9. Niech odwzorowanie liniowe ϕ : V → W ma macierz
A=
1 2 3
4 5 6
względem baz {v1 , v2 , v3 } przestrzeni V i {w1 , w2 } przestrzeni W . Wyznaczyć macierz tego
odwzorowania względem baz {v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 } oraz {w1 , w1 + w2 }.
10. Niech V = R4 , W = R3 oraz U = {[x1 , x2 , x3 , x4 ] ∈ R4 | x1 +x3 −2x4 = 0, x2 +x4 =
0}. Podać przykład takiego przekształcenia liniowego ϕ : V → W , takiego, że ker ϕ = U .
Czy istnieje tylko jedno takie przekształcenie?
11. Dla macierzy kwadratowej A = [aij ] (stopnia n, o współczynnikach w ciele K)
określamy jej ślad tr A równością:
tr A = a11 + a22 + · · · + ann .
a) Wyznaczyć wszystkie takie macierze A stopnia n, że tr AX = 0 dla każdej macierzy
X stopnia n;
b) Wykazać, że tr AB = tr BA dla dowolnych macierzy A, B stopnia n;
2
c) Wykazać, że jeśli C jest macierzą nieosobliwą, to dla dowolnej macierzy A tego
samego stopnia tr CAC −1 = tr A;
d) Niech K = R. Dla jakich wartości λ ∈ R równanie macierzowe XY − Y X = λI ma
rozwiązanie? (I oznacza macierz jednostkową stopnia n).
3