Odwzorowania liniowe zachowujące przemienność

Odwzorowania liniowe zachowujące przemienność
Tomasz Kostyrka
Referat bazuje na artykule ’Preserving commutativity’ autorstwa M.Omladiča,
H.Radjaviego oraz P.Šemrla, opublikowanym w Journal of Pure and Applied Algebra 156 (2001). Przedstawiona zostanie w nim postać ogólna odwzorowań liniowych
Φ : Mn (F) → Mr (F) zachowujących przemienność.
1
Wprowadzenie
W całym referacie F oznaczać będzie dowolne ciało o charakterystyce zero, natomiast Mn (F) przestrzeń liniową macierzy kwadratowych rozmiaru n nad ciałem F.
Przez Mn (F)∗ będziemy oznaczać przestrzeń dualną przestrzeni Mn (F).
Mówimy, że odwzorowanie liniowe f : Mn (F) → Mr (F) zachowuje przemienność,
gdy dla każdych dwóch komutujących macierzy A, B ∈ Mn (F) komutują również
macierze f (A), f (B).
Twierdzenie 1. Niech r, n będą liczbami naturalnymi takimi, że 0 < r ¬ n oraz
3 ¬ n. Niech ponadto Φ : Mn (F) → Mr (F) będzie odwzorowaniem liniowym zachowującym przemienność. Wtedy spełniony jest co najmniej jeden z następujących
dwóch warunków.
(i). Każde dwie macierze z obrazu Im(Φ) komutują.
(ii). r = n oraz istnieje taka nieosobliwa macierz A ∈ Mn (F), funkcjonał liniowy
α ∈ Mn (F)∗ oraz skalar c ∈ F, że odwzorowanie Φ jest jednej z dwóch postaci:
• Φ(B) = cA−1 BA + α(B)In ,
−1
B ∈ Mn (F),
T
• Φ(B) = cA B A + α(B)In ,
B ∈ Mn (F),
gdzie In oznacza macierz jednostkową.
Ze względu na złożoność dowodu powyższego twierdzenia, nie zostanie on omówiony w referacie. Zajmiemy się natomiast przypadkiem, gdy Φ : M2 (F) → M2 (F).
1
Twierdzenie 2. Odwzorowanie liniowe Φ : M2 (F) → M2 (F) zachowuje przemienność wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest przynajmniej jeden z poniższych
warunków:
(i). Φ(I2 ) ∈ FI2 ,
(ii). ∃A∈M2 (F)\FI2 ∃α,β∈M2 (F)∗ ∀T ∈M2 (F) Φ(T ) = α(T )I2 + β(T )A.
2
Dowód Twierdzenia 2.
Na początku zwróćmy uwagę na następujące proste własności:
1. (A ∈ M2 (F) \ FI2 , B ∈ M2 (F), AB = BA) ⇒ B ∈ SpanF (I2 , A),
2. A ∈ Mn (F), T1 , T2 ∈ SpanF (In , A) ⇒ T1 T2 = T2 T1 .
2.1
”⇒”
Udowodnimy, że jeżeli Φ zachowuje przemienność to zachodzi przyjajmniej jeden
z warunków (i),(ii).
Sprowadza się to do wykazania, że jeżeli Φ(I2 ) = A ∈ M2 (F) \ FI2 , to spełniony jest warunek (ii).
Skoro Φ jest odwzorowaniem liniowym zachowującym przemienność, to dla każdego T ∈ M2 (F) mamy Φ(T )Φ(I2 ) = Φ(I2 )Φ(T ), więc Φ(T )A = AΦ(T ), a stąd
Φ(T ) ∈ SpanF (I2 , A). (własność 1.)
Ponieważ macierze I2 oraz A są liniowo niezależne, to dla każdego T ∈ M2 (F) istnieje dokładnie jedna taka para skalarów (α(T ), β(T )) ∈ F2 , że Φ(T ) = α(T )I2 +
β(T )A. Dodatkowo, dzięki liniowości odwzorowania Φ, funkcjonały α, β : M2 (F) →
F są liniowe.
2.2
”⇐”
Najpierw rozpatrzmy sytuację, w której spełniony jest warunek (ii). Jeśli Φ jest odpowiedniej postaci, to ∀T1 ,T2 ∈M2 (F) Φ(T1 ), Φ(T2 ) ∈ SpanF (I2 , A), więc Φ(T1 )Φ(T2 ) =
Φ(T2 )Φ(T1 ). (własność 2.)
Jeżeli natomiast spełniony jest warunek (i), czyli jeśli Φ(I2 ) = cI2 dla pewnego c ∈ F, to wybieramy dwie dowolne macierze T1 , T2 ∈ M2 (F) i rozpatrujemy
następujące dwa przypadki.
2
• Przynajmniej jedna z macierzy T1 , T2 , powiedzmy T1 , jest macierzą skalarną.
Wtedy ∃d∈F T1 = dI2 , więc Φ(T1 ) = Φ(dI2 ) = dΦ(I2 ) = cdI2 . Macierz Φ(T1 )
jest więc macierzą skalarną, a co za tym idzie, komutuje z macierzą Φ(T2 ).
• Żadna z macierzy T1 , T2 nie jest macierzą skalarną oraz T1 T2 = T2 T1 . Wówczas, dzięki własności 1, T1 ∈ SpanF (I2 , T2 ). Możemy więc dobrać takie
skalary υ, ω ∈ F, że T1 = υI2 + ωT2 . Zatem Φ(T1 ) = Φ(υI2 + ωT2 ), co
po skorzystaniu z liniowości Φ daje Φ(T1 ) = cυI2 + ωΦ(T2 ), skąd Φ(T1 ) ∈
SpanF (I2 , Φ(T2 )), wobec tego macierze Φ(T1 ), Φ(T2 ) komutują.
3