wykład V - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

Drzewa oznaczone
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Automorfizm grafu
Zakładamy, że nie pomijamy nazw wierzchołków.
DEFINICJA Automorfizmem grafu nazywamy taką permutację jego wierzchołków, która przekształca graf na siebie.
Niech Aut(G) oznacza zbiór wszystkich automorfizmów grafu G.
TWIERDZENIE Niech |V (G)| = n. Jest
UWAGA Inaczaj mówiąc jest
n!
izomorficznych z grafem G.
|Aut(G)|
n!
różnych oznaczeń nieoznaczonego grafu G o n wierzchołkach.
|Aut(G)|
UWAGA Przeliczanie grafów nieoznaczonych wymaga zaawansowanych twierdzeń z teorii grup.
Liczba drzew oznaczonych
TWIERDZENIE (Cayley)
Jest nn−2 drzew oznaczonych na zbiorze wierzchołków {1, 2, . . . , n}.
Konstrukcja kodu Prüfera
Dane:
drzewo T o co najmniej 3 wierzchołkach
1.
2.
3.
4.
Znajdujemy liść o najmniejszym numerze – ozn. v;
Dołączamy wierzchołek sąsiedni do v do ciągu;
Usuwamy wierzchołek v z drzewa;
Jeżeli drzewo zawiera więcej niż jedną krawędź, wracamy do punktu 1., w przeciwnym razie kończymy tworzenie
ciągu.
Rekonstrukcja drzewa
Dane:
kod Prüfera (a1 , a2 , a3 , . . . , an−2 ); ai ∈ {1, 2, 3, . . . , n}
zbiór wierzchołków drzewa V = {1, 2, 3, . . . , n}
Startujemy z pustym zbiorem krawędzi E(T )
1.
2.
3.
4.
5.
W zbiorze V znajdujemy najmniejszą liczbę, która nie występuje w ciągu – ozn. i;
V := V − {i};
Usuwamy pierwszy element – ozn. j – z ciągu;
E(T ) := E(T ) ∪ {ij};
Jeśli w ciągu jest przynajmniej jedna liczba, to przechodzimy do p. 1, w przeciwnym razie V zawiera dwa wierzchołki; dołączamy krawdź utworzoną przez te wierzchołki do E(T ) i kończymy rekonstrukcję drzewa.
1