Kliknij tutaj - Wydawnictwa PTM - Polskie Towarzystwo Matematyczne

Wiad. Mat. 45 (1) 2009, 47–48
c 2009 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Czesław Bagiński (Białystok)
O twierdzeniu Cayleya
Jeden z rozdziałów książki [1] jest poświęcony znanemu twierdzeniu
Artura Cayleya z 1889 roku.
Twierdzenie. Istnieje nn−2 różnych drzew oznakowanych mających n
wierzchołków.
Autorzy przedstawiają cztery różne dowody powyższego twierdzenia. W niniejszej notce proponujemy jeszcze jeden, który – jak się wydaje – dorównuje prostotą dowodom zamieszczonym w książce.
Zaczniemy od znanego lematu, którego standardowy dowód jest
przykładem zastosowania zasady włączeń i wyłączeń (patrz [2, Twierdzenie 7.3, str. 44]):
Lemat. Niech X i Y będą zbiorami skończonymi o mocach |X| = k,
|Y | = n. Liczba wszystkich surjekcji określonych na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y jest równa
n k
0 n
−
n
1 (n
− 1)k +
n
2 (n
− 2)k + · · · + (−1)n−1
n k
n−1 1 .
Ponieważ dla k < n nie ma surjekcji ze zbioru X do Y , a dla n = k
każda surjekcja jest bijekcją, więc
n k
0 n
−
n
1 (n
− 1)k +
n
2 (n
− 2)k + · · ·
(
0
dla k < n;
(∗)
n! dla k = n.
Dowód twierdzenia. Dowód poprowadzimy indukcją względem liczby
wierzchołków. Sprawdzenie wzoru dla drzew z małą liczbą oznakowanych wierzchołków jest łatwe i zostawiamy to czytelnikowi. Załóżmy, że
dla wszystkich m < n liczba drzew o m oznakowanych wierzchołkach
jest równa mm−2 . Niech T będzie zbiorem wszystkich drzew o n wierzchołkach ze zbioru {1, 2, . . . , n}. Ponadto, dla i = 1, 2, . . . , n, niech Ti
będzie zbiorem wszystkich drzew ze zbioru T , w których wierzchołek
n−1
+ (−1)
n k
n−1 1
=
48
Cz. Bagiński
i ma stopień równy 1 (tzn. z wierzchołka i wychodzi dokładnie jedna krawędź). Zauważmy, że jeśli T ∈ Ti , to usunięcie z tego drzewa wierzchołka
i wraz z krawędzią, która z niego wychodzi, daje drzewo T 0 ze zbiorem
wierzchołków {1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n}. Odwrotnie: każde drzewo,
którego zbiorem wierzchołków jest {1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n}, można
rozbudować do drzewa T należącego do Ti na n − 1 sposobów, łącząc
wierzchołek i z którymkolwiek z n−1 pozostałych wierzchołków. Ponieważ, na mocy założenia indukcyjnego, liczba wszystkich drzew o zbiorze
wierzchołków {1, 2, . . . , i−1, i+1, . . . , n} jest równa (n−1)n−3 , a z każdego z nich możemy utworzyć n − 1 różnych drzew, więc |Ti | = (n − 1)n−2 .
Rozważmy teraz sytuację ogólniejszą. Niech 1 6 i1 < i2 < · · · <
im 6 n. Każde drzewo T należące do zbioru Ti1 ∩ Ti2 ∩ · · · ∩ Tim można zredukować do drzewa T 0 o wierzchołkach ze zbioru {1, 2, . . . , n} \
{i1 , i2 , . . . , im } przez usunięcie wierzchołków i1 , i2 , . . . , im wraz z wychodzącymi z nich krawędziami. Odwrotnie, każde drzewo T ∈ Ti1 ∩ Ti2 ∩
. . .∩Tim można utworzyć z pewnego drzewa T 0 o wierzchołkach ze zbioru
{1, 2, . . . , n}\{i1 , i2 , . . . , im } przez połączenie wierzchołków i1 , i2 , . . . , im
pojedynczymi krawędziami z pewnymi wierzchołkami drzewa T 0 . Ponieważ liczba drzew na wierzchołkach zbioru {1, 2, . . . , n} \ {i1 , i2 , . . . , im },
na mocy założenia indukcyjnego, jest równa (n−m)n−m−2 , a liczba sposobów połączenia wierzchołków i1 , i2 , . . . , im z wierzchołkami drzewa T 0
jest równa (n − m)m , więc |Ti1 ∩ Ti2 ∩ . . . ∩ Tim | = (n − m)n−2 . Teraz
z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy
|T | = |T1 ∪ T2 ∪ . . . ∪ Tn | =
=
X
|Ti | −
|Ti ∩ Tj | +
X
|Ti ∩ Tj ∩ Tk | − · · ·
1¬i<j¬n
1¬i<j<k¬n
=
− 1)n−2 − n2 (n − 2)n−2 + n3 (n − 3)n−2 + · · ·
n n−2
1
+ (−1)n−2 n−1
z wzorem (∗) ostatnia suma jest równa nn−2 .
1¬n
n
1 (n
Zgodnie
X
=
Literatura
[1] M. Aigner, G. M. Ziegler, Dowody z Księgi, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 2004.
[2] W. Lipski, W. Marek, Analiza kombinatoryczna, PWN, Warszawa, 1986.
Czesław Bagiński
Politechnika Białostocka
[email protected]