Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr

1
Algebra Liniowa z Geometria, - Wydział Fizyki
Zestaw nr 12. Macierz przekształcenia liniowego
1. Znaleźć macierze podanych przekształceń liniowych w bazach standardowych
rozważanych przestrzeni liniowych:
(a) F : R2 → R3 , F ([x1 , x2 ]) = [x1 + x2 , 3x1 − 6x2 , 4x1 − x2 ],
(b) F : R4 → R2 , F ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = [x1 − x2 + 2x4 , 4x1 − x2 + 3x3 − x4 ].
2. Znaleźć z definicji macierze podanych przekształceń liniowych we wskazanych
bazach odpowiednich przestrzeni liniowych:
(a) F
w
(b) F
w
: R2 → R3 , F ([x1 , x2 ]) = [x1 + x2 , 2x1 + x2 , x1 − 3x2 ],
bazach B = {[1, 1], [1, −1]} oraz C = {[1, −1, 0], [0, 1, −1], [0, 0, 1]},
: R3 → R2 , F ([x1 , x2 , x3 ]) = [x1 − x2 , x2 − x3 ],
bazach B = {[1, 2, 2], [1, 1, 1], [1, 1, 2]} oraz C = {[1, 1], [1, 0]}.
3. Dana jest macierz

0 1
MBB (F ) =  −1 0
2 1

2
−1 
0
przekształcenia liniowego F : R3 → R3 w bazie B = {[1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 0]}.
Znaleźć obraz F (v ) wektora v , dla którego MB (v ) = (x, y, z)T .
4. W przestrzeni R3 wyznaczyć macierz zmiany bazy od bazy
B = {[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]} do bazy C = {[−1, 2, 3], [2, −3, 1], [0, 0, 1]}.
5. Dana jest macierz
MEE23 (F ) =
(
1
0
0
1
1
0
)
przekształcenia linowego F : R3 → R2 w bazach standardowych E2 i
E3 . Znaleźć macierz MCB (F ) przekształcenia F w nowych bazach B =
{[1, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 1]} i C = {[1, 1], [1, 0]}.
6. Niech F1 : R3 → R4 i F2 : R4 → R2 be,da, przekształceniami liniowymi
określonymi wzorami: F1 ([x1 , x2 , x3 ]) = [x1 +2x2 , x1 −x3 , 2x1 +x2 +x3 , x2 +
2x3 ] oraz F2 ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = [x1 + x2 + x3 + x4 , −2x4 ]. Napisać macierz
przekształcenia F2 ◦ F1 : R3 → R2 w bazach standardowych odpowiednich
przestrzeni.
7. Spośród podanych przekształceń liniowych wybrać przekształcenia odwracalne i napisać macierz przekształcenia odwrotnego w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych:
(a) F : R2 → R2 , F ([x1 , x2 ]) = [x1 + 3x2 , 2x1 − x2 ],
(b) F : R3 → R3 , F ([x1 , x2 , x3 ]) = [x1 −x2 +2x3 , 2x1 +x3 , 4x1 −2x2 +5x3 ].